圓形磁場問題探析

圓形磁場問題探析許多學(xué)生對帶電粒子在圓形有界磁場中的運動問題常常無從下手，一做就錯．筆者對該類問題進(jìn)行歸納總結(jié)后，發(fā)現(xiàn)幾個常見問題分別是“最值問題、匯聚發(fā)散問題、邊界交點問題、周期性問題”．對于這些問題，筆者認(rèn)為只要針對具體的類型，抓住關(guān)鍵要素，問題就能迎刃而解，下面舉例說明．一、最值問題的解題關(guān)鍵——抓弦長1．求最長時間的問題例1真空中半徑為R=3×10-2m的圓形區(qū)域內(nèi)，有一磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=0.2T的勻強(qiáng)磁場，方向如圖1所示一帶正電的粒子以初速度v0=106m/s的速度，從磁場邊界上直徑ab一端a點處射人磁場，已知該粒子比荷為q/m=108C/kg，不計粒子重力，則若要使粒子飛離磁場時偏轉(zhuǎn)角最大，其人射時粒子初速度的方向應(yīng)如何？（以v0解析：由題意可知，帶電粒子在磁場中運動時滿足，解得：，由于弦（直徑）越長，其對應(yīng)的圓心角越大，運動時間越長．建立△O'ab，作其中垂線O'O，如圖2所示．設(shè)粒子運動速度偏轉(zhuǎn)角最大值為a，則此時初速度方向與ab連線夾角為，由題意可知：小結(jié)：本題涉及的是一個動態(tài)問題，即粒子雖然在磁場中均做同一半徑的勻速圓周運動，但因其初速度方向變化，使粒子運動軌跡的長短和位置均發(fā)生變化，并且弦長的變化一定對應(yīng)速度偏轉(zhuǎn)角的變化，同時也一定對應(yīng)粒子做圓運動軌跡對應(yīng)圓心角的變化，因而當(dāng)弦長為圓形磁場直徑時，偏轉(zhuǎn)角最大．2．求最小面積的問題例2一帶電質(zhì)點的質(zhì)量為m，電量為q，以平行于Ox軸的速度v從y軸上的a點射人如圖3所示第一象限的區(qū)域．為了使該質(zhì)點能從x軸上的b點以垂直于O工軸的速度v射出，可在適當(dāng)?shù)牡胤郊右粋€垂直于x湯平面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場．若此磁場僅分布在一個圓形區(qū)域內(nèi)，試求此圓形磁場區(qū)域的最小半徑，重力忽略不計．解析：設(shè)圓形磁場的圓心為O2點，半徑為r，畫出做圓周運動的軌跡MN，設(shè)圓周運動的圓心為O1，則由圖4可知，，由運動規(guī)律知，故，則小結(jié)：這是一個需要逆向思維的問題，而且同時考查了空間想象能力，即已知粒子運動軌跡求所加圓形磁場的位置．解決此類問題時，要抓住粒子運動的特點即該粒子只在所加磁場中做勻速圓周運動，所以粒子運動的1/4圓弧必須包含在磁場區(qū)域中且圓運動起點、終點必須是磁場邊界上的點，然后再考慮磁場的最小半徑．上述兩類“最值”問題，解題的關(guān)鍵是要找出帶電粒子做圓周運動所對應(yīng)的弦長．二、匯聚發(fā)散問題的解題關(guān)鍵——抓半徑例3如圖5所示，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上．在半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)加一與xoy平面垂直的勻強(qiáng)磁場．在坐標(biāo)原點O處放置一帶電微粒發(fā)射裝置，它可以連續(xù)不斷地發(fā)射具有相同質(zhì)量m、電荷量q(q>0）且初速為v0的帶電粒子，不計重力．調(diào)節(jié)坐標(biāo)原點O處的帶電微粒發(fā)射裝置，使其在xoy平面內(nèi)不斷地以相同速率v0沿不同方向?qū)⑦@種帶電微粒射入x軸上方，現(xiàn)要求這些帶電微粒最終都能平行于x軸正方向射出，則帶電微粒的速度必須滿足什么條件？解析：設(shè)帶電粒子從O點以一定角度進(jìn)人磁場經(jīng)偏轉(zhuǎn)從磁場邊緣B點出射，畫出軌跡圖如圖6所示，其中點A為圓周運動的圓心，點C為圓形磁場的圓心，連接OA、AB、OC、CB，由于要讓粒子水平出射．則必須AB//OC，又OC=BC=R，OA=AB，根據(jù)幾何關(guān)系可證明四邊形OCBA為菱形．則AB=OC=R，故帶電微粒在磁場中做圓周運動的半徑等于R，根據(jù)，則可解得出射速度v，所以帶電微粒的速度必須滿足小結(jié)：研究粒子在圓形磁場中的運動時，要抓住圓形磁場的半徑和圓周運動的半徑，建立二者之間的關(guān)系，再根據(jù)動力學(xué)規(guī)律運動規(guī)律求解問題．三、邊界交點問題的解題關(guān)鍵―抓軌跡方程例4如圖7所示，在x湯平面內(nèi)x＞0區(qū)域中，有一半圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域，圓心為O，半徑為R=0.10m，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=0.5T，磁場方向垂直xoy平面向里．有一線狀粒子源放在y軸左側(cè)（圖中未畫出），并不斷沿平行于x軸正方向釋放出電荷量為q=+1.6×10-19C，初速度v0=1.6×106m/s的粒子，粒子的質(zhì)量為m=1.0×10-解析：根據(jù)得r=0.2m，再利用圓方程聯(lián)立求解．如圖8所示，設(shè)帶電粒子從圓形磁場邊界的p點離開磁場，則p點滿足，解得，點評：帶電粒子在磁場中的運動是最能反映抽象思維與數(shù)學(xué)方法相結(jié)合的物理模型，本題則利用圓形磁場與圓周運動軌跡方程求交點，是對初等數(shù)學(xué)的抽象運用，能較好的提高學(xué)生思維．四、周期性問題的解題關(guān)鍵——尋找圓心角1．粒子周期性運動的問題例5如圖9所示的空間存在兩個勻強(qiáng)磁場，其分界線是半徑為R的圓，兩側(cè)的磁場方向相反且垂直于紙面，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小都為B．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子（不計重力）從A點沿aA方向射出．求：（1）若方向向外的磁場范圍足夠大，離子自A點射出后在兩個磁場不斷地飛進(jìn)飛出，最后又返回A點，求返回A點的最短時間及對應(yīng)的速度．（2）若向外的磁場是有界的，分布在以O(shè)點為圓心、半徑為R和2R的兩半圓環(huán)之間的區(qū)域，上述粒子仍從A點沿QA方向射出且粒子仍能返回A點，求其返回A點的最短時間．解析（1）粒子運動的軌跡如圖10所示，應(yīng)用幾何方法結(jié)合粒子運動規(guī)律可以證明，粒子每次穿越兩磁場邊界即圓O的圓周時，其速度方向沿圓O的徑向，粒子在兩個磁場中均做圓周運動，其所有圓心的連線組成正多邊形．粒子沿圖10所示的軌跡（只進(jìn)人向里的磁場一次）返回A點所用時間最短，且最短時間，幾何關(guān)系可知，由動力學(xué)規(guī)律得聯(lián)立解得（2）如圖11所示，設(shè)粒子在磁場中運動半徑為r，若要離子運動軌跡不超出邊界，則必須滿足，解得，由圖11的軌跡和正多邊形性質(zhì)可知，解得，故當(dāng)n=5時，離子返回A的時間最短，即2．磁場發(fā)生周期性變化例6如圖12所示，在地面上方的真空室內(nèi)，兩塊正對的平行金屬板水平放置．在兩板之間有一勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)按如圖13所示規(guī)律變化（沿y軸方向為正方向）在兩板正中間有一圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度按圖14所示規(guī)律變化，如果建立如圖12所示的坐標(biāo)系，在t=0時刻有一質(zhì)量m=9.0×10-9kg、電荷量q=9.0×10-6C的帶正電的小球，以v0=1m解析：小球進(jìn)入磁場時，對其受力分析，則有F電=qE=9×10-8N；G=mg=9×10-8N；f=qvB;小球在復(fù)合場中所受的合力為洛倫茲力，故小球做勻速圓周運動，則，。分析可知，小球在第一個內(nèi)軌跡對應(yīng)的圓心角為，當(dāng)在第二及第三個內(nèi)，其周期，小球正好運動2個周期；在第四個內(nèi)，周期，小球仍又運動了一段圓心角為300的圓?。辉诘谖寮暗诹鶄€內(nèi)，再運動2個周期；在第7個時間內(nèi)運動300，然后離開磁場，軌跡如圖15所示，所以，坐標(biāo)為（0.1，0.1)。小結(jié)對于周期性問題，因為粒子運動軌跡和磁場邊界都是圓，所以要充分利用圓的對稱性及圓心角的幾何關(guān)系，尋找運動軌跡的對稱關(guān)系和周期性．五、磁場問題的規(guī)律前面分析的四個典型例題，其物理情景各異，繁簡不同，但解題思路和方法卻有以下四個共同點．（1）物理模型相同即帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中均做勻速圓周運動．（2）物理規(guī)律相同即洛倫茲