兩年(22-23)高考數(shù)學(xué)真題專題分類匯編專題六 數(shù)列（教師版）

專題六數(shù)列真題卷題號考點(diǎn)考向2023新課標(biāo)1卷7等差數(shù)列等差數(shù)列的判定、等差數(shù)列的性質(zhì)20等差數(shù)列求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及基本量計(jì)算2023新課標(biāo)2卷8等比數(shù)列等比數(shù)列的性質(zhì)18等差數(shù)列、數(shù)列的綜合應(yīng)用求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和、數(shù)列的綜合應(yīng)用（不等式證明）2022新高考1卷17數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列求和由遞推公式求通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)相消法求和2022新高考2卷17等差數(shù)列、等比數(shù)列等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式2021新高考1卷16數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和17數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列求和由遞推公式求通項(xiàng)公式、公式法求和2021新高考2卷12等比數(shù)列數(shù)列的新定義問題17等差數(shù)列求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列求和2020新高考1卷14等差數(shù)列等差數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列求和18等比數(shù)列、數(shù)列求和求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列求和2020新高考2卷15等差數(shù)列求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列求和18等比數(shù)列求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列求和【2023年真題】1.（2023·新課標(biāo)I卷第7題）記SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和，設(shè)甲：SKIPIF1<0為等差數(shù)列：乙：SKIPIF1<0為等差數(shù)列，則(

)A.

甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】C

【解析】【分析】本題考查等差數(shù)列的判定、等差數(shù)列前n項(xiàng)和、充分必要條件的判定，屬于中檔題．結(jié)合等差數(shù)列的判斷方法，依次證明充分性、必要性即可.【解答】解：方法SKIPIF1<0為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公差為d，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件，，反之，SKIPIF1<0為等差數(shù)列，即SKIPIF1<0為常數(shù)，設(shè)為t即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩式相減有：SKIPIF1<0，對SKIPIF1<0也成立，故SKIPIF1<0為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，故甲是乙的充要條件，故選SKIPIF1<0方法SKIPIF1<0因?yàn)榧祝篠KIPIF1<0為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的首項(xiàng)SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件．反之，乙：SKIPIF1<0為等差數(shù)列SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0上兩式相減得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，上式成立．

又SKIPIF1<0為常數(shù)SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0為等差數(shù)列．則甲是乙的必要條件，故甲是乙的充要條件，故選C.2.（2023·新課標(biāo)=2\*ROMANII卷第8題）記SKIPIF1<0為等比數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0(

)A.120 B.85 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C

【解析】【分析】本題考查等比數(shù)列的基本性質(zhì)，屬于中檔題.利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和之間差的關(guān)系可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，列出關(guān)系式計(jì)算即可得解.【解答】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，SKIPIF1<0從而計(jì)算可得SKIPIF1<0故選SKIPIF1<03.（2023·新課標(biāo)I卷第20題）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為d，且SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和.SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式;SKIPIF1<0若SKIPIF1<0為等差數(shù)列，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0【答案】解：因?yàn)镾KIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0舍SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0方法一：SKIPIF1<0基本量法SKIPIF1<0若SKIPIF1<0為等差數(shù)列，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0舍SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0舍SKIPIF1<0或SKIPIF1<0舍SKIPIF1<0綜上：SKIPIF1<0方法二：因?yàn)镾KIPIF1<0為等差數(shù)列且公差為d，所以可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0解法一：因?yàn)镾KIPIF1<0為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式可知SKIPIF1<0與n的關(guān)系滿足一次函數(shù)，所以上式中的分母“SKIPIF1<0”需滿足SKIPIF1<0或者SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或者SKIPIF1<0解法二：由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0為等差數(shù)列，所以滿足SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，兩邊同乘SKIPIF1<0化簡得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或者SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0均為等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等價(jià)于SKIPIF1<0，①當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或者SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0②當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或者SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以均不取;綜上所述，SKIPIF1<0【解析】本題第一問考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，第二問考查等差數(shù)列有關(guān)性質(zhì)，等差數(shù)列基本量的求解，計(jì)算量較大，為較難題.

4.（2023·新課標(biāo)=2\*ROMANII卷第18題）已知為等差數(shù)列，，記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0求的通項(xiàng)公式；SKIPIF1<0證明：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0【答案】解：SKIPIF1<0設(shè)數(shù)列的公差為d，由題意知：，即，解得SKIPIF1<0SKIPIF1<0由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，，SKIPIF1<0，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)n為偶數(shù)且SKIPIF1<0時(shí)，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)n為奇數(shù)且SKIPIF1<0時(shí)，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0【解析】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等.SKIPIF1<0由已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式展開，即可得出等差數(shù)列的首項(xiàng)SKIPIF1<0，公差SKIPIF1<0，進(jìn)而得出通項(xiàng)公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而SKIPIF1<0，分兩情況討論，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0中含有偶數(shù)項(xiàng)，相鄰兩項(xiàng)兩兩一組先求和，得出SKIPIF1<0當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0為偶數(shù)，此時(shí)SKIPIF1<0最后只需證明SKIPIF1<0即可.【2022年真題】5.（2022·新高考I卷第17題）記SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列.

SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式;

SKIPIF1<0證明：SKIPIF1<0【答案】解：SKIPIF1<0，

則SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②;

由②-①得：SKIPIF1<0

SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0

SKIPIF1<0，

又SKIPIF1<0也符合上式，因此SKIPIF1<0

SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0，

即原不等式成立.

【解析】本題考查了數(shù)列與不等式，涉及裂項(xiàng)相消法求和、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、根據(jù)數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式等知識，屬中檔題.

SKIPIF1<0利用SKIPIF1<0進(jìn)行求解然后化簡可求出SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式;

SKIPIF1<0由SKIPIF1<0可求出SKIPIF1<0，然后再利用裂項(xiàng)相消法求和可得.

6.（2022·新高考II卷第17題）已知SKIPIF1<0為等差數(shù)列，SKIPIF1<0為公比為2的等比數(shù)列，且SKIPIF1<0

SKIPIF1<0證明：SKIPIF1<0

SKIPIF1<0求集合SKIPIF1<0中元素個(gè)數(shù).【答案】解：SKIPIF1<0設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0公差為d

由SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0

由SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，

故SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，得證.

SKIPIF1<0由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知：SKIPIF1<0

即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，

因?yàn)镾KIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，

故集合SKIPIF1<0中元素的個(gè)數(shù)為9個(gè).

【解析】本題考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解指數(shù)不等式，集合中元素的個(gè)數(shù)問題，屬于中檔題.

【2021年真題】7.（2021·新高考II卷第12題）（多選）設(shè)正整數(shù)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，則(

)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0

C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】ACD

【解析】【分析】本題重在對新定義進(jìn)行考查，合理分析所給條件是關(guān)鍵，屬于拔高題.

利用SKIPIF1<0的定義可判斷ACD選項(xiàng)的正誤，利用特殊值法可判斷B選項(xiàng)的正誤.【解答】解：對于A選項(xiàng)，SKIPIF1<0，，

則SKIPIF1<0，，A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，，而SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以，，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以，，因此，，C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，SKIPIF1<0，故，D選項(xiàng)正確.故選SKIPIF1<08.（2021·新高考I卷第16題）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折．規(guī)格為SKIPIF1<0的長方形紙，對折1次共可以得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和SKIPIF1<0，對折2次共可以得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和SKIPIF1<0，以此類推．則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為____________________；如果對折SKIPIF1<0次，那么SKIPIF1<0__________SKIPIF1<0【答案】5；SKIPIF1<0【解析】【分析】本題考查實(shí)際生活中的數(shù)列問題，由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.根據(jù)題設(shè)列舉，可以得到折疊4次時(shí)會有五種規(guī)格的圖形.由面積的變化關(guān)系得到面積通項(xiàng)公式，從而由錯(cuò)位相減法得到面積和.【解答】解：對折3次時(shí)，可以得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四種規(guī)格的圖形.

對折4次時(shí)，可以得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0五種規(guī)格的圖形.

對折3次時(shí)面積之和SKIPIF1<0，對折4次時(shí)面積之和SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……

得折疊次數(shù)每增加1，圖形的規(guī)格數(shù)增加1，且SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0

記SKIPIF1<0，

則SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0，

得SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0，

故答案為5；SKIPIF1<09.（2021·新高考I卷第17題）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，，記SKIPIF1<0，寫出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，并求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；求SKIPIF1<0的前20項(xiàng)和.【答案】解：=1\*GB2⑴SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，SKIPIF1<0為公差的等差數(shù)列；故SKIPIF1<0.數(shù)列SKIPIF1<0的前20項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和為SKIPIF1<0，又由題中條件有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故可得SKIPIF1<0的前20項(xiàng)的和【解析】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系式運(yùn)用，等差數(shù)列通項(xiàng)公式求法，數(shù)列求和，考查了分析和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

SKIPIF1<0結(jié)合題干給的遞推關(guān)系，可以快速的算出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，同時(shí)利用SKIPIF1<0可判斷出數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，即可求出數(shù)列通項(xiàng)公式;

SKIPIF1<0的前20項(xiàng)的和可分組求和，求出其對應(yīng)的偶數(shù)項(xiàng)的和，再結(jié)合奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的關(guān)系求解即可.10.（2021·新高考II卷第17題）記SKIPIF1<0是公差不為0的等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式SKIPIF1<0；SKIPIF1<0求使SKIPIF1<0成立的n的最小值．【答案】解：SKIPIF1<0由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，從而有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，由于公差不為零，故：SKIPIF1<0，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0由數(shù)列的通項(xiàng)公式可得SKIPIF1<0，

則SKIPIF1<0，則不等式SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又n為正整數(shù)，故n的最小值為SKIPIF1<0【解析】本題考查等差數(shù)列基本量的求解，是等差數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用.

SKIPIF1<0由題意首先求得SKIPIF1<0的值，然后結(jié)合題意求得數(shù)列的公差即可確定數(shù)列的通項(xiàng)公式；SKIPIF1<0首先求得前n項(xiàng)和的表達(dá)式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.【2020年真題】11.（2020·新高考I卷第14題、II卷第15題）將數(shù)列SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為__________.【答案】SKIPIF1<0

【解析】【分析】本題考查數(shù)列的特定項(xiàng)與性質(zhì)以及等差數(shù)列求和.

利用公共項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為SKIPIF1<0

，公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，利用求和公式即可求出答案.【解答】解：數(shù)列

的首項(xiàng)是SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列；數(shù)列

的首項(xiàng)是SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列；公共項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為SKIPIF1<0

，公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列;故

的前n

項(xiàng)和SKIPIF1<0

為：

.故答案為SKIPIF1<012.（2020·新高考I卷第18題）已知公比大于1的等比數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；SKIPIF1<0記SKIPIF1<0為SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列SKIPIF1<0的前100項(xiàng)和SKIPIF1<0【答案】解：SKIPIF1<0設(shè)等比數(shù)列的公比為q，且SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

，

解得舍SKIPIF1<0或，

SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0

SKIPIF1<0由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，