數(shù)學(xué)蘇教版必修4導(dǎo)學(xué)案2.2.1向量的加法

2.2.1向量的加法學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)難點(diǎn)1．能說出向量加法在物理學(xué)中的背景知識．2．能記住向量的運(yùn)算法則，理解向量加法的幾何意義．3．會推導(dǎo)向量加法的交換律與結(jié)合律.重點(diǎn)：掌握向量加法的運(yùn)算法則，理解向量加法的幾何意義．難點(diǎn)：向量加法的交換律與結(jié)合律的推導(dǎo).1．向量加法的定義已知向量a和b，如圖，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，則向量eq\o(OB,\s\up6(→))叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→)).求兩個向量和的運(yùn)算叫做向量的加法．對于零向量與任一向量a，有a＋0＝0＋a＝a.對于相反向量，有a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.預(yù)習(xí)交流1如何理解向量加法的定義？提示：(1)兩個向量的和仍是一個向量．(2)當(dāng)兩個非零向量a與b不共線時(shí)，則a＋b的方向與a，b的方向都不相同，且|a＋b|＜|a|＋|b|，這是三角形兩邊之和大于第三邊的向量表示．2．向量求和法則及運(yùn)算律(1)向量加法的三角形法則與平行四邊形法則：根據(jù)向量加法的定義得出的求向量和的方法稱為向量加法的三角形法則．如圖，對于兩個不共線的非零向量a，b，分別作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OC,\s\up6(→))＝b，以O(shè)A，OC為鄰邊作OABC，則以O(shè)為起點(diǎn)的對角線eq\o(OB,\s\up6(→))就是向量a與b的和．這種方法叫做向量加法的平行四邊形法則．即eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b＝eq\o(OB,\s\up6(→)).(2)向量加法的運(yùn)算律：①交換律：a＋b＝b＋a.②結(jié)合律：a＋b＋c＝a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c.預(yù)習(xí)交流2兩個向量相加就是把兩個向量的模相加嗎？提示：不是．兩個向量相加，和仍是一個向量，并不是兩個向量的模相加．因此運(yùn)算時(shí)不僅要考慮其大小，而且要考慮其方向．預(yù)習(xí)交流3(1)化簡eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝__________.(2)已知|a|＝5，|b|＝4，則|a＋b|的取值范圍是__________．(3)小船在靜水中的速度是每分鐘30m，水流速度是每分鐘15m，如果船從岸邊點(diǎn)A處出發(fā)，沿著垂直河岸的航線到達(dá)對岸，那么船的行進(jìn)方向?yàn)開_________．提示：(1)0(2)1≤|a＋b|≤9(3)與水流方向成120°角一、向量的加法運(yùn)算化簡下列各式：(1)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))；(2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)).思路分析：多個向量相加，可利用向量加法的三角形法則求解，也可直接運(yùn)算．解：(1)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝(eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝2eq\o(OB,\s\up6(→))；(2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→)))＋(eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→)).1．下列各式中結(jié)果為0的個數(shù)是__________．①eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))；②eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))；③eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)).答案：2解析：①原式＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0；②原式＝(eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→)))＋(eq\o(CO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋0＝eq\o(BA,\s\up6(→))；③原式＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＋(eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0.故①③符合．2．已知O為正六邊形ABCDEF的中心，求下列向量：(1)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))；(2)eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))；(3)eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)).解：(1)由圖知，OAFE為平行四邊形．∴eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))；(2)由圖知，OABC為平行四邊形，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))；(3)由圖知，AEDB為平行四邊形，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).求向量的和要考慮用向量加法的運(yùn)算律和運(yùn)算法則，求和的關(guān)鍵是利用向量加法的三角形法則，在運(yùn)用此法則時(shí)，要注意“首尾相接”，即求兩個向量的和是以第一個向量的終點(diǎn)為第二個向量的起點(diǎn)，和向量是從第一個向量的起點(diǎn)指向第二個向量的終點(diǎn)．此類題要利用運(yùn)算律將“首尾相接”的兩個向量分在一組，多個向量求和也要注意首尾相連．二、向量加法法則的應(yīng)用如圖所示，在正六邊形OABCDE中，若eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OE,\s\up6(→))＝b，試用向量a，b將eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))表示出來．思路分析：用向量a，b表示eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))，要利用正六邊形的性質(zhì)，用平行向量、相等向量的知識和向量加法的運(yùn)算法則求解，結(jié)合圖形，適當(dāng)?shù)剡x取法則是解決此類問題的關(guān)鍵．解：設(shè)正六邊形的中心為P，則四邊形ABPO，AOEP均為平行四邊形．由向量加法的平行四邊形法則，知eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))＝a＋b.∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b.在△AOB中，根據(jù)向量的三角形法則，eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋(a＋b)＝2a＋b，∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋b＋b＝2a＋2b，eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝b＋a＋b＝a＋2b.已知向量a，b，求作向量a＋b.解：作法：方法一：(三角形法則)如圖①所示，在平面內(nèi)取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b.方法二：(平行四邊形法則)如圖②所示，先在平面內(nèi)取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，然后以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則eq\o(OC,\s\up6(→))即為所求向量a，b的和向量a＋b.用三角形法則求兩個向量和的步驟是：第一步：將其中一個向量平移，使兩個向量中的一個向量的起點(diǎn)與另一個向量的終點(diǎn)重合；第二步：將剩下的起點(diǎn)與終點(diǎn)相連，并指向終點(diǎn)，則該向量即為兩向量的和．三、向量加法的實(shí)際應(yīng)用一艘船從A點(diǎn)出發(fā)以2eq\r(3)km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時(shí)水的流速為2km/h，求船實(shí)際航行的速度的大小與方向．思路分析：該問題屬于實(shí)際應(yīng)用題，其中船速和水的流速及兩者間的方向關(guān)系明確——垂直，因此解答本題可借助向量知識及平面直角三角形的邊角關(guān)系求解．解：如圖，設(shè)eq\o(AD,\s\up6(→))表示船垂直于對岸的速度，eq\o(AB,\s\up6(→))表示水流的速度，以AD，AB為鄰邊作平行四邊形ABCD，則eq\o(AC,\s\up6(→))就是船實(shí)際航行的速度．在Rt△ABC中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，所以|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(|\o(AB,\s\up6(→))|2＋|\o(BC,\s\up6(→))|2)＝4.因?yàn)閠an∠CAB＝eq\f(2\r(3),2)＝eq\r(3)，所以∠CAB＝60°.所以船實(shí)際航行的速度大小為4km/h，方向?yàn)榇怪庇趯Π镀鞣较?0°.一自行車以6m/s的速度向北行駛，這時(shí)騎車人感覺風(fēng)自正西方向吹來，但站在地面上測得風(fēng)自南偏西eq\f(π,3)方向吹來，試求：(1)風(fēng)相對于車的速度；(2)風(fēng)相對于地的速度．解：如圖，設(shè)v風(fēng)車，v車地，v風(fēng)地分別是風(fēng)對車、車對地、風(fēng)對地的相對速度，則v風(fēng)車＋v車地＝v風(fēng)地．其中|v車地|＝6m/s，方向正北，v風(fēng)車，v風(fēng)地的夾角為eq\f(π,6).(1)風(fēng)相對車的速度大小為|v風(fēng)車|＝eq\f(|v車地|,tan\f(π,6))＝6eq\r(3)(m/s)，方向?yàn)檎龞|；(2)風(fēng)相對地面的速度大小為|v風(fēng)地|＝eq\f(|v車地|,sin\f(π,6))＝12(m/s)，方向?yàn)闁|偏北eq\f(π,6).平面向量在中學(xué)數(shù)學(xué)里扮演著極為重要的角色，而且與物理學(xué)中的力的合成與分解、速度的合成與分解、電流的合成等內(nèi)容相互呼應(yīng)．用向量方法解決此類問題，先要根據(jù)題意把物理向量用有向線段來表示，利用向量加法的平行四邊形法則，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中向量的加法，然后由已知條件進(jìn)行計(jì)算(常用到三角函數(shù)知識)．另外，學(xué)科交叉題往往要求較高，除了要懂得將各科知識融會貫通外，認(rèn)真掌握各科的知識也是非常重要的．1．在四邊形ABCD中，eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))等于__________．答案：eq\o(CD,\s\up6(→))解析：eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→)).2．化簡eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝__________.答案：0解析：eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→))＝0.3．小明在游泳池中先向東游了30米，然后又向北游了30米，那么小明相對于起點(diǎn)實(shí)際游泳的結(jié)果是向__________方向游了__________米．答案：東北30eq\r(2)解析：小明兩次游泳的路徑，既有大小，又有方向，故可用向量來表示，小明兩次游泳相當(dāng)于兩個向量的和．如圖所示，游泳的距離為30eq\r(2)米，方向北偏東45°.4．如圖，在平行四邊形ABCD中，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))等于__________．答案：eq\o(