北師大數學總復習第7章第4課時空間中的平行關系

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精【A級】基礎訓練1．(2014·鄂州模擬)已知直線m、n與平面α、β，給出下列三個命題：①若m∥α，n∥α，則m∥n;②若m∥α，n⊥α,則n⊥m；③若m⊥α,m∥β，則α⊥β。其中真命題的個數是（)A．0 B．1C．2 D．3解析:對于①，m、n可能平行、相交或異面,②③正確,所以真命題的個數是2。答案：C2．(2013·高考廣東卷）設l為直線，α，β是兩個不同的平面．下列命題中正確的是(）A．若l∥α，l∥β,則α∥β B．若l⊥α，l⊥β，則α∥βC．若l⊥α，l∥β,則α∥β D．若α⊥β，l∥α，則l⊥β解析：利用相應的判定定理或性質定理進行判斷,可以參考教室內存在的線面關系輔助分析．選項A,若l∥α，l∥β，則α和β可能平行也可能相交，故錯誤;選項B，若l⊥α，l⊥β，則α∥β，故正確；選項C，若l⊥α,l∥β，則α⊥β，故錯誤;選項D，若α⊥β，l∥α,則l與β的位置關系有三種可能:l⊥β，l∥β，l?β，故錯誤．故選B.答案：B3．α、β、γ是三個平面，a、b是兩條直線，有下列三個條件：①a∥γ，bβ；②a∥γ，b∥β；③b∥β；aγ.如果命題“α∩β＝a，bγ，且________，則a∥b"為真命題，則可以在橫線處填入的條件是（）A．①或② B．②或③C．①或③ D．只有②解析:①中，a∥γ，aβ，bβ，β∩γ＝b?a∥b(線面平行的性質)．③中，b∥β，bγ，aγ,β∩γ＝a?a∥b(線面平行的性質）．故選C。答案:C4．棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中點，過C、M、D1解析：由面面平行的性質知截面與面AB1的交線MN是△AA1B的中位線，所以截面是梯形CD1MN，易求其面積為eq\f（9，2）.答案：eq\f(9，2)5．已知α、β是不同的兩個平面，直線aα,直線bβ,命題p:a與b沒有公共點;命題q：α∥β，則p是q的________條件．解析:∵a與b沒有公共點，不能推出α∥β，而α∥β時,a與b一定沒有公共點，即pq,q?p，∴p是q的必要不充分條件．答案:必要不充分6．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中,AB＝2，點E為AD的中點,點F在CD上．若EF∥平面AB1C,則線段解析：因為直線EF∥平面AB1C，EF平面ABCD，且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC。又因為點E是DA的中點，所以F是DC的中點，由中位線定理可得EF＝eq\f(1，2）AC。又因為在正方體ABCD－A1B1C1D1中,AB＝2，所以AC＝2eq\r（2),所以EF＝eq\r（2)。答案：eq\r（2）7．(2014·東城區(qū)綜合練習）一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，其中M，N分別是AB，AC的中點，G是DF上的一動點．(1)求該多面體的體積與表面積；(2)當FG＝GD時,在棱AD上確定一點P,使得GP∥平面FMC，并給出證明．解：（1）由題中圖可知該多面體為直三棱柱,在△ADF中,AD⊥DF，DF＝AD＝DC＝a，所以該多面體的體積為eq\f(1，2）a3,表面積為eq\f（1,2)a2×2＋eq\r（2)a2＋a2＋a2＝(3＋eq\r（2)）a2.（2）點P與點A重合時，GP∥平面FMC.取FC的中點H，連接GH，GA,MH。∵G是DF的中點，∴GH綊eq\f(1,2）CD.又M是AB的中點，∴AM綊eq\f(1，2)CD.∴GH∥AM且GH＝AM，∴四邊形GHMA是平行四邊形．∴GA∥MH.∵MH?平面FMC,GA?平面FMC，∴GA∥平面FMC，即當點P與點A重合時，GP∥平面FMC.8．（2014·淄博模擬）如圖，在三棱錐A－BOC中，AO⊥平面COB，∠OAB＝∠OAC＝eq\f（π,6)，AB＝AC＝2,BC＝eq\r(2），D、E分別為AB、OB的中點．（1)求證：CO⊥平面AOB；(2)在線段CB上是否存在一點F，使得平面DEF∥平面AOC，若存在，試確定F的位置；若不存在,請說明理由．解：（1)證明:因為AO⊥平面COB，所以AO⊥CO,AO⊥BO.即△AOC與△AOB為直角三角形．又因為∠OAB＝∠OAC＝eq\f(π,6），AB＝AC＝2，所以OB＝OC＝1。由OB2＋OC2＝1＋1＝2＝BC2，可知△BOC為直角三角形．所以CO⊥BO。又因為AO∩BO＝O,所以CO⊥平面AOB。(2）在線段CB上存在一點F，使得平面DEF∥平面AOC，此時F為線段CB的中點．如圖,連接DF，EF，因為D、E分別為AB、OB的中點，所以DE∥OA.又DE平面AOC上，所以DE∥平面AOC。因為E、F分別為OB、BC的中點，所以EF∥OC。又EF?平面AOC，所以EF∥平面AOC。又EF∩DE＝E,EF平面DEF,DE平面DEF，所以平面DEF∥平面AOC.【B級】能力提升1．(2012·高考四川卷)下列命題正確的是（）A．若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行B．若一個平面內有三個點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行C．若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行D．若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行解析：利用線面位置關系的判定和性質解答．A錯誤，如圓錐的任意兩條母線與底面所成的角相等，但兩條母線相交；B錯誤，△ABC的三個頂點中，A、B在α的同側，而點C在α的另一側，且AB平行于α,此時可有A、B、C三點到平面α距離相等，但兩平面相交；D錯誤，如教室中兩個相鄰墻面都與地面垂直，但這兩個面相交，故選C.答案：C2．（2014·北京模擬）以下命題中真命題的個數是（)(1）若直線l平行于平面α內的無數條直線，則直線l∥α;(2)若直線a在平面α外,則a∥α；（3）若直線a∥b，bα，則a∥α；（4)若直線a∥b，bα,則a平行于平面α內的無數條直線．A．1個 B．2個C．3個 D．4個解析:命題(1）l可以在平面α內，不正確;命題(2）直線a與平面α可以是相交關系,不正確;命題(3）a可以在平面α內，不正確；命題(4)正確．答案：A3．下列四個正方體圖形中，A、B為正方體的兩個頂點,M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是()A．①③ B．①④C．②③ D．②④解析：對圖①，可通過面面平行得到線面平行．對圖④，通過證明AB∥PN得到AB∥平面MNP，故選B.答案:B4．如圖所示，ABCD－A1B1C1D1是棱長為a的正方體,M、N分別是下底面的棱A1B1、B1C1的中點，P是上底面的棱AD上的一點,AP＝eq\f（a,3），過P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，則PQ＝________。解析：∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1,∴MN∥PQ∵M、N分別是A1B1、B1C1的中點，AP＝eq\f（a，3），∴CQ＝eq\f(a,3)，從而DP＝DQ＝eq\f（2a,3)，∴PQ＝eq\f(2\r（2），3)a.答案：eq\f（2\r（2),3）a5．如圖所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分別是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內部運動，則M滿足條件________時，有MN∥平面B1BDD1解析:由題意，HN∥面B1BDD1，FH∥面B1BDD1。∵HN∩FH＝H，∴面NHF∥面B1BDD1?！喈擬在線段HF上運動時，有MN∥面B1BDD1。答案:M∈線段HF6．(2013·高考安徽卷）如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，P為BC的中點，Q為線段CC1上的動點，過點A，P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S①當0<CQ〈eq\f（1，2)時，S為四邊形；②當CQ＝eq\f(1，2)時,S為等腰梯形;③當CQ＝eq\f（3，4）時，S與C1D1的交點R滿足C1R＝eq\f（1,3);④當eq\f(3,4)<CQ〈1時，S為六邊形;⑤當CQ＝1時，S的面積為eq\f（\r（6），2）.解析：利用平面的基本性質結合特殊四邊形的判定與性質求解．①當0<CQ〈eq\f(1,2）時，如圖（1)．在平面AA1D1D內，作AE∥PQ,顯然E在棱DD1上，連接EQ，則S是四邊形APQE。②當CQ＝eq\f（1,2)時，如圖（2）．顯然PQ∥BC1∥AD1，連接D1Q，則S是等腰梯形．③當CQ＝eq\f(3，4)時，如圖(3)．作BF∥PQ交CC1的延長線于點F，則C1F＝eq\f（1,2）。作AE∥BF，交DD1的延長線于點E,D1E＝eq\f（1，2），AE∥PQ，連接EQ交C1D1于點R,由于Rt△RC1Q∽Rt△RD1E,∴C1Q∶D1E＝C1R∶RD1＝1∶2，∴C1R＝eq\f（1,3）.④當eq\f(3，4)〈CQ<1時，如圖(3），連接PM(點M為AE與A1D1交點），顯然S為五邊形APQRM。⑤當CQ＝1時，如圖(4)．同③可作AE∥PQ交DD1的延長線于點E,交A1D1于點M,顯然點M為A1D1的中點，所以S為菱形APQM，其面積為eq\f(1，2）MP×AQ＝eq\f(1，2)×eq\r（2）×eq\r(3）＝eq\f（\r（6)，2).答案：①②③⑤7．（創(chuàng)新題)如圖，棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD為菱形，平面AA1C1C（1)證明：平面AB1C∥平面DA1C（2)在直線CC1上