順應命題意圖提升解題效能

順應命題意圖提升解題效能數(shù)學組馮克永高考數(shù)學試題的命制經(jīng)歷了知識立意→能力立意→素養(yǎng)立意的三大變革，萬變不離其宗，每一道試題都是由條件和結(jié)論構(gòu)成，利用條件及高中數(shù)學所學一定能得出結(jié)論。我們只有順應命題意圖，加之豐厚的高中數(shù)學所學，才能提升解題效能。茲舉數(shù)例，供讀者參考。例1已知雙曲線，為坐標原點，為的右焦點，過點的直線與的兩條漸近線的交點分別為，若為直角三角形，則=（）（A）（B）（C）（D）解析先確定直角三角形的直角位置，再計算.雙曲線的漸近線方程為，傾斜角分別為，兩點均在雙曲線的右支上，又，不妨令，則=雙曲線的虛半軸長，，，又，所以，因此，故選（B）.點評順應命題意圖，合理利用平面幾何圖形的有關性質(zhì)解題，彰顯數(shù)形結(jié)合思想的真諦，值得回味.例2設函數(shù).（1）證明：當時，；（2）從編號到的張卡片中每次隨機取一張，然后放回，用這種方式連續(xù)抽取次，設抽得的個號碼互不相同的概率為，證明：.解析：（1）由得，所以，故當時，.（2）由題意得，因（其中），所以；構(gòu)函數(shù)是處理實數(shù)不等式的通法，順應命題意圖，處理如下：要證明，只需證明，只需證明，利用（1）的結(jié)論令得，所以.點評此題的第（2）問，咋一看無從下手，順應命題意圖，由聯(lián)想到倒序相乘放縮而快解，再由聯(lián)想到第（1）問結(jié)論，巧用目標替換而大獲全勝，很值得品味.試題命制一般遵循設問之間的連貫性，在后問“山窮水盡”之時，前問（有時即使未解決，用其結(jié)論也可以）往往會帶來“柳暗花明”之喜，這應引起我們的高度重視..例3函數(shù)的定義域都是，直線，與的圖象分別交于兩點，若的值是不等于的常數(shù)，則稱曲線為“平行曲線”，設，且為區(qū)間的“平行曲線”，在區(qū)間上的零點唯一，求實數(shù)的取值范圍.解析因為為區(qū)間的“平行曲線”，所以函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象經(jīng)過上下平移得到的，即.又因為，所以，即.令，得，令，則在區(qū)間上的零點唯一等價于函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點唯一，因為，當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點唯一等價于，即.故實數(shù)的取值范圍是.點評新定義題更彰顯順應命題意圖的解題魅力，利用新定義將函數(shù)的圖象轉(zhuǎn)化為由函數(shù)的圖象經(jīng)過上下平移得到的是破解此題的神來之筆，加之嫻熟的導數(shù)知識及數(shù)形結(jié)合的思想方法而快速破解，讓人心花怒放，享受快樂.例4設是含數(shù)的有限實數(shù)集，是定義在上的函數(shù).若的圖象繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后與原圖象重合，則在以下各項中，的可能取值只能是（）（A）（B）（C）（D）解析咋一看無從下手，靜下心來，向命題者要思路，函數(shù)圖象上一點繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后得到點，點再繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后得到點，規(guī)律繼續(xù)前行可得到一系列點，這些點既在函數(shù)的圖象上，又在以原點為圓心，為半徑的圓上.命題者讓我們用排除法，對于給定點，若出現(xiàn)兩不同點的橫坐標相等，縱坐標不相等時，就不符合題意而排出.用這種方法處理，可快選（B）.點評旋轉(zhuǎn)構(gòu)圓，利用圓與函數(shù)的圖象之間的區(qū)別與聯(lián)系破解，深化對函數(shù)概念的理解，很值得我們關注.鞏固練習1.已知，我們把使為整數(shù)的數(shù)叫作“優(yōu)數(shù)”，求在區(qū)間內(nèi)的所有優(yōu)數(shù)的和.2.已知函數(shù).（1）當時，求的圖象在處的切線方程；（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增；求實數(shù)的取值范圍；（3）已知均為正實數(shù)，且，求證：.答案1.，令，則，由得，所以在區(qū)間內(nèi)的所有優(yōu)數(shù)的和為.2.（1）（2）由函數(shù)在上單調(diào)遞增得在上無解且在上恒成立.所以當時，在上無解滿足，當時，只需，在，所以①.再研究在上恒成立，設，，因為，所以，則在上