矩形的性質(zhì)和判定

第4頁版權(quán)所有不得復(fù)制初中數(shù)學(xué)矩形的性質(zhì)和判定編稿老師鞏建兵一校黃楠二校楊雪審核宋樹慶【考點(diǎn)精講】【典例精析】例題1如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P為邊BC上一動點(diǎn)（且點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F，M為EF中點(diǎn)。設(shè)AM的長為x，試求x的最小值。思路導(dǎo)航：根據(jù)勾股定理的逆定理求出△ABC是直角三角形，得出四邊形AEPF是矩形，所以AM＝eq\f(1,2)EF＝eq\f(1,2)AP，在Rt△ABC中利用AP求出x的最小值。答案：解：連接AP，∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，∴AB2＋AC2＝36＋64＝100，BC2BAC＝90°，∴四邊形AEPF是矩形，∴AP＝EF，∵∠BAC＝90°，M為EF中點(diǎn)，∴AM＝eq\f(1,2)EF＝eq\f(1,2)AP，當(dāng)AP⊥BC時，AP值最小，此時S△BAC＝eq\f(1,2)×6×8＝eq\f(1,2)×10×AP，AP＝4.8，即x的最小值為2.4。點(diǎn)評：本題考查了垂線段最短，三角形面積，勾股定理的逆定理，矩形的判定等的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出AP的最小值和得出AM與AP的數(shù)量關(guān)系。例題2請看下面小明同學(xué)完成的一道證明題的思路：如圖1，已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB，垂足是D，P是BC邊上任意一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分別是E、F。求證：PE＋PF＝CD。證明思路：如圖2，過點(diǎn)P作PG∥AB交CD于點(diǎn)G，則四邊形PGDE為矩形，PE＝GD；又可證△PGC≌△CFP，則PF＝CG；所以PE＋PF＝DG＋GC＝DC。如圖3，若P是BC延長線上任意一點(diǎn)，其他條件不變，則PE、PF與CD有何關(guān)系？請你寫出結(jié)論并完成證明過程。思路導(dǎo)航：采用與題目相同的思路，過點(diǎn)C作CG⊥PE，利用矩形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)確定PE、PF、CD之間的關(guān)系。答案：結(jié)論：PE－PF＝CD。證明：過點(diǎn)C作CG⊥PE于點(diǎn)G，∵PE⊥AB，CD⊥AB，∴∠CDE＝∠DEG＝∠EGC＝90°。∴四邊形CGED為矩形。∴CD＝GE，GC∥AB?！唷螱CP＝∠B?！逜B＝AC，∴∠B＝∠ACB?！唷螰CP＝∠ACB＝∠B＝∠GCP。在△PFC和△PGC中，∠F＝∠CGP＝90°，∠FCP＝∠GCP，CP＝CP，∴△PFC≌△PGC（AAS）。∴PF＝PG。∴PE－PF＝PE－PG＝GE＝CD。點(diǎn)評：本題通過構(gòu)造矩形和三角形全等，利用矩形和全等三角形的判定和性質(zhì)求解。解答這類閱讀理解問題，讀懂題目提供的解題思路是解題關(guān)鍵。例題3如圖，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，F(xiàn)為BA延長線上的一點(diǎn)，**7.如圖，O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，把AB、OB、OC、AC的中點(diǎn)D、E、F、G依次連接形成四邊形DEFG。（1）四邊形DEFG是什么四邊形，請說明理由；（2）若四邊形DEFG是矩形，點(diǎn)O所在位置應(yīng)滿足什么條件？說明理由。

1.D解析：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，對角線相等的平行四邊形是矩形。2.C解析：如圖，連接BD?！咴凇鰽BC中，AB＝8，BC＝6，AC＝10，∴AB2＋BC2＝AC2，即∠ABC＝90°。又∵DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，∴四邊形EDFB是矩形，∴EF＝BD?！連D的最小值為直角三角形ABC斜邊上的高，eq\f(1,2)AC·BD＝eq\f(1,2)AB·AC，∴BD＝4.8，∴EF的最小值為4.8，故選C。3.D解析：作△ABC的高CQ，AH，過C作CZ⊥DE，交ED的延長線于點(diǎn)Z，∵AB＝AC＝5，BC＝6，AH⊥BC，∴BH＝CH＝3，根據(jù)勾股定理得：AH＝4，根據(jù)三角形的面積公式得：eq\f(1,2)BC?AH＝eq\f(1,2)AB?CQ，即：6×4＝5CQ，解得：CQ＝eq\f(24,5)，∵CQ⊥AB，DE⊥AB，CZ⊥DE，∴∠CQE＝∠QEZ＝∠Z＝90°，∴四邊形QEZC是矩形，∴CQ＝ZE。再證明△ZCD≌△FCD，得DF＝DZ，∴DE＋DF＝CQ＝eq\f(24,5)。4.10解析：∵在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，∴△ADC是直角三角形；∵E是AC的中點(diǎn)?！郉E＝eq\f(1,2)AC（直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半）；又∵DE＝5，AB＝AC，∴AB＝10。5.2eq\r(,3)解析：∵AF＝BF，即F為AB的中點(diǎn)，又DE垂直平分AC，即D為AC的中點(diǎn)，∴DF為三角形ABC的中位線，∴DE∥BC，DF＝eq\f(1,2)BC，又∠ADF＝90°，∴∠C＝∠ADF＝90°，又BE⊥DE，∴∠E＝90°，∴四邊形BCDE為矩形，∵BC＝2，∴DF＝eq\f(1,2)BC＝1，在Rt△ADF中，∠A＝30°，DF＝1，∴AD＝eq\r(,3)，∴CD＝AD＝eq\r(,3)，則矩形BCDE的面積S＝CD?BC＝2eq\r(,3)。6.證明：分別取AC、BC中點(diǎn)M、N，連接MD、ND，再連接EM、FN，∵D為AB中點(diǎn)，∠AEC＝90°，∠BFC＝90°，∴EM＝DN＝eq\f(1,2)AC，F(xiàn)N＝MD＝eq\f(1,2)BC，DN∥CM且DN＝EMC＋∠CMD＝∠FNC＋∠CND，即∠EMD＝∠FND，∴△EMD≌△DNF（SAS）?！郉E＝DF。7.（1）四邊形DEFG是平行四邊形。理由如下：∵D、G分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴DG是△ABC的中位線；∴DG∥BC，且DG＝eq\f(1,2)BC；同理可證：EF∥BC，且EF＝eq\f(1,2)BC；∴DG∥EF，且DG＝EF，故四邊形DEFG是平行四邊形；（2）O在BC邊的高上（