高等數(shù)學(xué)第11章曲線積分和曲面積分(全)

主講教師|張?zhí)斓陆淌趯?dǎo)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）（慕課版）第十一章曲線積分與曲面積分第十一章曲線積分與曲面積分

在實(shí)際問(wèn)題中，常常要遇到計(jì)算非均勻曲線狀或曲面狀構(gòu)件的質(zhì)量、質(zhì)點(diǎn)受變力作用下沿曲線做功及流體通過(guò)曲面的流量等問(wèn)題，要解決這類問(wèn)題，就要推廣積分范圍，即討論定義在曲線、曲面上的積分——曲線積分和曲面積分.這些積分又不是相互孤立的，格林在1828年發(fā)表《數(shù)學(xué)分析在電磁學(xué)中的應(yīng)用》中首次引入的格林公式，奧斯特羅格拉茨基于1826年敘述并證明的高斯公式，1854年在劍橋大學(xué)以史密斯競(jìng)賽考試題的形式公開(kāi)的斯托克斯公式，以及之前學(xué)習(xí)過(guò)的牛頓-萊布尼茨公式，他們共同構(gòu)成微積分學(xué)的核心內(nèi)容.201曲線積分

曲面積分格林公式、高斯公式、斯托克斯公式0203導(dǎo)學(xué)內(nèi)容01曲線積分曲線積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分定義計(jì)算聯(lián)系曲線形構(gòu)件的質(zhì)量變力沿曲線做功分割、近似、求和、取極限4曲線積分曲面積分格林公式、高斯公式、斯托克斯公式030102導(dǎo)學(xué)內(nèi)容02曲面積分曲面積分對(duì)面積的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分定義計(jì)算聯(lián)系曲面的質(zhì)量流體流過(guò)曲面一側(cè)的流量分割、近似、求和、取極限6曲線積分曲面積分格林公式、高斯公式、斯托克斯公式020103導(dǎo)學(xué)內(nèi)容03格林公式、高斯公式、斯托克斯公式定積分曲線積分重積分曲面積分計(jì)算計(jì)算計(jì)算格林公式斯托克斯公式高斯公式8主講教師|張?zhí)斓陆淌趯W(xué)海無(wú)涯，祝你成功！高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）（慕課版）主講教師|張?zhí)斓陆淌诘谝恢v對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）（慕課版）第十一章曲線積分與曲面積分01對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的概念和性質(zhì)對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算法02本講內(nèi)容一、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的概念和性質(zhì)引例12被積函數(shù)一、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的概念和性質(zhì)定義11.1積分曲線弧長(zhǎng)元素13一、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的概念和性質(zhì)注14一、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的概念和性質(zhì)性質(zhì)11.1性質(zhì)11.2性質(zhì)11.31502對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算法對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的概念和性質(zhì)01本講內(nèi)容二、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算法定理11.1解釋17二、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算法計(jì)算步驟18二、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算法注19

1例

解二、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算法同步習(xí)題11.1，基礎(chǔ)420

2例

解二、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算法同步習(xí)題11.1，提高221

3例

解二、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算法同步習(xí)題11.1，基礎(chǔ)522

4例

解二、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算法例11.423與二重積分的對(duì)稱性十分類似

5例

解二、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算法同步習(xí)題11.1，提高324主講教師|張?zhí)斓陆淌诘诙v對(duì)坐標(biāo)的曲線積分高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）（慕課版）第十一章曲線積分與曲面積分01對(duì)坐標(biāo)曲線積分的概念和性質(zhì)對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算法02兩類曲線積分之間的關(guān)系03本講內(nèi)容一、對(duì)坐標(biāo)曲線積分的概念和性質(zhì)引例27一、對(duì)坐標(biāo)曲線積分的概念和性質(zhì)A=M0M1M2Mi-1MiMn-1?yi?xiyxOB=Mn28一、對(duì)坐標(biāo)曲線積分的概念和性質(zhì)定義11.229一、對(duì)坐標(biāo)曲線積分的概念和性質(zhì)若記，可表示為有向積分曲線向量值函數(shù)有向弧元素30一、對(duì)坐標(biāo)曲線積分的概念和性質(zhì)注31一、對(duì)坐標(biāo)曲線積分的概念和性質(zhì)32

對(duì)坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向有關(guān)一、對(duì)坐標(biāo)曲線積分的概念和性質(zhì)性質(zhì)11.4性質(zhì)11.6性質(zhì)11.53302對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算法對(duì)坐標(biāo)曲線積分的概念和性質(zhì)01兩類曲線積分之間的關(guān)系03本講內(nèi)容二、對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算法定理11.235二、對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算法計(jì)算步驟36二、對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算法37二、對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算法

1例

解例11.638二、對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算法

2例

解同步習(xí)題11.2，基礎(chǔ)339二、對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算法3例

解同步習(xí)題11.2，提高440yxB(0,1)A(-1,0)A(1,0)OD二、對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算法4例

解例11.8xyOzΓ41二、對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算法5例

解同步習(xí)題11.2，提高142B二、對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算法

6例

解第11章總復(fù)習(xí)題(2)43yxOM(x1,y1)N(x2,y2)對(duì)坐標(biāo)曲線積分的概念和性質(zhì)03對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算法02兩類曲線積分之間的關(guān)系01本講內(nèi)容三、兩類曲線積分之間的關(guān)系45三、兩類曲線積分之間的關(guān)系46主講教師|張?zhí)斓陆淌诘谌v格林公式及其應(yīng)用(1)高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）（慕課版）第十一章曲線積分與曲面積分01格林公式及其應(yīng)用本講內(nèi)容一、格林公式及其應(yīng)用單連通（無(wú)洞）復(fù)連通（有洞）定理11.3DyxOOxyD49一、格林公式及其應(yīng)用50一、格林公式及其應(yīng)用51一、格林公式及其應(yīng)用521例

解一、格林公式及其應(yīng)用第11章總復(fù)習(xí)題(1)53D一、格林公式及其應(yīng)用接上542例

解一、格林公式及其應(yīng)用例11.12Oxy55此時(shí)不能用格林公式可以用格林公式3例

解一、格林公式及其應(yīng)用例11.12拓展564例

解一、格林公式及其應(yīng)用例11.14OA（1,0）xB（-1,0）y57一般是有向的平行于坐標(biāo)軸的直線或折線.一、格林公式及其應(yīng)用接上注：用格林公式，如果不是封閉曲線要添加輔助線，OA（1,0）xB（-1,0）y585例

解一、格林公式及其應(yīng)用同步習(xí)題11.2，提高12講例題59接上一、格林公式及其應(yīng)用606例

解一、格林公式及其應(yīng)用例11.15OlD1ryxL61接上一、格林公式及其應(yīng)用OlD1ryxL62主講教師|張?zhí)斓陆淌诘谒闹v格林公式及其應(yīng)用(2)高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）（慕課版）第十一章曲線積分與曲面積分02格林公式及其應(yīng)用平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件01二元函數(shù)的全微分03曲線積分的基本定理04本講內(nèi)容二、平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件單連通（無(wú)洞）定理11.46503格林公式及其應(yīng)用平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件01二元函數(shù)的全微分02曲線積分的基本定理04本講內(nèi)容三、二元函數(shù)的全微分原函數(shù)67

1例

解三、二元函數(shù)的全微分例11.1668

2例

解三、二元函數(shù)的全微分例11.1769接上三、二元函數(shù)的全微分70接上三、二元函數(shù)的全微分71三、二元函數(shù)的全微分7204格林公式及其應(yīng)用平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件01二元函數(shù)的全微分03曲線積分的基本定理02本講內(nèi)容四、曲線積分的基本定理定理11.574四、曲線積分的基本定理注75四、曲線積分的基本定理3例

解例11.1876主講教師|張?zhí)斓陆淌诘谖逯v對(duì)面積的曲面積分高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）（慕課版）第十一章曲線積分與曲面積分01對(duì)面積曲面積分的概念和性質(zhì)對(duì)面積曲面積分的計(jì)算法02本講內(nèi)容yxozS一、對(duì)面積曲面積分的概念和性質(zhì)引例79一、對(duì)面積曲面積分的概念和性質(zhì)80注一、對(duì)面積曲面積分的概念和性質(zhì)81性質(zhì)11.7性質(zhì)11.8性質(zhì)11.9一、對(duì)面積曲面積分的概念和性質(zhì)8202對(duì)面積曲面積分的計(jì)算法對(duì)面積曲面積分的概念和性質(zhì)01本講內(nèi)容二、對(duì)面積曲面積分的計(jì)算法定理11.6注84計(jì)算步驟二、對(duì)面積曲面積分的計(jì)算法85二、對(duì)面積曲面積分的計(jì)算法

1例

解例11.1986二、對(duì)面積曲面積分的計(jì)算法接上87二、對(duì)面積曲面積分的計(jì)算法

2例

解例11.2288二、對(duì)面積曲面積分的計(jì)算法3例

解同步習(xí)題11.4，基礎(chǔ)389二、對(duì)面積曲面積分的計(jì)算法接上90二、對(duì)面積曲面積分的計(jì)算法

4例

解例11.2191ΣyxzO二、對(duì)面積曲面積分的計(jì)算法

5例

解第11章總復(fù)習(xí)題(9)92主講教師|張?zhí)斓陆淌诘诹v對(duì)坐標(biāo)的曲面積分高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）（慕課版）第十一章曲線積分與曲面積分01對(duì)坐標(biāo)曲面積分的概念和性質(zhì)對(duì)坐標(biāo)曲面積分的計(jì)算法02兩類曲面積分之間的關(guān)系03本講內(nèi)容莫比烏斯帶曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面分左側(cè)和右側(cè)(單側(cè)曲面的典型)一、對(duì)坐標(biāo)曲面積分的概念和性質(zhì)有向曲面及其在坐標(biāo)面上的有向投影95一、對(duì)坐標(biāo)曲面積分的概念和性質(zhì)有向投影96一、對(duì)坐標(biāo)曲面積分的概念和性質(zhì)引例97一、對(duì)坐標(biāo)曲面積分的概念和性質(zhì)98一、對(duì)坐標(biāo)曲面積分的概念和性質(zhì)定義11.499一、對(duì)坐標(biāo)曲面積分的概念和性質(zhì)注有向面積元素100

對(duì)坐標(biāo)的曲面積分與曲面所取側(cè)有關(guān)一、對(duì)坐標(biāo)曲面積分的概念和性質(zhì)性質(zhì)11.10性質(zhì)11.11性質(zhì)11.1210102對(duì)坐標(biāo)曲面積分的計(jì)算法對(duì)坐標(biāo)曲面積分的概念和性質(zhì)01兩類曲面積分之間的關(guān)系03本講內(nèi)容二、對(duì)坐標(biāo)曲面積分的計(jì)算法定理11.7注1031例

解二、對(duì)坐標(biāo)曲面積分的計(jì)算法例11.23Ozxy104二、對(duì)坐標(biāo)曲面積分的計(jì)算法接上1052例

解二、對(duì)坐標(biāo)曲面積分的計(jì)算法例11.24O11yxzΣ106二、對(duì)坐標(biāo)曲面積分的計(jì)算法接上O11yxzΣΣ11073例

解二、對(duì)坐標(biāo)曲面積分的計(jì)算法同步習(xí)題11.5，基礎(chǔ)4108對(duì)坐標(biāo)曲面積分的概念和性質(zhì)本講內(nèi)容03對(duì)坐標(biāo)曲面積分的計(jì)算法02兩類曲面積分之間的關(guān)系01三、兩類曲面積分之間的關(guān)系110三、兩類曲面積分之間的關(guān)系4例

解例11.25111三、兩類曲面積分之間的關(guān)系接上1121-11三、兩類曲面積分之間的關(guān)系5例

解同步習(xí)題11.5，提高1113三、兩類曲面積分之間的關(guān)系接上114主講教師|張?zhí)斓陆淌诘谄咧v高斯公式、通量和散度高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）（慕課版）第十一章曲線積分與曲面積分01高斯公式沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件02通量和散度03本講內(nèi)容一、高斯公式注意：格林公式取邊界曲線的正向，高斯公式取邊界曲面的外側(cè)定理11.8117一、高斯公式118一、高斯公式119一、高斯公式

1例

解例11.26xyzO120不能使用高斯公式可以使用高斯公式一、高斯公式

2例

解例11.26拓展121一、高斯公式

3例

解例11.27122一、高斯公式接上x(chóng)OhzΣy123一、高斯公式4例

解第11章總復(fù)習(xí)題(15)124一、高斯公式接上12502高斯公式沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件01通量和散度03本講內(nèi)容二、沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件127二、沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件定理11.9128二、沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件

5例

解例11.28xOzΣ0Σy129二、沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件接上x(chóng)OzΣ0Σy13003高斯公式沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件02通量和散度01本講內(nèi)容三、通量和散度132三、通量和散度

6例

解例11.29133三、通量和散度7例

解例11.30134主講教師|張?zhí)斓陆淌诘诎酥v斯托克斯公式、環(huán)流量與旋度高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）（慕課版）第十一章曲線積分與曲面積分斯托克斯公式01空間曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件02環(huán)流量與旋度03本講內(nèi)容一、斯托克斯公式定理11.10137注一、斯托克斯公式138

1例

解例11.31一、斯托克斯公式DxyOΣnzxy1111392例

解同步習(xí)題11.7，基礎(chǔ)1(1)一、斯托克斯公式1403例

解同步習(xí)題11.7，基礎(chǔ)1(3)一、斯托克斯公式141斯托克斯公式02空間曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件01環(huán)流量與旋度03本講內(nèi)容二、空間曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件定理11.11143定理11.12二、空間曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件M0（x0，y0，z0）M（x，y，z）M1（x1，y1，z1）M2（x2，y2，z2）Oyxz1444例

解例11.33二、空間曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件M0（x0，y0，z0）M（x，y，z）M1（x1，y1，z1）M2（x2，y2，z2）Oyxz145斯托克斯公式03空間曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件02環(huán)流量與旋度01本講內(nèi)容三、環(huán)流量與旋度1475例

解同步習(xí)題11.7，基礎(chǔ)4三、環(huán)流量與旋度1486例

解同步習(xí)題11.7，提高1三、環(huán)流量與旋度1497例

解例11.34三、環(huán)流量與旋度MOvrl1508例