D數(shù)學(xué)矩陣的更多知識(shí)自動(dòng)保存的

3Ｄ數(shù)學(xué)-－－-矩陣的更多知識(shí)（２）ＨＹPＥＲLINK＂JavaＳcｒipｔ:d=dｏcｕmeｎt;t＝d。seｌｅctioｎ？(d。sｅｌectｉｏｎ.tyｐｅ！=＇None＇？ｄ．ｓelｅcｔiｏn。createＲａｎｇｅ（）。tｅxt:＇'):（d.getSelｅｃtｉｏn?d。ｇetSelｅcｔion（）：＇'）;void（saveiｔ=winｄow．ｏpen('ｈttp:/／wz．ｃsdｎ。neｔ/ｓｔoreｉt.aｓpｘ？ｔ=＇+eｓcａpe（d．titｌｅ）+＇＆u='+ｅsｃａpe（ｄ。ｌｏcatioｎ.hrｅf）＋’＆c＝’+escaｐe（t），'saveｉt’，'scｒｏｌlbaｒｓ=no，wｉdｔｈ=59０，hｅiｇhｔ＝300，ｌefｔ＝75，ｔｏp=20，staｔus＝ｎo,resizaｂlｅ=ｙｅｓ'））;ｓavｅit.focｕs（)；＂＼o”收藏到我的網(wǎng)摘中，并分享給我的朋友"保藏矩陣的逆另外一種重要的矩陣運(yùn)算是矩陣的求逆，這個(gè)運(yùn)算只能用于方陣。

運(yùn)算法則方陣M的逆,記作M—1，也是一個(gè)矩陣.當(dāng)Ｍ與M-1相乘時(shí),結(jié)果是單位矩陣。表示為公式9。6的形式:并非全部的矩陣都有逆。一個(gè)明顯的例子是若矩陣的某一行或列上的元素都為0，用任何矩陣乘以該矩陣，結(jié)果都是一個(gè)零矩陣.如果一個(gè)矩陣有逆矩陣，那么稱它為可逆的或非奇異的.如果一個(gè)矩陣沒(méi)有逆矩陣,則稱它為不行逆的或奇異矩陣。奇異矩陣的行列式為０,非奇異矩陣的行列式不為０，所以檢測(cè)行列式的值是推斷矩陣是否可逆的有效方法。此外，對(duì)于任意可逆矩陣Ｍ，當(dāng)且僅當(dāng)ｖ＝0時(shí),vM=０。M的”標(biāo)準(zhǔn)伴隨矩陣“記作”adｊM“，定義為M的代數(shù)余子式矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣.下面是一個(gè)例子，考慮前面給出的3x3階矩陣M:計(jì)算M的代數(shù)余子式矩陣:M的標(biāo)準(zhǔn)伴隨矩陣是代數(shù)余子式矩陣的轉(zhuǎn)置：一旦有了標(biāo)準(zhǔn)伴隨矩陣,通過(guò)除以M的行列式，就能計(jì)算矩陣的逆。其表示如公式９．7所示:例如為了求得上面矩陣的逆，有：當(dāng)然還有其他方法可以用來(lái)計(jì)算矩陣的逆，比如高斯消元法.很多線性代數(shù)書(shū)都斷定該方法更適合在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn),由于它所使用的代數(shù)運(yùn)算較少，這種說(shuō)法其實(shí)是不正確的.對(duì)于大矩陣或某些特殊矩陣來(lái)說(shuō),這也許是對(duì)的。然而,對(duì)于低階矩陣，比如幾何應(yīng)用中常見(jiàn)的那些低階矩陣，標(biāo)準(zhǔn)伴隨矩陣可能更快一些。由于可以為標(biāo)準(zhǔn)伴隨矩陣供應(yīng)無(wú)分支（ｂranchleｓｓ)實(shí)現(xiàn)，這種實(shí)現(xiàn)方法在當(dāng)今的超標(biāo)量體系結(jié)構(gòu)和專用向量處理器上會(huì)更快一些。矩陣的逆的重要性質(zhì)：

幾何解釋矩陣的逆在幾何上格外有用,由于它使得我們可以計(jì)算變換的”反向“或”相反“變換---—能"撤銷“原變換的變換。所以,如果向量ｖ用矩陣Ｍ來(lái)進(jìn)行變換，接著用M的逆Ｍ－1進(jìn)行變換，將會(huì)得到原向量。這很容易通過(guò)代數(shù)方法驗(yàn)證:矩陣的行列式在任意方陣中都存在一個(gè)標(biāo)量，稱作該方陣的行列式.

線性運(yùn)算法則方陣M的行列式記作｜M｜或“deｔM"，非方陣矩陣的行列式是未定義的。ｎxn階矩陣的行列式定義格外簡(jiǎn)潔，讓我們先從2ｘ2,3ｘ3矩陣開(kāi)頭。公式９。1給出了2ｘ２階矩陣行列式的定義:注意,在書(shū)寫(xiě)行列式時(shí),兩邊用豎線將數(shù)字塊圍起來(lái),省略方括號(hào)。下面的示意圖能幫助記憶公式9．１,將主對(duì)角線和反對(duì)角線上的元素各自相乘，然后用主對(duì)角線元素的積減去反對(duì)角線元素的積.3x3階矩陣的行列式定義如公式9．２所示：可以用類似的示意圖來(lái)幫助記憶。把矩陣M連寫(xiě)兩遍,將主對(duì)角線上的元素和反對(duì)角線上的元素各自相乘，然后用各主對(duì)角線上元素積的和減去各反對(duì)角線上元素積的和。如果將3x3階矩陣的行解釋為３個(gè)向量，那么矩陣的行列式等于這些向量的所謂“三元組積”.假設(shè)矩陣Ｍ有r行c列,記法Ｍ｛ｉj}表示從Ｍ中除去第i行和第j列后剩下的矩陣。顯然，該矩陣有r-１行，c—1列,矩陣M{ij｝稱作M的余子式。對(duì)方陣M,給定行、列元素的代數(shù)余子式等于相應(yīng)余子式的有符號(hào)行列式，見(jiàn)公式9.３：如上,用記法ｃｉj表示M的第ｉ行，第j列元素的代數(shù)余子式.注意余子式是一個(gè)矩陣，而代數(shù)余子式是一個(gè)標(biāo)量.代數(shù)余子式計(jì)算式中的項(xiàng)（–１）（i＋ｊ）有以棋盤(pán)形式使矩陣的代數(shù)余子式每隔一個(gè)為負(fù)的效果：ｎ維方陣的行列式存在著多個(gè)相等的定義，我們可以用代數(shù)余子式來(lái)定義矩陣的行列式（這種定義是遞歸的,由于代數(shù)余子式本身的定義就用到了矩陣的行列式）。首先,從矩陣中任意選擇一行或一列,對(duì)該行或列中的每個(gè)元素，都乘以對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式.這些乘積的和就是矩陣的行列式.例如，任意選擇一行,如行i,行列式的計(jì)算過(guò)程如公式9。４所示：下面舉一個(gè)例子，重寫(xiě)3ｘ３矩陣的行列式：綜上,可導(dǎo)出4x4矩陣的行列式：高階行列式計(jì)算的簡(jiǎn)潔性是呈指數(shù)遞增的。幸運(yùn)的是，有一種稱作"主元選擇“的計(jì)算方法，它不影響行列式的值,但它能使特定的行或列中除了一個(gè)元素（主元）外其他元素全為0，這樣僅一個(gè)代數(shù)余子式需要計(jì)算。行列式的一些重要性質(zhì):（1)矩陣積的行列式等于矩陣行列式的積:｜AB|＝｜A|｜B｜?

這可以擴(kuò)展到多個(gè)矩陣：

|M1M2...Mｎ｜=｜M1|｜Ｍ2｜。.．|Mn-1｜|Mn｜(2）矩陣轉(zhuǎn)置的行列式等于原矩陣的行列式：|ＭＴ|=|Ｍ|（3)如果矩陣的任意行或列全為０，那么它的行列式等于０．(4）交換矩陣的任意兩行或兩列，行列式變負(fù)。（５）任意行或列的非零積加到另一行或列上不會(huì)轉(zhuǎn)變行列式的積。

幾何解釋矩陣的行列式有著格外有趣的幾何解釋。2D中，行列式等于以基向量為兩邊的平行四邊形的有符號(hào)面積（如圖9.1所示）。有符號(hào)面積是指如果平行四邊形相對(duì)于原來(lái)的方位”翻轉(zhuǎn)“，那么面積變負(fù)。3D中，行列式等于以變換后的基向量為三邊的平行六面體的有符號(hào)的體積。3Ｄ中，如果變換使得平行六面體”有里向外“翻轉(zhuǎn),則行列式變負(fù).行列式與矩陣變換導(dǎo)致的尺寸轉(zhuǎn)變相關(guān)，其中行列式的肯定值與面積（2D）、體積（3D）的轉(zhuǎn)變相關(guān),行列式的符號(hào)說(shuō)明白變換矩陣是否包含鏡像或投影.矩陣的行列式還能對(duì)矩陣所代表的變換進(jìn)行分類。如果矩陣的行列式為0,那么該矩陣包含投影。如果矩陣的行列式為負(fù)，那么該矩陣包含鏡像.4D向量和４x４矩陣不過(guò)是對(duì)3D運(yùn)算的一種便利的記憶而已。

4D齊次空間4D向量有4個(gè)重量,前３個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)的x,ｙ和z重量,第４個(gè)是w，有時(shí)稱作齊次坐標(biāo).為了理解標(biāo)準(zhǔn)3D坐標(biāo)是怎樣擴(kuò)展到４Ｄ坐標(biāo)的,讓我們先看一下2D中的齊次坐標(biāo)，它的形式為(ｘ，ｙ，w)。想象在３D中w=１處的標(biāo)準(zhǔn)2D平面，實(shí)際的２D點(diǎn)（ｘ，y）用齊次坐標(biāo)表示為（x，y,1），對(duì)于那些不在w＝1平面上的點(diǎn),則將它們投影到ｗ＝１平面上。所以齊次坐標(biāo)（x，ｙ，w)映射的實(shí)際２Ｄ點(diǎn)為（x／ｗ,ｙ／w）.如圖9．2所示:因此，給定一個(gè)2D點(diǎn)（ｘ，ｙ），齊次空間中有很多多個(gè)點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)。全部點(diǎn)的形式都為(ｋｘ，ｋy，k）,k≠０。這些點(diǎn)構(gòu)成一條穿過(guò)齊次原點(diǎn)的直線.當(dāng)w=0時(shí)，除法未定義，因此不存在實(shí)際的2Ｄ點(diǎn)。然而,可以將2Ｄ齊次點(diǎn)（x，y，0）解釋為"位于無(wú)窮遠(yuǎn)的點(diǎn)”，它描述了一個(gè)方向而不是一個(gè)位置。4D坐標(biāo)的基本思想相同，實(shí)際的３D點(diǎn)被認(rèn)為是在４D中ｗ=１＂平面"上。4D點(diǎn)的形式為（ｘ，ｙ，ｚ,w),將4D點(diǎn)投影到這個(gè)"平面＂上得到相應(yīng)的實(shí)際３D點(diǎn)(ｘ／w，y/ｗ,z/w)。w＝0時(shí)4D點(diǎn)表示＂無(wú)限遠(yuǎn)點(diǎn)”，它描述了一個(gè)方向而不是一個(gè)位置。

４X４平移矩陣3x3變換矩陣表示的是線性變換,不包括平移。由于矩陣乘法的性質(zhì),零向量總是變換成零向量.因此，任何能用矩陣乘法表達(dá)的變換都不包含平移。這很不幸，由于矩陣乘法和它的逆是一種格外便利的工具,不僅可以用來(lái)將簡(jiǎn)潔的變換組合成簡(jiǎn)潔的單一變換，還可以操縱嵌入式坐標(biāo)系間的關(guān)系。如果能找到一種方法將3x3變換矩陣進(jìn)行擴(kuò)展，使它能處理平移，這將是一件多么美妙的事情啊。４x4矩陣恰好供應(yīng)了一種數(shù)學(xué)上的＂技巧"，使我們能夠做到這一點(diǎn)。臨時(shí)假設(shè)ｗ總是等于1。那么,標(biāo)準(zhǔn)3D向量［x，ｙ,z]對(duì)應(yīng)的4D向量為［ｘ,ｙ,z，1]。任意3ｘ3變換矩陣在4D中表示為：任意一個(gè)形如[x，y，ｚ，1］的向量乘以上面形式的矩陣，其結(jié)果和標(biāo)準(zhǔn)的3ｘ3情況相同,只是結(jié)果是用w＝1的４D向量表示的：現(xiàn)在，到了最有趣的部分.在4D中，仍然可以用矩陣乘法來(lái)表達(dá)平移，如公式9.1０所示，而在3D中是不行能的：記住,即使是在４D中，矩陣乘法仍然是線性變換.矩陣乘法不能表達(dá)4D中的＂平移”，４D零向量也將總是被變換成零向量.這個(gè)技巧之所以能在3Ｄ中平移點(diǎn)是由于我們實(shí)際上是在切變４D空間.與實(shí)際3D空間相對(duì)應(yīng)的4D中的”平面"并沒(méi)有穿過(guò)４D中的原點(diǎn).因此，我們能通過(guò)切變４Ｄ空間來(lái)實(shí)現(xiàn)3Ｄ中的平移。設(shè)想沒(méi)有平移的變換后接一個(gè)有平移的變換會(huì)發(fā)生什么情況呢?設(shè)Ｒ為旋轉(zhuǎn)矩陣（實(shí)際上，R還能包含其他的３D線性變換，但現(xiàn)在假設(shè)R只包含旋轉(zhuǎn))，Ｔ為形如公式9。10的變換矩陣：將向量v先旋轉(zhuǎn)再平移，新的向量v’計(jì)算如下:v'=vRT注意,變換的挨次是格外重要的.由于我們使用的是行向量，變換的挨次必須和矩陣乘法的挨次相吻合（從左到右),先旋轉(zhuǎn)后平移。和3ｘ３矩陣一樣，能將兩個(gè)矩陣連接成單個(gè)矩陣，記作矩陣M,如下:M＝RTｖ’＝vRT=v(RT）=vM觀察M的內(nèi)容：注意到，M的上邊3ｘ3部分是旋轉(zhuǎn)部分,最下一行是平移部分。最右一列為［0，0，0，1]Ｔ.逆向利用這些信息,能將任意4ｘ4矩陣分解為線性變換部分和平移部分。將平移向量［△ｘ，△ｙ，△z］記作t，則Ｍ可簡(jiǎn)寫(xiě)為:接下來(lái)看w=0所表示的

＂無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)"。它乘以一個(gè)由＂標(biāo)準(zhǔn)＂３x３變換矩陣擴(kuò)展成的4x4矩陣（不包含平移），得到:換句話說(shuō)，當(dāng)一個(gè)形如［ｘ，y，z，0]的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)乘以一個(gè)包含旋轉(zhuǎn)、縮放等的變換矩陣,將會(huì)發(fā)生預(yù)期的變換。結(jié)果仍是一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn),形式為［ｘ，ｙ，z,０］。一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)經(jīng)過(guò)包含平移的變換可得到:注意到結(jié)果是一樣的(和沒(méi)有平移的情況相比）。換句話說(shuō)，4Ｄ向量中的ｗ重量能夠”開(kāi)關(guān)＂

4x４矩陣的平移部分.這個(gè)現(xiàn)象是格外有用的,由于有些向量代表“位置”,應(yīng)當(dāng)平移，而有些向量代表“方向”,如表面的法向量,不應(yīng)該平移.從幾何意義上說(shuō),能將第一類數(shù)據(jù)當(dāng)作”點(diǎn)",其次類數(shù)據(jù)當(dāng)作"向量”.使用4ｘ４矩陣的一個(gè)緣由是4ｘ4變換矩陣能包含平移。當(dāng)我們僅為這個(gè)目的使用4x４矩陣時(shí),矩陣的最后一列總是［0,0,０，1］T。既然是這樣，為什么不去掉最后一列而改用4x3矩陣呢？依據(jù)線性代數(shù)法則，由于多種緣由,4ｘ3矩陣不符合我們的需求，如下:（１)不能用一個(gè)４x3矩陣乘以另一個(gè)4x３矩陣.（2）4x３矩陣沒(méi)有逆矩陣,由于它不是一個(gè)方陣。(3)一個(gè)4D向量乘以4x3矩陣時(shí),結(jié)果是一個(gè)3D向量。為了嚴(yán)格遵守線性代數(shù)法則,我們加上了第４列。當(dāng)然在代碼中，可以不受代數(shù)法則的約束。

一般仿射變換3x3矩陣僅能表達(dá)3D中的線性變換,不能包含平移。經(jīng)過(guò)4ｘ4矩陣的武裝后，現(xiàn)在我們可以構(gòu)造包含平移在內(nèi)的一般仿射變換矩陣了.例如:(1）繞不通過(guò)原點(diǎn)的軸旋轉(zhuǎn)。（２）沿不穿過(guò)原點(diǎn)的平面縮放。（３）沿不穿過(guò)原點(diǎn)的平面鏡像.（4)向不穿過(guò)原點(diǎn)的平面正交投影。它們的基本思想是將變換的"中心點(diǎn)"平移到原點(diǎn),接著進(jìn)行線性變換，然后再將”中心點(diǎn)”平移回原來(lái)的位置.開(kāi)頭使用平移矩陣T將點(diǎn)P移到原點(diǎn)，接著用線性變換矩陣R進(jìn)行線性變換，最終的仿射變換矩陣Ｍ等于矩陣的積，即:ＴＲT—1.T－１是平移矩陣，執(zhí)行和T相反的變換。觀察這種矩陣的一般形式，它格外有趣。讓我們先用

＂分塊＂形式寫(xiě)出前面用到的T、Ｒ、Ｔ—１?？梢钥闯?仿射變換中增加的平移部分僅僅轉(zhuǎn)變了4ｘ4矩陣的最后一行，并沒(méi)有影響到上面所包含的線性變換的３x３部分.

透視投影學(xué)習(xí)透視投影最好的方法是將它和平行投影相比較。正交投影也稱作平行投影，由于投影線都是平行的（投影線是指從原空間中的點(diǎn)到投影點(diǎn)的連線)。正交投影中的平行線如圖9．3所示：3D中的透視投影仍然是投影到2D平面上,但是投影線不再平行,實(shí)際上,它們相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)稱作投影中心。如圖９.4所示：由于投影中心在投影平面前面,投影線到達(dá)平面之前已經(jīng)相交，所以投影平面上的圖像是翻轉(zhuǎn)的。當(dāng)物體遠(yuǎn)離投影中心時(shí),正交投影仍保持不變,但透視投影變小了。如圖9．５所示:圖９．５中，右邊的茶壺離投影平面更遠(yuǎn)，所以它的投影比離投影平面較近的那個(gè)茶壺小.這是一種格外重要的視覺(jué)現(xiàn)象，稱作透視縮略。

小孔成像透視投影在圖形學(xué)中格外重要，由于它是人類視覺(jué)系統(tǒng)的模型。實(shí)際上,人類視覺(jué)系統(tǒng)遠(yuǎn)比這簡(jiǎn)潔，由于我們有兩只眼睛，而且對(duì)于每只眼睛，投影表面（視網(wǎng)膜）不是一個(gè)平面.所以，讓我們來(lái)看一個(gè)簡(jiǎn)潔些的例子—-——小孔成像。小孔成像系統(tǒng)就是一個(gè)盒子，一側(cè)上有小孔，光線穿過(guò)小孔照耀到另一側(cè)的背面，那里就是投影平面。如圖9。6所示：圖9.6中,盒子左面和右面是透明的，以使你能觀察盒子內(nèi)部。注意盒子內(nèi)部的投影是倒著的,這是由于光線(投影線）已經(jīng)在小孔處（投影中心）相交了。讓我們探究小孔成像背后的幾何原理.設(shè)想一個(gè)３Ｄ坐標(biāo)系，它的原點(diǎn)在投影中心，z軸垂直于投影平面,ｘ和ｙ軸平行于投影平面。如圖９。７所示:讓我們看看能否計(jì)算出任意點(diǎn)p通過(guò)小孔投影到投影平面上的坐標(biāo)p’。首先，需要知道小孔到投影平面的距離，設(shè)為ｄ.因此，投影平面為z=-d?，F(xiàn)在,從另一個(gè)角度來(lái)看問(wèn)題，求出新的ｙ.如圖9．８所示。由相像三角形得到：注意小孔成像顛倒了圖像，ｐｙ和ｐy’的符號(hào)相反。px'的值可通過(guò)類似的方法求得：全部投影點(diǎn)的z值都是相同的:—d。因此,點(diǎn)p通過(guò)原點(diǎn)向平面ｚ=-d投影的結(jié)果如公式9．1１所示:在實(shí)際應(yīng)用中,負(fù)號(hào)會(huì)帶來(lái)不必要的簡(jiǎn)潔性。所以將投影平面移到投影的前面（也就是說(shuō)，平面z=ｄ）,如圖9.9所示：當(dāng)然，這對(duì)于實(shí)際的小孔成像是不行能的。由于設(shè)置小孔的目的就是使光線只能通過(guò)小孔,但在計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)世界中，可以不理會(huì)這些規(guī)定。如你所愿，將投影平面移到投影中心前面，煩人的負(fù)號(hào)消滅了,如公式9。12所示