高考數學理科人教通用版核心講練大一輪復習練考題預測全過關7-7-2利用向量求空間角和距離

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【解析】因為長方體ABCDA1B1C1D1的底面是邊長為1的正方形,高為2,所以以D為原點,DA所在直線為x軸,DC所在直線為y軸,DD1所在直線為z軸,建立空間直角坐標系,B(1,1,0),C1(0,1,2),D(0,0,0),B1(1,1,2),=(1,0,2),=(1,1,2),設異面直線BC1與DB1的夾角為θ,則cosθ==35·6=所以異面直線BC1與DB1的夾角的余弦值為3010答案:305.直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=2,E是AC的中點,F是線段AB上一個動點,且=λ(0<λ<1),如圖所示,沿BE將△CEB翻折至△DEB,使得平面DEB⊥平面ABE.(1)當λ=13時,證明:BD⊥平面(2)是否存在λ,使得DF與平面ADE所成的角的正弦值是23?若存在,求出λ的值;若不存在,請說明理由【解析】(1)在△ABC中,∠C=90°,即AC⊥BC,則BD⊥DE,取BF的中點N,連接CN交BE于M,當λ=13F是AN的中點,而E是AC的中點,所以EF是△ANC的中位線,所以EF∥CN,在△BEF中,N是BF的中點,所以M是BE的中點,在Rt△BCE中,EC=BC=2,所以CM⊥BE,則EF⊥BE,又平面DEB⊥平面ABE,平面DBE∩平面ABE=BE,所以EF⊥平面DBE,又BD?平面DBE,所以EF⊥∩DE=E,所以BD⊥平面DEF.(2)以C為原點,CA所在的直線為x軸,CB所在的直線為y軸,建立如圖所示空間直角坐標系,則C(0,0,0),A(4,0,0),B(0,2,0),由(1)知M是BE的中點,DM⊥BE,又平面DEB⊥平面ABE,所以DM⊥平面ABE,則D(1,1,2),假設存在滿足題意的λ,則由=λ,可得F(44λ,2λ,0),則=(34λ,2λ1,2),設平面A