一類非線性算子的不動點定理

一類非線性算子的不動點定理學(xué)生：閻繼先指導(dǎo)教師：李永金摘要：運用錐與半序理論和迭代方法，討論了一類不具有連續(xù)性和緊性條件的非線性算子方程:a(x,x)+u=Bx解的存在唯一性，并給出了迭代序列收斂于解的誤差估計。所得結(jié)果改進和推廣了反向混合單調(diào)算子方程的某些已知相應(yīng)結(jié)果。關(guān)鍵詞錐與半序；反向混合單調(diào)算子形對稱迭代不動點0引言在Banacl空間中，混合單調(diào)算子和反向混合單調(diào)算子是兩類重要的算子，廣泛存在于日非線性積分方程和微分方程的應(yīng)用中。對于混合單調(diào)算子，應(yīng)用迭代方法已得至了許多好的結(jié)果，但對反向混合單調(diào)算子方程解的存在性卻很少涉及。本文對算子的連續(xù)性和緊性不做(壬何限制通過引入譜半徑知識利用迭代技巧，討論了半序空間中「類算子方呈A(x,x)+u0=Bx解的存在唯一性并給出了迭代序列收斂于解的誤差估計。1預(yù)備知識總假設(shè)E為實Banac!空間，0表示E中的零元定義1如果對E的某些元素x,y之間可以定義一種元素關(guān)系，記為：x<y。具有對壬給xeE，者有x<x;如果x<y,y<x則x=y;如果x<y,y<z則x<z，則稱％”是一種半序關(guān)系E在該半序下是一個半座集。定義2非空閉凸集尸uE，如果P滿足：xeP,X>0n人xeP;xeP,-xePnx=9，則稱P是一錐于是在E中可引入半序關(guān)系如下：x<y，如果y一xeP。定義3如果存在N>0，使得9<x<y時，有|x||<N〔|y||，N為P的正規(guī)常數(shù)，錐P稱為正規(guī)的。定義4設(shè)u,veE且u<v，D=U,v］表示E中的序區(qū)域。若u<u,v>v,u,v(i=1,2)eD0 0 0 0 0 0 1 2 1 2ii時，A(u,v)>A(u,v)，稱二元算子A:DxDTE是反向昆合單調(diào)算子。1 1 2 2定義5設(shè)TeB(x)則極限r(nóng)(T)=lim =inf『存在，并稱r偵)為有界線性算子T的譜半徑。kT9

定義6設(shè)X和Y是半序集，DuX，A:D—Y，如果x,x&D,x<x蘊含著4工<Ax，貝稱A是1 2 1 2 1 2D上的增算子。定義7如果x*GE，滿足4《*,x*)=x*，貝稱x*是算子A的一個不動點。2主要結(jié)果定理1設(shè)P是實Banach空間E中的正規(guī)錐，D=U,門，A:DxD—E是反向混合單調(diào)算子，B:E-E是連續(xù)的日唆性算子若滿足下列條件(I)存在正有界線性增算子肱：E—E,K::E—E，且滿足：0<r(M+K)<a<1，且TOC\o"1-5"\h\zM(v-u)<A(v,u),A(u,v)<(I一K)(v一u)，其中I為恒等算子0 0 0 0 0 0 0 0時;0(II)存在常數(shù)p>0,a+p<1，滿足A(u,v)一A(v,u)<p(v一u)當u<u<v<時;0(III)A(v,u)+u<Bv<Bu<A(u,v)+u當u<u<v<v時，0 0 0 0=A(u,v)+K(v一u)+u，

nn nn 0n=1,2=A(u,v)+K(v一u)+u，

nn nn 0n=1,2，…u=A(v,u)一M(v一u)+u，n+1 nn nn 0都收斂于x*且有誤差估計：IL-x*||<N(r(M+K)+p)n||v-u||，|v-x*||<N(r(M+K)+P)n||v-u||(N為常數(shù))。"n " 0 0 n " 0 0證明：運用數(shù)學(xué)歸納法頑u<u<u<…<u<…<v<…<v<v<v (*)，0 1 2 n n 2 1 0事實上當n=1時，由條件(1)及A是反向混合單調(diào)算子知u<A(v,u)一M(v一u)+u=u<A(v,u)+u<A(u,v)+K(v一u)+u=v<v，0 0 0 00 01 00 0 0 0 00 010則(*)式成立，假設(shè)n=k時式(*)成立，即有匕1<uk<v.<v^1，從而有MM(v一u)<M(v 一u)，K(v一u)<K(v一u)，則n=k+1時，由A的反向混合單調(diào)性知:)一M(v一u)+u<A(v,u)一M(vkk0 kk k)一M(v一u)+u<A(v,u)一M(vkk0 kk kk k—1k—1 k—1 k—1 0 k—1 k—1

=u<A(v,u)+u<A(u,v)+K(v一u)+u=v<A(u,v)+K(v一u)+u=v0 kk kk0k+1 k—1 k—1 k—1 k—1 0k則（*）式成立。再由條件（11）和A的反向混合單調(diào)性雉=A(u,v)一A(v,u)+M(v一u)+K(v一u)<P(v一u)n—1 n—1 n—1 n—1 n—1 n—1 n—1 n—1 n—1 n—1+M(v 一u)+K(v 一u)=(PI+M+K)(v一u)，PI，對任給的r（M+K）<a<1，由limHnlimHnn=r(H)<r(M+K)+P<1，可知存在n，使得||hnJ(r(M可知存在n，使得||hnJ(r(M+K)+P)n<1,n>n。根據(jù)P的正規(guī)性遞推得un+m-un從而v—u||<N(r(M+K)+P)nII，<N(r(M+K)+P)"||v0-u0所以｛u｝和｛v｝是E中的Cauchy序列。由E的完備性知，存在u*,v*GE，使uTu*,vTv*(nTs)且u<u*<v*<v，再由e<v*—u*<v—u<Hn(v—u)與錐P的正規(guī)性，易知：u*=v*=X*GD。又由條件曲）知：又由條件曲）知：)+u<Bv<Bu<A(u再由)+u<A(x*,x*)+u<A(u.,v)+u<v，再由同時令〃Ts，得A(x*,x*)+u=x*=Bx*，即x*是方程A(x,x)+u=Bx在偵，v］上的不動點。下證X*的唯一性。

設(shè)y*也是方程A(x,x)+u0=Bx在D中的利點貝仿照上述方法由歸納法可得u<y*<v,令〃—8得x*=y*,故x*是A(x,x)+u=Bx在D中的唯一不動點。最后在u 一u||<N(r(M+K)+p)n||v一u和v一v||<N(r(M+K)+p)n||v一u||中，n+m n 0 0 n n+m 0 0證畢令m-s便得到誤差估計式證畢定理2設(shè)P是實Banac!空間E中的正規(guī)錐，D=\u°,v°］，A:DxD-E是反向混合單調(diào)算子，B:E-E是連續(xù)的日唆性算子，若滿足O條件（I）存在正有界線性增算子肱:E—E,K:E—E,且滿足：TOC\o"1-5"\h\zM(v一u)<A(v,u),A(u,v)<(I一K)(v一u)，其中I為恒等算子0 0 0 0 0 0 0 0使得(II)存在正有界線性算子L:E-E，L的譜半徑：0<r(L)<1，并且)<r(M+K+L)<a<1，使得A(u,v)一A(v,u)<L(v一u)，當u<u<v<v時；(III)A(v,u)+u<Bv<Bu<A(u,v)+u當u<u<v<v時，0 0 0 0則算子方程A（x,x）+u0=Bx在D上有虹的不動點x*。構(gòu)造迭代序列u=A(v,u)一M(v一u)+uu=A(v,u)一M(v一u)+u，

n+1 nn nn 0n+1 nn nn 0都收斂于x*,且有誤差估計:-x*||-x*||<N(r(M+K+L))n|"。-uJ|，|v一x*||<N(r(M+K+L))n||v 一u（N為常數(shù)）。證明：運用數(shù)學(xué)歸納法證明(*)，<…<u<…<v<…<v<v<(*)，事實上當n=1時，由條件（I）及A是反向混合單調(diào)算子可知:u<A(v,u)一M(v一u)+u=u<A(v,u)+u<A(u,v)+K(v一u)+u=v<v，0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0則(*)式成立，假設(shè)n=k時式（*）成立，即P有u<u<v<v，從而有:M(v一u)<M(v一u)，K(v一u)<K(v 一u)，kk k-1 k-1 kk k-1k-1則n=k+1時，由A的反向混合單調(diào)性雉

u=A(v,u)一M(v 一u)+u<A(v,u)一M(v一u)+u<A(v,u)一M(vTOC\o"1-5"\h\zk k-1k-1 k-1 k-1 0 k-1 k-1 kk0 kk k=u<A(v,u)+u<A(u,v)+K(v一u)+u=v<A(u,v)+K(v一u)+u=vk+1 kk0 kk kk0k+1 k-1k-1 k-1k-1 0k則(*)式成立。再由條件(11)和A的反向混合單調(diào)性知：0<v一u=A(u,v)一A(v,u)+M(v一u)+K(v一u)<L(v一u)nn n-1 n-1 n-1 n-1 n-1 n-1 n-1 n-1 n-1 n-1+M(v1-u1)+K(v1-u1)=(L+M+K)(v】-u「,令H=M+K+L，對任給勺r(H)<a<1，由lim Hn||n=r(H)<a<1,nTs可知存在n，使得|H』<rn(H)<1,n>n。根據(jù)P的正規(guī)性遞推得|v-u||<Nrn(H)|"0-uJ。又0<u-u<v-u<v-u<Hn(v-u),n+m nn+mnnn 0 0<vn~un+m從而<Nrn(H)||v一uvnvn~vn+m<Nrn(H)|v-u||,所以｛u｝和｛v｝是E中的Cauchy序列。n n由E的完備性知，存在u*,v*GE，使uTu*,vTv*(nTs)且u<u*<v*<v,再由0<v*-u*<v-u<Hn(v-u)與錐P的正規(guī)性，易知：u*=v*=X*GD。由u<u<v,令pTs得:u<X*<v,又由條件曲)知：u<A(v,u)+u<Bv<Bu<A(u,v)+u<v，

n n-1n-1 0 n n n-1n-1 0n再由 u<A(v,u)+u<A(x*,x*)+u<A(u,v)+u<v，n n-1n-1 0 0 n-1n-1 0n同時令〃T8，得A(x*,x*)+u=x*=Bx*,即x*是方程A(x,x)+u=Bx在U,v］上的不動點。下證x*的唯一性。設(shè)y*也是方程A(x,x)+u0=Bx在D中的利點貝仿照上述方法由歸納法可得u<y*<v,令nT8得x*=y*,故x*是A(x,x)+u=Bx在D中的唯一不動點。最后在u一u||<Nrn(H)||v一u和v一v||<Nrn(H)||v-u||中，n+m n 0 0 n n+m 0 0令mT8便得到誤差估計式證畢參考文獻：【1】郭大鈞非線性泛函分析皿。濟南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，1985【2】孫經(jīng)先非線性泛函分析及其應(yīng)用?？茖W(xué)出版社，2008【3】GuoDajun&V.LakshmikanthamCoupledfixedpointsofnonlinearoperatorswithapplications.NonlinearAnalysisTMA,11(1987):623-632【4】嚴心力對稱壓縮算子方呈解的存在唯一性定理及其應(yīng)用［J］。科學(xué)通報。1990,35(10)：733-736【5】孫經(jīng)先文立山非線性算子方程的迭代求解及其應(yīng)用3】。數(shù)學(xué)物理學(xué)報1993,13(3):141-145【6】張慶正序?qū)ΨQ壓縮算子方呈的西弋腳及其應(yīng)用3］。工呈數(shù)學(xué)學(xué)報2000,17(2)：131-134【7】李俊強張斐然一類混合單調(diào)算子的心不動點定理的推廣［J］。鄭州大學(xué)學(xué)報2004,36(4)：13-15【8】諭生孫俊萍一類混合單調(diào)算子方呈解的存在虹性定MJ］。陜西師大學(xué)報，2002,30(10)：1-4【9】王泗奎做黎明等Banach空間中兩類算子方程的可解性3］。江西科學(xué)，2006,24(6)：407-409【10】郭大鈞