中國(guó)礦業(yè)大學(xué)周圣武概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)4第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征-2

周圣武概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)Tel-mail:zswcumt@163.com中國(guó)礦業(yè)大學(xué)理學(xué)院第三章§4.2方差

2.方差的性質(zhì)1.方差的定義3.幾種重要分布的方差

上一節(jié)我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征.但是在一些場(chǎng)合，僅僅知道平均值是不夠的.例如，某零件的真實(shí)長(zhǎng)度為a，現(xiàn)用甲、乙兩臺(tái)儀器各測(cè)量10次，將測(cè)量結(jié)果X用坐標(biāo)上的點(diǎn)表示如圖：若讓你就上述結(jié)果評(píng)價(jià)一下兩臺(tái)儀器的優(yōu)劣，你認(rèn)為哪臺(tái)儀器好一些呢？乙儀器測(cè)量結(jié)果

甲儀器測(cè)量結(jié)果較好測(cè)量結(jié)果的均值都是a因?yàn)橐覂x器的測(cè)量結(jié)果集中在均值附近又如,甲、乙兩門炮同時(shí)向一目標(biāo)射擊10發(fā)炮彈，其落點(diǎn)距目標(biāo)的位置如圖：你認(rèn)為哪門炮射擊效果好一些呢?甲炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙炮因?yàn)橐遗诘膹椫c(diǎn)較集中在中心附近.

中心中心由此可見,研究隨機(jī)變量與其均值的偏離程度是十分必要的.那么,用怎樣的量去度量這個(gè)偏離程度呢?容易看到這個(gè)數(shù)字特征就是我們這一講要介紹的方差通常用來度量隨機(jī)變量X與其均值E(X)的偏離程度.合理,但是存在正負(fù)相消，不可行.帶絕對(duì)值的運(yùn)算，不利于分析.

方差的算術(shù)平方根為X的方差。定義

設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，若存在，則稱稱為均方差或標(biāo)準(zhǔn)差。1.方差的概念注意：⒈是關(guān)于隨機(jī)變量X的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。離散型已知X分布律連續(xù)型已知X的概率密度命題計(jì)算方差的簡(jiǎn)便公式⒉方差描述了X的取值與E(X)的偏離程度。證明

解比較量個(gè)人射擊的平均環(huán)數(shù)，甲的平均環(huán)數(shù)為

例1X

8

9

10

P

0.3

0.2

0.5

甲、乙兩人射擊，他們的射擊水平由下表給出：試問那個(gè)人的射擊水平較高？X：甲擊中的環(huán)數(shù)Y：乙擊中的環(huán)數(shù)Y

8

9

10

P

0.2

0.4

0.4

＝9.2(環(huán))乙的平均環(huán)數(shù)為＝9.2(環(huán))從平均環(huán)數(shù)上看，甲、乙射擊水平是一樣的。但兩人射擊環(huán)數(shù)的方差分別為：這表明乙的射擊水平比甲穩(wěn)定。設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求D（X）。

例2解1.設(shè)C是常數(shù),則D(C)

=0;2.若C是常數(shù),則D(CX)=C2D(X);2.方差的性質(zhì)3.若X與Y獨(dú)立，則⒋若X與Y獨(dú)立，且a,b是常數(shù)，則⒌⒍其中一般情況：若X1,X2,…,Xn

相互獨(dú)立,則分布期望方差3．常見分布的期望與方差例3設(shè)X,Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的且服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量,且，則求隨機(jī)變量服從什么分布？解

Z為正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合，所以仍然服從正態(tài)分布，且其參數(shù)為故例4設(shè)X,Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的且均服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量,則求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望解

記則故例5設(shè)X的可能取值為且，求X的分布律。解設(shè)

X的分布律為所以已知例6求的次數(shù)，對(duì)X獨(dú)立觀察4次，Y表示X的觀察值大于解

由題意可知例7設(shè)，且⑴求