沖刺雙一流備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)核心專題講練新高考版第2講基本初等函數(shù)及其應(yīng)用重難點(diǎn)題型突破含解析

Page1第2講基本初等函數(shù)及其應(yīng)用目錄第一部分：知識強(qiáng)化第二部分：重難點(diǎn)題型突破突破一：指數(shù)與對數(shù)運(yùn)算突破二：基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)突破三：函數(shù)的零點(diǎn)及其應(yīng)用角度1：確定函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)或范圍角度2：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍突破四：函數(shù)模型應(yīng)用第三部分：沖刺重難點(diǎn)特訓(xùn)第一部分：知識強(qiáng)化1、函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根之間的聯(lián)系（1）函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)．（2）函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的根,即函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).2、確定函數(shù)零點(diǎn)的常用方法:①直接解方程法;②利用零點(diǎn)存在性定理;③數(shù)形結(jié)合,利用兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)求解.第二部分：重難點(diǎn)題型突破突破一：指數(shù)與對數(shù)運(yùn)算1．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知，若，則大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】∵，又，∴，∴，又，，所以.故選：A.2．（2022·吉林·撫松縣第一中學(xué)一模）設(shè)，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，，即，所?故選：D．3．（2022·云南民族大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：，；，，，；，，，，綜上，．故選：．4．（2022·河南安陽·模擬預(yù)測（理））已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，，即，所以又，所以，所以又，所以所以，所以故選：C5．（多選）（2022·廣東汕頭·二模）設(shè)a，b，c都是正數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【詳解】解：設(shè)，則，，，所以，即，所以，所以，故D正確；由，所以，故A正確，B錯誤；因?yàn)椋?，又，所以，即，故C正確；故選：ACD突破二：基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．（2022·天津·南開中學(xué)模擬預(yù)測）函數(shù)的圖象大致為(

)A． B．C． D．【答案】A【詳解】x≠0時，，①x>0時，g(x)=，當(dāng)0<x<1時，g(x)單調(diào)遞減，y=單調(diào)遞增；當(dāng)x>1時，g(x)單調(diào)遞增，y=遞減；又∵f(t)=在t≥2時單調(diào)遞增，故根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，當(dāng)0<x<1時，單調(diào)遞增，當(dāng)x>1時，單調(diào)遞減；②x<0時，g(x)=，且當(dāng)-1<x<0時，g(x)單調(diào)遞減，y=單調(diào)遞增；當(dāng)x<-1時，g(x)單調(diào)遞增，y=遞減；又∵f(t)=在t≤-2時單調(diào)遞增，故根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，當(dāng)-1<x<0時，單調(diào)遞增，當(dāng)x<-1時，單調(diào)遞減；綜上所述，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，單調(diào)性符合的圖象有AB，當(dāng)x=-1時，，當(dāng)x=1時，，∵≠，故圖象A符合，B不符合．故選：A．2．（2022·河南·通許縣第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（文））定義：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果，使得在上的值域?yàn)?，則稱函數(shù)在上為“等域函數(shù)”，若定義域?yàn)榈暮瘮?shù)（，）在定義域的某個閉區(qū)間上為“等域函數(shù)”，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】當(dāng)時，函數(shù)在上為減函數(shù)，若在其定義域的某個閉區(qū)間上為“等域函數(shù)”，則存在，（）使得，所以，消去，得，令，則，當(dāng)時，，所以在上是單調(diào)增函數(shù)，所以符合條件的，不存在.當(dāng)時，函數(shù)在上為增函數(shù)，若在其定義域的某個閉區(qū)間上為“等域函數(shù)”，則存在，（）使得，，即方程在上有兩個不等實(shí)根，即在上有兩個不等實(shí)根，設(shè)函數(shù)（），則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，也是最大值，所以，又，，故，即.故選：C.3．（2022·全國·模擬預(yù)測）某微生物科研團(tuán)隊(duì)為了研究某種細(xì)菌的繁殖情況，工作人員配制了一種適合該細(xì)菌繁殖的營養(yǎng)基質(zhì)用以培養(yǎng)該細(xì)菌，通過相關(guān)設(shè)備以及分析計(jì)算后得到：該細(xì)菌在前3個小時的細(xì)菌數(shù)與時間（單位：小時，且）滿足回歸方程（其中為常數(shù)），若，且前3個小時與的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：1233個小時后，向該營養(yǎng)基質(zhì)中加入某種細(xì)菌抑制劑，分析計(jì)算后得到細(xì)菌數(shù)與時間（單位：小時，且）滿足關(guān)系式：，在時刻，該細(xì)菌數(shù)達(dá)到最大，隨后細(xì)菌個數(shù)逐漸減少，則的值為（

）A．4 B． C．5 D．【答案】A【詳解】依題意，，，由，，得，且經(jīng)過點(diǎn)，于是得，當(dāng)時，單調(diào)遞增，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，令，，求導(dǎo)得：，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，而，因此當(dāng)時，細(xì)菌數(shù)取最大值，所以的值為4.故選：A4．（2022·江蘇連云港·模擬預(yù)測）現(xiàn)代研究結(jié)果顯示，飲茶溫度最好不要超過．一杯茶泡好后置于室內(nèi)，分鐘、分鐘后測得這杯茶的溫度分別為、，給出三個茶溫（單位：）關(guān)于茶泡好后置于室內(nèi)時間（單位：分鐘）的函數(shù)模型：①；②；③．根據(jù)生活常識，從這三個函數(shù)模型中選擇一個，模擬茶溫（單位：）關(guān)于茶泡好后置于室內(nèi)時間（單位：分鐘）的關(guān)系，并依此計(jì)算該杯茶泡好后到飲用至少需要等待的時間為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．分鐘 B．分鐘 C．分鐘 D．分鐘【答案】C【詳解】根據(jù)生活常識，茶溫一般不低于室溫，若選擇模型①或模型②，茶溫在一定時間后會低于室溫，不合乎題意，故選擇模型③較為合適，則，解得，此時，由可得.故選：C.5．（2022·四川·宜賓市教科所三模（文））若函數(shù)的值域?yàn)?，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】C【詳解】當(dāng)時，f(x)=，當(dāng)時，f(x)=，故要使的值域是，則0≤≤1，解得．故選：C．6．（2022·河南信陽·一模（理））已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：令，∵在上單調(diào)遞減，∴在內(nèi)遞增，且恒大于0，且，．故選：C．7．（2022·重慶·模擬預(yù)測）若函數(shù)有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：依題意且，所以，解得或，綜上可得，令的根為、且，，，若，則在定義域上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)不存在最小值，故舍去；若，則在定義域上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在取得最小值，所以；故選：A8．（2022·寧夏六盤山高級中學(xué)一模（理））已知是函數(shù)的零點(diǎn)，是函數(shù)的零點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由已知可得，所以，，所以，為直線與曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，，則，則為直線與曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如下圖所示：函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，聯(lián)立，可得，所以，直線與直線交于點(diǎn)，由圖象可知，點(diǎn)、關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，，可得.故選：D.9．（2022·浙江·樂清市知臨中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，若是函數(shù)的最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_______．【答案】【詳解】解：因?yàn)?，?dāng)時函數(shù)單調(diào)遞減且，當(dāng)時，可得在時函數(shù)單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，若，，則在處取得最大值，不符題意；若，，則在處取得最大值，且，解得，綜上可得的范圍是．故答案為：10．（2022·江西宜春·模擬預(yù)測（文））若，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【詳解】因?yàn)?，不等式恒成立，所以對恒成?記，，只需.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以.故答案為：突破三：函數(shù)的零點(diǎn)及其應(yīng)用角度1：確定函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)或范圍1．（2022·全國·大化瑤族自治縣高級中學(xué)模擬預(yù)測（文））函數(shù)在上的零點(diǎn)個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【詳解】易得函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以，故函數(shù)在上有唯一的零點(diǎn)，故選：B2．（2022·四川成都·模擬預(yù)測（文））函數(shù)定義在上的奇函數(shù)滿足在，則在上的零點(diǎn)至少有（

）個A．6 B．7C．12 D．13【答案】D【詳解】是奇函數(shù)，故，又由得周期為1，故，又，，因此，再由周期為1，總之，有，共13個零點(diǎn)，故選:D．3．（2022·山西·模擬預(yù)測（理））已知若，則在內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)為（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【詳解】作出的圖像，則在內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)為曲線與直線在內(nèi)的交點(diǎn)個數(shù)9.故選：B.4．（2021·四川·石室中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則函數(shù)在上零點(diǎn)的個數(shù)為（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】D【詳解】解：因?yàn)槭嵌x域?yàn)镽的奇函數(shù)，所以．因?yàn)?，令，得，即，所以．又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以，所以是以4為周期的周期函數(shù)．根據(jù)周期性及奇函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)在上的圖象，如圖．由圖可知，函數(shù)在上有零點(diǎn)-4，-3.5，-3，-2，-1，-0.5，0，0.5，1，2，3，3.5，4，共13個零點(diǎn)．故選：D5．（2021·上海市控江中學(xué)三模）方程在區(qū)間上的解的個數(shù)是（

）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】C【詳解】原方程化為，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)圖象與直線，如圖：觀察圖象知：在時函數(shù)的圖象與直線有8個公共點(diǎn)，所以方程在區(qū)間上8個解.故選：C6．（多選）（2022·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，，那么函數(shù)在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)可能是（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】BC【詳解】當(dāng)時，當(dāng)時，令，解得或2共有兩個解；當(dāng)時，令，即，當(dāng)時，方程無解；當(dāng)時，，符合題意，方程有1解；當(dāng)時，，不符合題意，方程無解；所以當(dāng)時，有2個或3個根，而函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，所以函數(shù)在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)可能是4或6.故選：BC角度2：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍一、單選題1．（2020·山東煙臺·模擬預(yù)測）函數(shù)的一個零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題,顯然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),因?yàn)榈囊粋€零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi),所以,即,解得,故選:C2．（2017·山西·一模（理））函數(shù)在區(qū)間和區(qū)間上分別存在一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．或【答案】B【詳解】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，結(jié)合二次函數(shù)圖象可知，函數(shù)在區(qū)間和區(qū)間上分別存在一個零點(diǎn)時，有，即，解得，即.故選：B.3．（2022·全國·模擬預(yù)測）函數(shù)在內(nèi)有極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由得，，因函數(shù)在內(nèi)有極值，則時，有解，即在時，函數(shù)與直線y=a有公共點(diǎn)，而，即在上單調(diào)遞減，，則，顯然在零點(diǎn)左右兩側(cè)異號，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C4．（2021·江西上饒·二模（文））已知函數(shù)，若恰有3個正整數(shù)解，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：由題意，恰有3個正整數(shù)解，轉(zhuǎn)換為的圖象與的圖象交點(diǎn)問題，作出和的圖象，如圖：要使恰有3個正整數(shù)解，則需滿足：，解得：，故選：A．5．（2020·安徽蚌埠·三模（理））已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【詳解】令，則，當(dāng)時，，在上遞增，當(dāng)時，，在上遞減，所以時，取得最小值，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，所以，即，即在區(qū)間內(nèi)有解，由上面已證結(jié)論可知，在區(qū)間內(nèi)有解，所以在區(qū)間內(nèi)有解，即在區(qū)間內(nèi)有解，令，，則，當(dāng)時，，在內(nèi)遞減，當(dāng)時，，在內(nèi)遞增，所以時，取得最小值，即時，，所以.故選：B6．（2022·陜西西安·二模（文））已知函數(shù)，若關(guān)于的方程在內(nèi)有唯一實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【詳解】令，得或，解得，且，所以較小的實(shí)數(shù)根為、；因?yàn)?，所以，若關(guān)于的方程在內(nèi)有唯一實(shí)根，則，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.7．（2015·浙江·二模（文））設(shè)是方程的解，且，則=___．[【答案】9【詳解】試題分析：因?yàn)槭欠匠痰慕?，即是方程的解，令，則是的零點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，函數(shù)只有一個零點(diǎn)，因?yàn)椋?所以8．（2022·安徽省含山中學(xué)三模（文））若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的最小值是_________．【答案】【詳解】，記，因?yàn)?，所以，令，則所以在上單調(diào)減，所以，故實(shí)數(shù)m的最小值是．故答案為：突破四：函數(shù)模型應(yīng)用1．（2022·吉林·撫松縣第一中學(xué)一模）某農(nóng)學(xué)院研究員發(fā)現(xiàn)，某品種的甜瓜生長在除溫差以外其他環(huán)境均相同的條件中，成熟后甜瓜的甜度y（單位：度）與晝夜溫差x（單位：℃，）近似滿足函數(shù)模型．當(dāng)溫差為30℃時，成熟后甜瓜的甜度約為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．14.4 B．14.6 C．14.8 D．15.1【答案】C【詳解】由題意，當(dāng)時，可得．故選：C.2．（2022·全國·模擬預(yù)測（理））血氧飽和度是血液中被氧結(jié)合的氧合血紅蛋白的容量占全部可結(jié)合的血紅蛋白容量的百分比，即血液中血氧的濃度，它是呼吸循環(huán)的重要生理參數(shù)．正常人體的血氧飽和度一般不低于95%，在95%以下為供氧不足．當(dāng)人體長時間處于高原、高空或深海環(huán)境中，容易引發(fā)血氧飽和度降低，產(chǎn)生缺氧癥狀，此時就需要增加氧氣吸入量．在環(huán)境模擬實(shí)驗(yàn)室的某段時間內(nèi)，可以用指數(shù)模型：描述血氧飽和度（單位：%）隨給氧時間t（單位：時）的變化規(guī)律，其中為初始血氧飽和度，K為參數(shù)．已知，給氧1小時后，血氧飽和度為76．若使得血氧飽和度達(dá)到正常值，則給氧時間至少還需要（

）（結(jié)果精確到0.1，，，）A．0.4小時 B．0.5小時 C．0.6小時 D．0.7小時【答案】D【詳解】設(shè)使得血氧飽和度達(dá)到正常值，給氧時間至少還需要小時，由題意可得，，兩邊同時取自然對數(shù)并整理，得，，則，則給氧時間至少還需要小時故選：D3．（2022·全國·模擬預(yù)測）影響租金的因素有設(shè)備的價格、融資的利息和費(fèi)用、稅金、租賃保證金、運(yùn)費(fèi)、各種費(fèi)用的支付時間、租金的計(jì)算方法等，而租金的計(jì)算方法有附加率法和年金法等，其中附加率法每期租金R的表達(dá)式為（其中P為租賃資產(chǎn)的價格；N為租賃期數(shù)，可按月、季、半年、年計(jì)；i為折現(xiàn)率；r為附加率）．某小型企業(yè)擬租賃一臺生產(chǎn)設(shè)備，租金按附加率法計(jì)算，每年年末支付，已知設(shè)備的價格為84萬元，折現(xiàn)率為8%，附加率為4%，若每年年末應(yīng)付租金為24.08萬元，則該設(shè)備的租期為（

）A．4年 B．5年 C．6年 D．7年【答案】C【詳解】由題意，R＝24.08萬元，P＝84萬元，i＝8%，r＝4%，則，解得N＝6，故選:C．4．（2022·全國·模擬預(yù)測）天文學(xué)上用絕對星等衡量天體的發(fā)光強(qiáng)度，用目視星等衡量觀測者看到的天體亮度，可用近似表示絕對星等、目視星等和觀測距離d（單位：光年）之間的關(guān)系．已知織女星的絕對星等為0.58，目視星等為0.04，大角星的絕對星等為，目視星等為，則觀測者與織女星和大角星間的距離的比值約為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)觀測者與織女星和大角星間的距離分別為，，則有，兩式相減得，所以，，故選:D．5．（2022·四川綿陽·一模（理））某地錳礦石原有儲量為萬噸，計(jì)劃每年的開采量為本年年初儲量的（，且為常數(shù)）倍，那么第（）年在開采完成后剩余儲量為，并按該計(jì)劃方案使用10年時間開采到原有儲量的一半．若開采到剩余儲量為原有儲量的70%時，則需開采約（

）年．（參考數(shù)據(jù)：）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】B【詳解】設(shè)第年開采完后剩余儲量為，則，當(dāng)時，，所以，，故，進(jìn)而，設(shè)第年時，，故，故,故選：B6．（2022·河南省淮陽中學(xué)模擬預(yù)測（理））年月日，河南平頂山抽干湖水成功抓捕了兩只鱷雀鱔，這一話題迅速沖上熱搜榜．與此同時，關(guān)于外來物種泛濫的有害性受到了熱議．為了研究某池塘里某種植物生長面積（單位：）與時間（單位：月）之間的關(guān)系，通過觀察建立了函數(shù)模型（，，且）．已知第一個月該植物的生長面積為，第個月該植物的生長而積為，給出下列結(jié)論：①第個月該植物的生長面積超過；②若該植物的生長面積達(dá)到，則至少要經(jīng)過個月；③若，則成等差數(shù)列；④若成等差數(shù)列，，，則．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意得：，解得：，；對于①，，①正確；對于②，令，又，，即至少需要經(jīng)過個月，②錯誤；對于③，由得：，，則成等差數(shù)列，③正確；對于④，由得：，，成等差數(shù)列，，④錯誤.故選：B.7．（2022·遼寧·大連市一0三中學(xué)模擬預(yù)測）著名數(shù)學(xué)家?物理學(xué)家牛頓曾提出：物體在空氣中冷卻，如果物體的初始溫度為，空氣溫度為，則分鐘后物體的溫度（單位：℃）滿足：.若常數(shù)，空氣溫度為，某物體的溫度從下降到，大約需要的時間為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．25分鐘 B．24分鐘 C．23分鐘 D．22分鐘【答案】D【詳解】由題意可得，，，，故，，即，（分鐘）,即大約需要的時間為22分鐘，故選：．8．（2014·江蘇南通·二模）為了凈化空氣，某科研單位根據(jù)實(shí)驗(yàn)得出，在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個單位的凈化劑，空氣中釋放的濃度單位：毫克/立方米隨著時間單位：天變化的關(guān)系如下：當(dāng)時，；當(dāng)時，若多次噴灑，則某一時刻空氣中的凈化劑濃度為每次投放的凈化劑在相應(yīng)時刻所釋放的濃度之和．由實(shí)驗(yàn)知，當(dāng)空氣中凈化劑的濃度不低于毫克/立方米時，它才能起到凈化空氣的作用．(1)若一次噴灑4個單位的凈化劑，則凈化時間可達(dá)幾天？(2)若第一次噴灑2個單位的凈化劑，6天后再噴灑個單位的凈化劑，要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效凈化，試求a的最小值．精確到，參考數(shù)據(jù)：取【答案】(1)天；(2).【詳解】（1）因?yàn)橐淮螄姙?個單位的凈化劑，所以濃度可表示為：當(dāng)時，，當(dāng)時，，則當(dāng)時，由，解得，所以得，當(dāng)時，由，解得，所以得，綜合得，故若一次噴灑4個單位的凈化劑，則有效凈化時間可達(dá)8天.（2）設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)天，濃度，因?yàn)?，而，所以，故，?dāng)且僅當(dāng)時，有最小值為，令，解得，所以a的最小值為第三部分：沖刺重難點(diǎn)特訓(xùn)一、單選題1．（2022·河南·安陽37中高一期中）已知函數(shù)，有，則實(shí)數(shù)（

）A．或4 B．或2 C．2或9 D．2或4【答案】D【詳解】，，即，解得或.故選：D2．（2022·浙江溫州·高一期中）已知函數(shù)滿足（其中），則函數(shù)的圖象可能為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，則，因?yàn)椋瑒t，所以，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，故函數(shù)的圖象如C選項(xiàng)中的函數(shù)圖象.如選：C.3．（2022·黑龍江齊齊哈爾·高一期中）設(shè)函數(shù)，則滿的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由條件畫圖可得，可知，，解得：.故選：D4．（湖北省鄂西北六校（宜城一中、棗陽一中、曾都一中、襄州一中、南漳一中、河口一中）2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）我們可以把看作每天的“進(jìn)步”率都是，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是，一年后是．可以計(jì)算得到，一年后的“進(jìn)步”是“落后”的倍．如果每天的“進(jìn)步”率和“落后”率都是，大約經(jīng)過（

）天后，“進(jìn)步”是“落后”的10000倍．（，）A．17 B．18 C．21 D．23【答案】D【詳解】設(shè)經(jīng)過x天“進(jìn)步”的值是“落后”的10000倍，則,兩邊取對數(shù)可得,所以故大約經(jīng)過23天，“進(jìn)步”的值是“落后”的10000倍．故選：D．5．（2022·北京海淀·高三期中）我們可以用下面的方法在線段上構(gòu)造出一個特殊的點(diǎn)集：如圖，取一條長度為的線段，第次操作，將該線段三等分，去掉中間一段，留下兩段；第次操作，將留下的兩段分別三等分，各去掉中間一段，留下四段；按照這種規(guī)律一直操作下去．若經(jīng)過次這樣的操作后，去掉的所有線段的長度總和大于，則的最小值為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．【答案】D【詳解】第次操作，去掉的線段長度為；第次操作，去掉的線段長度為；第次操作，去掉的線段長度為，依次類推，可知第次操作去掉的線段長度為，即每次去掉的線段長度成等比數(shù)列，第次后，去掉的線段長度總和為，由得：，，的最小值為.故選：D.6．（2022·江蘇省灌南高級中學(xué)高三階段練習(xí)）對函數(shù)，如果存在，使得，則稱與為函數(shù)圖象的一組奇對稱點(diǎn).若（為自然數(shù)的底數(shù)）存在奇對稱點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題可得存在不等于0的根，所以，因?yàn)?，所以，，∴，解得，即?shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.7．（北京市大興區(qū)2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）已知為定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時，，則當(dāng)時，的所有解的和為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)橐阎獮槎x在上的奇函數(shù)，且，則，所以，，故函數(shù)為周期函數(shù)，且周期為，且函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故函數(shù)在上的圖象關(guān)于直線對稱，當(dāng)時，，則，作出函數(shù)與在上的圖象如下圖所示：由圖可知，直線與函數(shù)在上的圖象有四個交點(diǎn)，分別為、、、，設(shè)，由圖可知，點(diǎn)、關(guān)于直線對稱，點(diǎn)、關(guān)于直線對稱，則.故選：A.8．（2022·湖北·廣水市第二高級中學(xué)高一期中）已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，當(dāng)時，，如果關(guān)于的方程恰有7個不同的實(shí)數(shù)根，那么的值等于（

）A．5 B．－4 C．4 D．－5【答案】A【詳解】解：函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，當(dāng)時，，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，因?yàn)殛P(guān)于的方程恰有7個不同的實(shí)數(shù)根，所以或，所以，所以.故選：A.9．（2022·河北保定·高三階段練習(xí)）已知，函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為a，b，c，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)閱握{(diào)遞增,且由零點(diǎn)的存在性定理可知有唯一零點(diǎn)且;因?yàn)樵趩握{(diào)遞增,且,由零點(diǎn)的存在性定理可知有唯一零點(diǎn)且;因?yàn)樵趩握{(diào)遞增,且,由零點(diǎn)的存在性定理可知有唯一零點(diǎn)，所以.故選:C.10．（2022·陜西·蒲城縣蒲城中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則在上的零點(diǎn)個數(shù)為（

）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】D【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿足，所以，所以函數(shù)的周期為，當(dāng)時，，令，解得：或或（舍去），所以當(dāng)時，有兩個零點(diǎn)，所以在上的零點(diǎn)個數(shù)為，又因?yàn)椋栽谏系牧泓c(diǎn)個數(shù)為個.故選：D.11．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·高三階段練習(xí)（理））體育運(yùn)動是增強(qiáng)體質(zhì)的最積極有效的方法，經(jīng)常進(jìn)行體育運(yùn)動能增強(qiáng)身體機(jī)能，提高抗病能力.對于歲的青少年，每天進(jìn)行中等強(qiáng)度的運(yùn)動有助于提高睡眠質(zhì)量，使第二天精神充足，學(xué)習(xí)效率更高.是否達(dá)到中等強(qiáng)度運(yùn)動，簡單測量方法為，其中為運(yùn)動后心率（單位：次/分）與正常時心率的比值，為每個個體的體質(zhì)健康系數(shù).若介于之間，則達(dá)到了中等強(qiáng)度運(yùn)動；若低于25，則運(yùn)動不足；若高于28，則運(yùn)動過量.已知某同學(xué)正常時心率為78，體質(zhì)健康系數(shù)，他經(jīng)過慢跑后心率（單位：次/分）滿足為慢跑里程（單位：米）.已知學(xué)校運(yùn)動場每圈400米，若該同學(xué)要達(dá)到中等強(qiáng)度運(yùn)動，則較合適的慢跑圈數(shù)為（

）（e為自然對數(shù)的底數(shù)，）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【詳解】由題意，設(shè)跑了圈，則，所以，所以，解得.故選：B.12．（2022·安徽·碭山中學(xué)高三階段練習(xí)）納皮爾是蘇格蘭數(shù)學(xué)家，其主要成果有球面三角中的納皮爾比擬式?納皮爾圓部法則（1614）和納皮爾算籌（1617），而最大的貢獻(xiàn)是對數(shù)的發(fā)明，著有《奇妙的對數(shù)定律說明書》，并且發(fā)明了對數(shù)表，可以利用對數(shù)表查詢出任意對數(shù)值.現(xiàn)將物體放在空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是（℃），空氣的溫度是（℃），經(jīng)過t分鐘后物體的溫度T（℃）可由公式得出；現(xiàn)有一杯溫度為70℃的溫水，放在空氣溫度為零下10℃的冷藏室中，則當(dāng)水溫下降到10℃時，經(jīng)過的時間約為（

）參考數(shù)據(jù)：，.A．3.048分鐘 B．4.048分鐘 C．5.048分鐘 D．6.048分鐘【答案】C【詳解】依題意，，，，代入公式得：（分鐘），故選：C.二、多選題13．（2022·貴州·凱里一中高二期中）已知函數(shù)，若（互不相等），則的值可以是（

）A． B． C．0 D．1【答案】BC【詳解】因?yàn)榈膱D像是由的圖像保留軸上方的圖像，再把軸下方的圖像沿著軸往上翻折得到的圖像，所以分段函數(shù)的圖象如圖，不妨設(shè)，因?yàn)?，所以由關(guān)于對稱可得，又，所以，故的值可以是，故選：BC..14．（2020·山東·青島二中高一期中）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如，．已知函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)的敘述中正確的是（

）A．是奇函數(shù) B．是偶函數(shù)C．在R上是增函數(shù) D．的值域是【答案】ACD【詳解】A選項(xiàng)：，，∴，∴為奇函數(shù)，故A正確；B選項(xiàng)：∵∴，，∵為奇函數(shù)，∴，∴，∴，故B錯誤；C選項(xiàng)：，∵，∴為增函數(shù)，∴為減函數(shù)，∴為增函數(shù)，故C正確；D選項(xiàng)：∵，∴，∴，∴．又∵，∴的值域?yàn)?，故D正確．故選：ACD．15．（2022·湖南·漢壽縣第二中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)是R上的單調(diào)函數(shù)，則的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【詳解】首先顯然有或，若，則，解得，若，是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，不合題意，綜上，．故選：ABC．16．（2022·浙江省杭州第二中學(xué)高一期中）已知為定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)，，，則下列說法正確的是（

）A．B．在區(qū)間最多有三個解C．的最小值為-1D．在區(qū)間最多有五個解【答案】ABC【詳解】由，令，則，則關(guān)于對稱，又為定義在上的奇函數(shù)，，，關(guān)于原點(diǎn)對稱，，故，即，函數(shù)周期為4.對A，，A對；對C，，，，由關(guān)于對稱且關(guān)于原點(diǎn)對稱，故，，又周期為4，故的最小值為，C對；對BD，，且單調(diào)遞減，關(guān)于對稱，則且單調(diào)遞增，，關(guān)于原點(diǎn)對稱，由可得①，設(shè)解為，且，則，由得或，（1）當(dāng)時，，①式可解得，即在區(qū)間無解，又過，，結(jié)合的單調(diào)性及對稱性可得，在區(qū)間有三個解為、0、1；（2）當(dāng)時，，，則，又時代入方程組得，故，即在區(qū)間有1個解，又，，結(jié)合的單調(diào)性及對稱性可得在區(qū)間少于三個解；（3）當(dāng)時，①式可解得，即在區(qū)間無解，又，結(jié)合的單調(diào)性及對稱性可得在區(qū)間少于三個解；（4）當(dāng)時，，則，又，即在區(qū)間無解，又，結(jié)合的單調(diào)性及對稱性可得在區(qū)間少于三個解；（5）當(dāng)時，由的中心對稱性可得在區(qū)間最多三個解；故B對D錯.故選：ABC17．（2022·廣東·廣州六中高二期中）設(shè)定義在R上的連續(xù)函數(shù)滿足，，，下列命題正確的有（

）（注：函數(shù)在區(qū)間D上連續(xù)指的是在區(qū)間D上函數(shù)的圖象連續(xù)不斷）A．10為的一個周期 B．是的一條對稱軸C．函數(shù)有無數(shù)個對稱中心 D．方程在區(qū)間上至少有405個解【答案】ABD【詳解】定義在R上的連續(xù)函數(shù)滿足，則，是的一條對稱軸，又，于是得，即，則有10為的一個周期，A正確；由知，是的一條對稱軸，由A知，是的一條對稱軸，B正