全概公式課件

全概公式和貝葉斯公式1

全概率公式和貝葉斯公式主要用于計(jì)算比較復(fù)雜事件的概率,它們實(shí)質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用.綜合運(yùn)用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)>02

例1有三個箱子，分別編號為1,2,3，1號箱裝有1個紅球4個白球，2號箱裝有2紅3白球，3號箱裝有3紅球.某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，求取得紅球的概率.解：記

Ai={球取自i號箱},i=1,2,3;B={取得紅球}即B=A1B+A2B+A3B，

且A1B、A2B、A3B兩兩互斥B發(fā)生總是伴隨著A1，A2，A3之一同時發(fā)生，P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)運(yùn)用加法公式得1233將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在概率計(jì)算中常用的全概率公式.對求和中的每一項(xiàng)運(yùn)用乘法公式得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)代入數(shù)據(jù)計(jì)算得：P(B)=8/154注：Ω的一個劃分一是要互斥，二是要充滿整個空間.

設(shè)Ω為試驗(yàn)E的樣本空間,為E的一組事件,若：定義：則稱是樣本空間Ω的一個(有限)分割或稱是一個完備事件組。樣本空間的劃分5E的一組事件是Ω的一個劃分或構(gòu)成了完備事件組E的另一組事件就不是Ω的一各劃分，或構(gòu)不成一個完備事件組。

對“擲一顆骰子觀察其點(diǎn)數(shù)”這一試驗(yàn)，其：比如：6

設(shè)Ω為隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間,A1,A2,…,An是樣本空間的一個分割,且有P(Ai)>0，i=1,2,…,n,則定理：全概率公式7在較復(fù)雜情況下直接計(jì)算P(B)不易,但B總是伴隨著某個Ai出現(xiàn)，適當(dāng)?shù)厝?gòu)造這一組Ai往往可以簡化計(jì)算.不難由上式看出:“全”部概率P(B)被分解成了許多部分之和.它的理論和實(shí)用意義在于:可簡化為8

▲全概率公式關(guān)鍵抓住尋找Ω的一個劃分或?qū)ふ乙粋€完備事件組(這里事件是導(dǎo)致事件B發(fā)生的一組原因,而事件B的出現(xiàn)只能與中之一同時出現(xiàn))。注：9每一原因都可能導(dǎo)致B發(fā)生，故B發(fā)生的概率是各原因引起B(yǎng)發(fā)生概率的總和即為全概率公式.某一事件B發(fā)生有各種可能的原因(i=1,2,…,n)如果B是由原因Ai所引起，則B發(fā)生的概率是：P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai)全概率公式：▲從另一個角度去理解▲全概率公式一搬用于“用條件概率求非條件概率”的問題。即P(B)不易求,但卻很容易找到Ω

的一個劃分時用全概率公式比較方便10例2甲、乙、丙三人同時對飛機(jī)進(jìn)行射擊,三人擊中的概率分別為0.4、0.5、0.7.飛機(jī)被一人擊中而擊落的概率為0.2,被兩人擊中而擊落的概率為0.6,若三人都擊中,飛機(jī)必定被擊落,求飛機(jī)被擊落的概率.設(shè)B={飛機(jī)被擊落}

Ai={飛機(jī)被i人擊中},i=1,2,3由全概率公式

P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)則B=A1B+A2B+A3B求解如下:依題意，P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.6,

P(B|A3)=111可求得:為求P(Ai),

設(shè)Hi={飛機(jī)被第i人擊中},i=1,2,3將數(shù)據(jù)代入計(jì)算得:P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.12于是

P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+

P(A3)P(B|A3)=0.458=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1即飛機(jī)被擊落的概率為0.458.13例3（教材page18,例1.4.2）

甲袋中裝有2個紅球,6個白球;乙袋中裝有5個紅球,4個白球.現(xiàn)從甲袋中任取3個放入乙袋,然后再從乙袋中任取一個球，解:設(shè)Ai={從甲袋中任取3個球中有i個紅球}i=0,1,2A={取得紅球}求取得紅球的概率.由于.根據(jù)全概公式得:1415例4某車間有4個班組生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，生產(chǎn)的產(chǎn)品沒有任何區(qū)別的混合在一起，已知這4個組的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的15%，20%，30%，35%。這4個組的產(chǎn)品的次品率分別為0.05，0.04，0.03，0.02.現(xiàn)從該車間生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，求抽取到次品的概率16貝葉斯公式17該球取自哪號箱的可能性最大?實(shí)際中還有下面一類問題：“已知結(jié)果求原因”這一類問題在實(shí)際中更為常見，它所求的是條件概率，是已知某結(jié)果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生可能性大小.引例某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號箱的概率.1231紅4白或者問:18有三個箱子，分別編號為1,2,3，1號箱裝有1個紅球4個白球，2號箱裝有2個紅球3個白球，3號箱裝有3個紅球.某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球。1231紅4白?求：該球是取自1號箱的概率

引例

19某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自1號箱的概率.記Ai={球取自i號箱},i=1,2,3;

B={取得紅球}求:P(A1|B)運(yùn)用全概率公式計(jì)算P(B)將這里得到的公式一般化，就得到：貝葉斯公式1231紅4白?20該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出.它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致B發(fā)生的每個原因的概率.貝葉斯公式：

設(shè)A1,A2,…,An是完備事件組（兩兩互不相容的事件），另有一事件B，它總是與A1,A2,…,An之一同時發(fā)生，則貝葉斯公式與全概率公式一樣都是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用,值得一提的是，后來的學(xué)者依據(jù)貝葉斯公式的思想發(fā)展了一整套統(tǒng)計(jì)推斷的方法，稱作為：“貝葉斯統(tǒng)計(jì)”（這也足可見貝葉斯公式的影響）21

▲貝葉斯公式在貝葉斯公式中，P(Ai)和P(Ai|B)分別稱為原因的先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概