1-4-1 用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系 作業(yè)1

1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系夯實基礎(chǔ)一、選擇題1.(2020北京一零一中學(xué)期中)若A(-1，0，2)，B(1，4，10)在直線l上，則直線l的一個方向向量為()A.(1，2，4)B.(1，4，2)C.(2，1，4)D.(4，2，1)【答案】A【解析】由已知得AB=(1，4，10)-(-1，0，2)=(2，4，8)=2(1，2，4)，故選項A中的向量與AB共線，故選A.2.(2022山東臨沂平邑一中月考)已知兩個不重合的平面α與平面ABC，若平面α的法向量為n1=(2，-3，1)，向量AB=(1，0，-2)，AC=(1，1，1)，則()A.平面α∥平面ABCB.平面α⊥平面ABCC.平面α與平面ABC相交但不垂直D.以上均有可能【答案】A【解析】因為n1·AB=0，n1·AC=0，AB∩AC=A，所以n1也是平面ABC的法向量，又平面α與平面ABC不重合，所以平面α與平面ABC平行.故選A.3.(2022安徽師大附中期中)若直線l1，l2的方向向量分別為a=(1，2，-2)，b=(-2，3，2)，則l1與l2的位置關(guān)系是()A.l1⊥l2B.l1∥l2C.l1、l2相交但不垂直D.不能確定【答案】A【解析】由題意得a·b=-2+6-4=0，∴l(xiāng)1與l2的位置關(guān)系是l1⊥l2.故選A.二、填空題4.(2022吉林白城大安六中期中)已知直線l的一個方向向量d=(2，3，5)，平面α的一個法向量u=(-4，m，n)，若l⊥α，則m=，n=.

【答案】-6；-10【解析】∵l⊥α，∴d∥u，又d=(2，3，5)，u=(-4，m，n)，∴-42=m3=n5，解得三、解答題5.(2020陜西西安中學(xué)期末)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱DD1的中點，求證：(1)BD1⊥平面AB1C；(2)平面EAC⊥平面AB1C.【證明】以D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz.設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，則E(0，0，1)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，B(2，2，0)，D1(0，0，2).(1)易得AC=(-2，2，0)，AB1=(0，2，2)，BD1=(-2設(shè)平面AB1C的法向量為m=(x，y，z)，則m·AC=-2x+2y=0,m·AB1∴m=(1，1，-1)是平面AB1C的一個法向量.∵BD1=-2m，∴BD1∥m，∴BD1⊥(2)易得AE=(-2，0，1).設(shè)平面EAC的法向量為n=(x'，y'，z')，則n·AE=-2x'+z'=0,n·AC=-2x'+2y'=0,取∴n=(1，1，2)是平面EAC的一個法向量.由(1)知m=(1，1，-1)是平面AB1C的一個法向量.∵m·n=1+1-2=0，∴平面EAC⊥平面AB1C.拓展提升一、選擇題1.(2021天津十三中月考)如圖，正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=2，AF=1，M在EF上，且AM∥平面BDE，則點M的坐標為()A.(1，1，1)B.2C.2【答案】C【解析】連接OE.設(shè)點M的坐標為(x，y，1).因為AC∩BD=O，所以O(shè)22又E(0，0，1)，A(2，2，0)，所以O(shè)E=-22,-22,1，AM=(x-因為AM∥平面BDE，所以O(shè)E∥AM，所以x-2所以點M的坐標為22,2二、解答題2.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F(xiàn)分別為A1C1和BC的中點.求證：(1)平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)C1F∥平面ABE.【證明】以B為坐標原點，BC，BA，BB1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.設(shè)BC=a，AB=b，BB1=c，則B(0，0，0)，A(0，b，0)，C1(a，0，c)，F(xiàn)a2,0,0，E(1)易得AB=(0，-b，0)，AE=a2設(shè)平面ABE的法向量為n=(x，y，z)，則n·AB令x=2，則y=0，z=-ac，∴n=2,0,-易知平面B1BCC1的一個法向量n'=(0，1，0).∵n'·