任意角、弧度制以及任意角的三角函數(shù)（教學(xué)設(shè)計）

三角函數(shù)與解三角形任意角、弧度制與任意角的三角函數(shù)教材分析：三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)函數(shù)主線上的一個重要的板塊，是高中階段最典型的周期函數(shù)。本節(jié)課復(fù)習(xí)的范圍是高中數(shù)學(xué)必修4第一章1.1和1.2兩個小節(jié)，內(nèi)容包括：角的概念，弧度制，任意角的三角函數(shù)，三角函數(shù)線.其中，角的概念，涉及到將銳角范圍推廣到任意角，是后面表示任意角、研究任意角三角函數(shù)值的基礎(chǔ)；弧度制，將角度制下的角對應(yīng)到實數(shù)，為后面定義三角函數(shù)做好鋪墊；任意角的三角函數(shù)，則是借助單位圓，利用比值定義的方式，建立了角的集合與實數(shù)集之間的一一對應(yīng)關(guān)系；三角函數(shù)線的引入，從幾何圖形的角度，讓三角函數(shù)值的計算更加直觀.學(xué)情分析：任意角、弧度制與任意角的三角函數(shù)，是高一學(xué)習(xí)的內(nèi)容。從前段時間綜合試卷的考試情況來看，學(xué)生對任意角（特別是角度范圍的表示）存在許多困惑，對弧度制表示角還不能很好的適應(yīng)，對一些特殊角的三角函數(shù)值存在混淆的情形。通過對學(xué)生練習(xí)和考試情況進(jìn)行分析，學(xué)生對相關(guān)知識遺忘較為嚴(yán)重。本節(jié)內(nèi)容整體難度不大，通過教師的講解，學(xué)生應(yīng)逐步建立知識體系。教學(xué)目標(biāo)：回憶角的概念，會判斷象限角和終邊相同的角；能借助弧度制下的角，計算扇形的弧長、面積等；掌握三角函數(shù)線的概念，能應(yīng)用它分析與角的范圍、三角函數(shù)值的范圍相關(guān)的問題.教學(xué)重點：概念梳理：象限角，終邊相同的角，三角函數(shù)線公式使用：角度制、弧度制下的角的轉(zhuǎn)化公式，扇形弧長、面積公式.教學(xué)難點：利用三角函數(shù)線研究三角函數(shù)值（取值范圍）.教具使用：教學(xué)PPT板書設(shè)計標(biāo)題：任意角、弧度制與任意角的三角函數(shù)角的分類：終邊相同的角：角的轉(zhuǎn)化公式：任意角三角函數(shù)的定義：（教室一體機(jī)）扇形弧長：扇形面積：三角函數(shù)線：（解題過程板書）教學(xué)流程：一問一答，梳理知識角是如何形成的？角的定義：角可以看成平面內(nèi)繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的．角的符號是如何確定的？角的分類一：角按旋轉(zhuǎn)方向分為、和．何為象限角？我們所學(xué)習(xí)的角都是象限角嗎？這些類型的角該如何表示？角的分類二：按照角的終邊所處的位置分為和．-300°是第幾象限角？495°轉(zhuǎn)化為弧度制下的角該如何表示？半徑為1cm，圓心角為135°的扇形，其周長為多少？面積呢？三角函數(shù)值是如何定義的？各象限角與其三角函數(shù)值的符號與有何聯(lián)系？sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)三角函數(shù)定義域第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角sinα＋＋－－cosα＋－－＋tanα＋－＋－你能將sin70°，cos70°，tan70°按從小到大的順序排列嗎？考點探究，明晰規(guī)律考點一象限角與終邊相同的角例1(1)若角α的頂點為原點，始邊在x軸的非負(fù)半軸上，終邊在直線y＝－eq\r(3)x上，則角α的所有取值的集合是()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ－\f(π,3)，k∈Z))))B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z))))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝kπ－\f(2π,3)，k∈Z))))D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝kπ－\f(π,3)，k∈Z))))(2)集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))中的角所表示的范圍(陰影部分)是()1.表示區(qū)間角的三個步驟1先按逆時針方向找到區(qū)域的起始和終止邊界.2按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對應(yīng)的－360°～360°范圍內(nèi)的角α和β，寫出最簡區(qū)間.3起始、終止邊界對應(yīng)角α，β再加上360°的整數(shù)倍，即得區(qū)間角集合.2.象限角的兩種判斷方法1圖象法：在平面直角坐標(biāo)系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角.2轉(zhuǎn)化法：先將已知角化為k·360°＋α0°≤α<360°，k∈Z的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角.3.求eq\f(θ,n)或nθn∈N*所在象限的方法1將θ的范圍用不等式含有k表示.2兩邊同除以n或乘以n.3對k進(jìn)行討論，得到eq\f(θ,n)或nθn∈N*所在的象限.(1)(2021·重慶一中月考)設(shè)集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(k,2)·180°,＋45°，k∈Z))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,4)·180°＋45°，k∈Z))))，那么()A．M＝NB．M?NC．N?MD．M∩N＝?(2)已知角α的終邊在圖示陰影表示的范圍內(nèi)(不包括邊界)，則角α用集合可表示為．考點二扇形的弧長、面積公式例2(1)已知扇形的周長是4cm，則扇形面積最大時，扇形的圓心角的弧度數(shù)是()A．2B．1C．eq\f(1,2)D．3(2)若圓弧長度等于該圓內(nèi)接正三角形的邊長，則圓弧所對圓心角的弧度數(shù)是________．(1)如果一個圓的半徑變?yōu)樵瓉淼囊话?，而弧長變?yōu)樵瓉淼膃q\f(3,2)倍，則該弧所對的圓心角是原來的倍．(2)弧長為3π，圓心角為135°的扇形半徑為，面積為.考點三任意角的三角函數(shù)的定義命題視角1三角函數(shù)的定義例3(2021·四川宜賓模擬)角θ的終邊經(jīng)過點P(4，y)，且sinθ＝－eq\f(3,5)，則tanθ＝()A．－eq\f(4,3)B．eq\f(4,3)C．－eq\f(3,4)D．eq\f(3,4)三角函數(shù)的定義主要應(yīng)用于兩方面(1)已知角的終邊上一點P的坐標(biāo)，則可先求出點P到原點的距離，然后用三角函數(shù)的定義求解三角函數(shù)值，特別地，若角α的終邊落在某條直線上，一般要分類討論．(2)已知角α的某個三角函數(shù)值，可依據(jù)三角函數(shù)值設(shè)出角α終邊上某一符合條件的點的坐標(biāo)來解決相關(guān)問題．已知角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊在直線y＝2x上，則cos2θ－sin2θ＝()A．－eq\f(4,5)B．－eq\f(3,5)C．eq\f(3,5)D．eq\f(4,5)命題視角2三角函數(shù)的符號例4若sinαtanα<0，且eq\f(cosα,tanα)<0，則角α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角(2021·北京東城區(qū)測試)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α以O(shè)x為始邊，終邊經(jīng)過點P(－1，m)(m≠0)，則下列各式的值一定為負(fù)的是()A．sinα＋cosαB．sinα－cosαC．sinαcosαD．eq\f(sinα,tanα)命題視角3三角函數(shù)線的應(yīng)用例5函數(shù)y＝lg(3－4sin2x)的定義域為________．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)，－\f(π,2)))，a＝sinα，b＝cosα，c＝tanα，那么a，b，c的大小關(guān)系是c>b>a.課后自測1．角－870°的終邊所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限2．將－300°化為弧度為()A．－eq\f(4,3)πB．－eq\f(5,3)πC．－eq\f(7,6)πD．－eq\f(7,4)π3．已知角α的終邊過點P(－1,2)，則sinα＝()A．eq\f(\r(5),5)B．eq\f(2\r(5),5)C．－eq\f(\r(5),5)D．－eq\f(2\r(5),5)4．下列與eq\f(9π,4)的終邊相同的角的集合中正確的是()A．{α|α＝2kπ＋45°，k∈Z}B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝k·360°＋\f(9,4)π，k∈Z))))C．{α|α＝k·360°－315°，k∈Z}D．eq\b\lc\{\r