新高考一輪復(fù)習講義：第21講 利用導數(shù)探究函數(shù)的零點問題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page2424頁，共=sectionpages2525頁第21講利用導數(shù)探究函數(shù)的零點問題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________【基礎(chǔ)鞏固】1．（2022·重慶·一模）定義在上的函數(shù)滿足：當時，，當時，，若關(guān)于的方程有兩個不等實根，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：當時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，時，當時，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，時，時，故有兩個不等實根只需，即.故選：C2．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知實數(shù)，滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：由條件得，，令，，則，由條件，則，令，，則，顯然當時，，在上單調(diào)遞增．故由，可得，．故選：C．3．（2022·湖北·襄陽五中模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有兩個不同的實數(shù)根，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】對函數(shù)求導得，對函數(shù)求導得，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：當直線與曲線相切于原點時，，當直線與曲線相切于原點時，.結(jié)合圖象可知，當或時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，故選：A.4．（2022·天津·南開中學模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），若函數(shù)至少存在一個零點，則實數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．【答案】D令,則，設(shè)，令，，則，發(fā)現(xiàn)函數(shù)在上都是單調(diào)遞增，在上都是單調(diào)遞減，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當時，得，所以函數(shù)至少存在一個零點需滿足，即．應(yīng)選答案D．點睛：解答本題時充分運用等價轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想，先將函數(shù)解析式中的參數(shù)分離出來，得到，然后構(gòu)造函數(shù)，分別研究函數(shù)，的單調(diào)性，從而確定函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當時，得，所以函數(shù)至少存在一個零點等價于，即．使得問題獲解．5．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在上有兩個零點，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：函數(shù)在上有兩個零點，等價于與有兩個不同的交點，恒過點，設(shè)與相切時切點為，因為，所以切線斜率為，則切線方程為，當切線經(jīng)過點時，解得或（舍），此時切線斜率為，由函數(shù)圖像特征可知：函數(shù)在上有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是.故選：D.6．（2022·遼寧沈陽·一模）若函數(shù)，則是在有兩個不同零點的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分且必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】，令，則，令，，令，得，解得，所以當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，又，所以，在有2個不同零點的充要條件為函數(shù)與圖象在第一象限有2個交點，所以，即有2個零點的充要條件為，又是的充分不必要條件，所以“”是“有2個零點在”的充分而不必要條件，故選：A7．（2022·河北·模擬預(yù)測）我們定義：方程的實數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點”，，若的“新駐點”分別為，則下列選項中正確的有（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，由“新駐點”的概念可知，故A錯誤，C正確.令，，故在單調(diào)遞增，又，故，故B錯誤，令，由上可知在單調(diào)遞增,故在先減后增，又，，，所以或,故D錯.故選：C8．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學模擬預(yù)測）已知函數(shù)，設(shè)關(guān)于的方程有個不同的實數(shù)解，則的所有可能的值為（

）A．3 B．4 C．2或3或4或5 D．2或3或4或5或6【答案】A【解析】根據(jù)題意作出函數(shù)的圖象：，當，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以；函數(shù)，時單調(diào)遞減，所以，對于方程，令，則，所以，即方程必有兩個不同的實數(shù)根，且，當時，，3個交點；當時，，也是3個交點；故選：A．9．（2022·湖南·長郡中學模擬預(yù)測）已知函數(shù)，分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點，則正實數(shù)的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】由題設(shè)，，可得：，由，易知：關(guān)于對稱.當時，，則，所以單調(diào)遞增，故時單調(diào)遞減，且當趨向于正負無窮大時都趨向于正無窮大，所以僅有一個極小值點1，則要使函數(shù)只有一個零點，即，解得.故選：C10．（2022·山東濟寧·二模）已知函數(shù)，若函數(shù)有5個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】與關(guān)于y軸對稱，且，要想有5個零點，則當時，要有2個根，結(jié)合對稱性可知時也有2個零點，故滿足有5個零點，當時，，不合題意；當時，此時令，定義域為，，令得：，，令得：，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當時，恒成立，在處取得極大值，其中，故，此時與有兩個交點.故選：C11．（多選）（2022·重慶·模擬預(yù)測）已知函數(shù)有唯一零點，則實數(shù)的值可以是（

）A． B． C．0 D．1【答案】AD【解析】令，則有，令，則有，所以在上單減，在上單增，當時，，，當時，故有唯一零點即或.故選：AD12．（2022·重慶南開中學模擬預(yù)測）若關(guān)于x的方程有解，則實數(shù)a的取值范圍為________．【答案】【解析】有解，即，令，，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以的值域為，故的取值范圍為．故答案為：．13．（2022·湖北·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若函數(shù)有5個零點，則實數(shù)k的取值范圍為______．【答案】【解析】解：因為，所以，所以函數(shù)為偶函數(shù)，又，所以在上有兩個零點，即有兩個不同的正實數(shù)解，即，令，則，；.故在上遞減，上遞增，故．畫出圖像如圖所示從而.故答案為：．14．（2022·江蘇·南京市江寧高級中學模擬預(yù)測）若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點，則在上的最大值與最小值的和為_______．【答案】【解析】當時，由可得，令，其中，則，由，可得，列表如下：增極大值減如下圖所示：因為在內(nèi)有且只有一個零點，則，所以，，則，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，則當時，，又因為，，所以，，因此，在上的最大值與最小值的和為.故答案為：.15．（2022·廣東茂名·模擬預(yù)測）已知函數(shù)有三個不同的零點，，，其中，則的值為________．【答案】1【解析】設(shè)，，當時，；當時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且時，；時，，∴，作出的圖象，如圖要使有三個不同的零點，，其中令，則需要有兩個不同的實數(shù)根（其中）則，即或，且若，則，∵，∴，則∴，則，且∴=若，則，因為，且，∴，故不符合題意，舍去綜上故答案為：116．（2022·廣東·深圳市光明區(qū)高級中學模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)當時，求函數(shù)的極值點；(2)當時，試討論函數(shù)的零點個數(shù).【解】(1)當時，，則，令，則.當時，，，在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增.當時，可得，，在單調(diào)遞減；綜上，函數(shù)的極值點為.(2)當時，，是的一個零點，令，可得.因為，①當時，，，在單調(diào)遞增，，在單調(diào)遞增，，此時在無零點.②當時，，有，此時在無零點.③當時，，，在單調(diào)遞增，又，，由零點存在性定理知，存在唯一，使得.當時，，在單調(diào)遞減；當時，，在單調(diào)遞增；又，，所以在上有個零點.綜上，當時，有個零點.17．（2022·遼寧·大連二十四中模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求的最小值；(2)記為的導函數(shù)，設(shè)函數(shù)有且只有一個零點，求的取值范圍.【解】(1)由題得，∴當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以是的極小值點；又當時，，當時，，當時，，所以只能在內(nèi)取得最小值，因為是在（0，）內(nèi)的極小值點，也是最小值點，所以．(2)由題可得（），∴①當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又∵，∴函數(shù)有且僅有1個零點，∴符合題意；②當時，令，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，∴存在唯一的實數(shù)，使得，即，當時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增；又∵時，，時，，且，∴當函數(shù)有且僅有1個零點時，，∴符合題意綜上可知，的取值范圍是或.【素養(yǎng)提升】1．（2022·江蘇·南京市第五高級中學模擬預(yù)測）已知，，有如下結(jié)論：①有兩個極值點；②有個零點；③的所有零點之和等于零.則正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，則，.當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增.所以，函數(shù)的最小值為.，.令，當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以，當時，.，，由零點存在定理可知，函數(shù)在和上各有一個零點，所以，函數(shù)有兩個極值點，命題①正確；設(shè)函數(shù)的極大值點為，極小值點為，則，則，所以，函數(shù)的極大值為，構(gòu)造函數(shù)，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，；當時，.，，，則，即.同理可知，函數(shù)的極小值為.，.由零點存在定理可知，函數(shù)在區(qū)間、、上各存在一個零點，所以，函數(shù)有個零點，命題②正確；令，得，，則，令，則，所以，函數(shù)所有零點之和等于零，命題③正確.故選：D.2．（2022·重慶·二模）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有三個零點時，（其中m，n為正實數(shù)），則的最小值為（

）A．9 B．7 C． D．4【答案】A【解析】當時，恒成立，∴在上單調(diào)遞減，∴，當時，為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)，∴，即，當時，恒成立，∴在上單調(diào)遞增，∴，由此作出函數(shù)的草圖如下所示，由函數(shù)恰有三個零點可得，即，所以，即的最小值為9，當且僅當，時，等號成立，故選：A.3．（2022·湖北·黃岡中學模擬預(yù)測）函數(shù)有兩個零點，下列說法錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為函數(shù)有兩個零點，所以有兩個根，即，即與有兩個交點，畫出函數(shù)圖像如下圖所示：設(shè)，所以，當時，解得，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，解得，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，當時，，當時，，所以當時，與有兩個交點，即函數(shù)有兩個零點，故A正確；結(jié)合圖像可知，因為，要證明，即證明，整理得，令，所以，設(shè)，所以恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以，即，故D正確；由D選項正確，即，即成立，因為，所以，所以，故B不正確；因為，，可得，可得，故C選項正確.故選：B.4．（多選）（2022·湖北·鄂南高中模擬預(yù)測）若關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根，則的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】相當于用和這兩條水平的直線去截函數(shù)的圖像一共要有兩個交點.，所以當時，；當時，；所以函數(shù)的增區(qū)間為減區(qū)間為.且當取時，，當取時，，.所以函數(shù)圖象如圖所示，當時，，和和函數(shù)的圖象各有一個交點，共有兩個交點，滿足題意；當時，，和和函數(shù)的圖象各有一個交點，共有兩個交點，滿足題意；當時，，和和函數(shù)的圖象各有兩個交點，共有四個交點，不滿足題意；當時，，和和函數(shù)的圖象各有兩個交點和零個交點，共有兩個交點，滿足題意.故選：ABD5．（多選）（2022·山東泰安·三模）已知函數(shù)（）有兩個不同的零點，，符號[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.5]＝0，[1.2]＝1，則下列結(jié)論正確的是（

）A．a(chǎn)的取值范圍為B．a(chǎn)的取值范圍為C．D．若，則a的取值范圍為【答案】BD【解析】函數(shù)的定義域為，，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上至多只有一個零點，與條件矛盾，當時，由可得或（舍去），當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當，，函數(shù)單調(diào)遞減，因為函數(shù)有兩個不同的零點，可得所以，所以，所以，B對，不妨設(shè)，因為，，所以，，當時，，則，當時，則所以，當時，，此時，，C錯，因為，若則，，，所以，，，所以，所以，若，則，，，且所以，，所以，所以，又，所以，所以，故滿足條件的不存在，所以a的取值范圍為，D對，故選：BD.6．（2022·湖南衡陽·三模）已知函數(shù)（），若函數(shù)的極值為0，則實數(shù)__________；若函數(shù)有且僅有四個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】

【解析】當時，，即遞增，無極值；當時，，若時，，即遞減，無極值；若時，時，遞減，時，遞增，此時有極小值；綜上，在且時，，可得；由題設(shè)，，顯然即為偶函數(shù)，要有且僅有四個不同的零點，則在上有兩個零點，即存在變號零點，所以時，，故遞增；而趨向正無窮時趨于正無窮，故，即，而，存在使得，即，且在上遞減，在上遞增，由，趨向時趨于，故，只需，則或（舍），而，則，即遞增，所以.綜上，的取值范圍.故答案為：；7．（2022·浙江溫州·二模）已知，函數(shù)有且僅有兩個不同的零點，則的取值范圍是_________.【答案】【解析】因為函數(shù)有且僅有兩個不同的零點，所以方程有且僅有兩個不同的實數(shù)根，由，設(shè)，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線有兩個不同的交點，，顯然，由，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞增，而，所以當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，，因為，所以直線的斜率為負值且恒過橫軸負半軸上一點，如圖所示：設(shè)函數(shù)的切點為，過該切點的斜率為，切線方程為，當該切線方程為時，有，消去得：，或（舍去），或，當時，，此時方程的切線方程為：，當時，，不符合，因此要想函數(shù)的圖象與直線有兩個不同的交點，所以有，故答案為：8．（2022·河北衡水中學一模）已知函數(shù)，，當實數(shù)的取值范圍為________時，的零點最多.【答案】【解析】解：作出函數(shù)的圖象如圖：由得，設(shè)，當時，與有2個交點；當時，與有2個交點；.當時，設(shè)與相切，切點為，則，所以切線的斜率為，其切線方程為：，又因切線恒過點，所以，解得，所以切線的斜率為，當時，設(shè)與相切，切點為，則，所以切線的斜率為，其切線方程為：，又因切線恒過點，所以，解得，所以切線的斜率為，所以當時，與有1個交點；當時，與有2個交點；當時，與有3個交點；當時，與有4個交點；所以實數(shù)的取值范圍為時，的零點最多，故答案為：.9．（2022·江蘇·南京市天印高級中學模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的圖象在處的切線方程；(2)判斷