2022-2023學(xué)年江蘇省南通市海安市高二年級下冊學(xué)期6月期末模擬數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省南通市海安市高二下學(xué)期6月期末模擬數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)集合，集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意逐一考查所給的選項(xiàng)運(yùn)算結(jié)果是否為即可.【詳解】由題意可得，則，選項(xiàng)A正確；，則，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，則或，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；或，則或，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：A.2．已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算及幾何意義計(jì)算即可.【詳解】，所以，故選：B3．若“函數(shù)的圖象與軸正半軸相交”是“”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式求函數(shù)與軸正半軸相交對應(yīng)a的范圍，根據(jù)必要不充分關(guān)系即可得m的范圍.【詳解】由的圖象與軸正半軸相交，則，即，所以是的必要不充分條件，則.故選：D4．中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙與夢天實(shí)驗(yàn)艙．假設(shè)空間站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天員開展實(shí)驗(yàn)，其中天和核心艙安排2人，問天實(shí)驗(yàn)艙與夢天實(shí)驗(yàn)艙至少各1人，且甲、乙兩人安排在同一個(gè)艙內(nèi)的分配方案有（

）

A．6種 B．12種 C．18種 D．24種【答案】B【分析】根據(jù)分組分配法安排計(jì)算即可.【詳解】首先將甲，乙，丙，丁、戊5名航天員分為3組，其中甲、乙在一組，其他3人中還有2人在一組，共有種分法，然后再將三組分配到三個(gè)工作艙，其中一人的一組在問天實(shí)驗(yàn)艙或夢天實(shí)驗(yàn)艙，得所有的方法共有種不同的方案．故選：B．5．已知函數(shù)．記，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用作差法比較自變量的大小，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】令，則開口向下，對稱軸為，因?yàn)?，而，所以，即由二次函?shù)性質(zhì)知，因?yàn)?，而，即，所以，綜上，，又為增函數(shù)，故，即.故選：A.6．流感病毒分為甲、乙、丙三型，甲型流感病毒最容易發(fā)生變異，流感大流行就是甲型流感病毒出現(xiàn)新亞型或舊亞型重現(xiàn)引起的．根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷甲型流感病毒的試驗(yàn)具有如下的效果：若以表示事件“試驗(yàn)反應(yīng)為陽性”，以表示事件“被診斷者患有甲型流感”，則有，．現(xiàn)對自然人群進(jìn)行普查，設(shè)被試驗(yàn)的人患有甲型流感的概率為0.005，即，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出，,，，由條件概率公式和全概率公式可得答案.【詳解】因?yàn)椋?因?yàn)?，所以，所?．故選：A.7．如圖所示，在正方體中，是棱上一點(diǎn)，若平面與棱交于點(diǎn)，則下列說法中正確的是（

）A．存在平面與直線垂直B．四邊形可能是正方形C．不存在平面與直線平行D．任意平面與平面垂直【答案】D【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)判斷A，根據(jù)面面平行的性質(zhì)得到四邊形是平行四邊形，再由，即可判斷B，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)為的中點(diǎn)，即可判斷C，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法說明D.【詳解】對于A：在正方體中平面，顯然平面與平面不平行，故直線不可能垂直平面，故A錯(cuò)誤；對于B：在正方體中，是棱上一點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)，由平面平面，并且四點(diǎn)共面，平面平面，平面平面，∴，同理可證，故四邊形是平行四邊形，在正方體中，由幾何知識得，平面，∵平面，∴，若是正方形，有，此時(shí)與重合時(shí)，但顯然四邊形不是正方形，故B錯(cuò)誤；對于C：當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，為的中點(diǎn)，所以且，所以為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，故C錯(cuò)誤；對于D：設(shè)正方體邊長為2，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，

由幾何知識得，,∴,∵，∴，∵，平面，平面，∴平面，∵平面，∴任意平面與平面垂直，故D正確.故選：D8．袋中有2個(gè)紅球，m個(gè)藍(lán)球和n個(gè)綠球，若從中不放回地任取2個(gè)球，記取出的紅球數(shù)量為X，則，且取出一紅一藍(lán)的概率為，若有放回地任取2個(gè)球，則取出一藍(lán)一綠的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)古典概型的概率公式，結(jié)合超幾何分布的數(shù)學(xué)期望計(jì)算可得，再根據(jù)概率公式計(jì)算取出一藍(lán)一綠的概率即可【詳解】，，故，故，即，解得，所以.故若有放回地任取2個(gè)球，則取出一藍(lán)一綠的概率為故選：B二、多選題9．已知互不相同的9個(gè)樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，則剩下的7個(gè)數(shù)據(jù)與原9個(gè)數(shù)據(jù)相比，下列數(shù)字特征中不變的是（

）A．中位數(shù) B．平均數(shù)C．方差 D．第40百分位數(shù)【答案】AD【分析】根據(jù)中位數(shù)，平均數(shù)，方差及百分位數(shù)的定義，舉例說明即可.【詳解】設(shè)這個(gè)數(shù)分別為，且，則中位數(shù)為，去掉最大和最小的數(shù)據(jù)，得，中位數(shù)為，故中位數(shù)一定不變；由，得的第40百分位數(shù)為，由，得的第40百分位數(shù)為，故第40百分位數(shù)不變，設(shè)這個(gè)數(shù)分別，則平均數(shù)為，去掉最大和最小的數(shù)據(jù)為，此時(shí)平均數(shù)為，所以此時(shí)平均數(shù)改變了；設(shè)這個(gè)數(shù)分別，則平均數(shù)為，方差為，去掉最大和最小的數(shù)據(jù)為，則平均數(shù)為，方差為，所以此時(shí)方差都改變了.故選：AD.10．下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．已知，則與垂直的單位向量的坐標(biāo)或.B．設(shè)向量，，若夾角為銳角，則.C．若，，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為.D．若平面向量滿足，則的最大值是.【答案】ACD【分析】對于A項(xiàng)，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及單位向量的定義計(jì)算即可；對于B項(xiàng)，由向量的數(shù)量積與模表示夾角計(jì)算即可；對于C項(xiàng)，由投影向量的計(jì)算公式計(jì)算即可；對于D項(xiàng)，由向量的幾何意義數(shù)形結(jié)合即可.【詳解】對于A項(xiàng)，設(shè)與垂直的單位向量的坐標(biāo)為，則由題意可得或，故A正確；對于B項(xiàng)，由題意可得：且，解之得且，故B錯(cuò)誤；對于C項(xiàng)，由投影向量的公式可得在方向上的投影向量為，故C正確；對于D項(xiàng)，由條件可知，如圖所示以原點(diǎn)為圓心分別作單位圓及半徑為2和4的大圓，A、B分別位于單位圓和半徑為2的圓上，不妨令符合條件，延長OB交半徑為4的圓于C點(diǎn)，則，顯然，當(dāng)且僅當(dāng)O、A、B三點(diǎn)共線且O位于A、B之間時(shí)有.故D正確.故選：ACD11．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.若，則下列關(guān)于的說法正確的有（

）A．的一個(gè)周期為4 B．點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)對稱中心C．時(shí)， D．【答案】AD【分析】由為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，可求得的周期為4，即可判斷函數(shù)的對稱性，由為奇函數(shù)，可得，結(jié)合，可求得，的值，從而得到時(shí)，的解析式，再利用周期性從而求出的值．【詳解】為奇函數(shù)，，且，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)，偶函數(shù)，，函數(shù)關(guān)于直線對稱，，即，，令，則，，，故的一個(gè)周期為4，故A正確；則直線是函數(shù)的一個(gè)對稱軸，故B不正確；當(dāng)時(shí)，，，，又，，解得，，，當(dāng)時(shí)，，故C不正確；，故D正確.故選：AD.12．如圖與分別為圓臺上下底面直徑，，若，，，則（

）

A．圓臺的母線與底面所成的角的正切值為B．圓臺的全面積為C．圓臺的外接球（上下底面圓周都在球面上）的半徑為D．從點(diǎn)經(jīng)過圓臺的表面到點(diǎn)的最短距離為【答案】ABD【分析】取圓臺的軸截面，利用線面角的定義可判斷A選項(xiàng)；利用圓臺的表面積公式可判斷B選項(xiàng)；利用正弦定理求出等腰梯形的外接圓半徑，即為圓臺的外接球半徑，可判斷C選項(xiàng)；將圓臺沿著軸截面切開，將圓臺的側(cè)面的一半展開，結(jié)合余弦定理可判斷D選項(xiàng).【詳解】取圓臺的軸截面，設(shè)、的中點(diǎn)分別為、，連接，分別過點(diǎn)、在平面內(nèi)作，，垂足分別為點(diǎn)、，

由題意可知，與圓臺的底面垂直，易知四邊形為等腰梯形，且，，，在和中，，，，所以，，所以，，因?yàn)?，，，則四邊形為矩形，且，同理可證四邊形為矩形，則，且，所以，與圓臺的底面垂直，則圓臺的母線與底面所成的角為，所以，，則，所以，，A對；對于B選項(xiàng)，圓臺的全面積為，B對；對于C選項(xiàng)，易知圓臺的外接球球心在梯形內(nèi)，且，由勾股定理可得，且，所以，圓臺的外接球直徑為，則，B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，將圓臺沿著軸截面切開，將圓臺的側(cè)面的一半展開如下圖所示：

延長、交于點(diǎn)，在圓臺的軸截面等腰梯形中，且，易知、分別為、的中點(diǎn)，所以，，設(shè)，則，則，在中，，，，由余弦定理可得，因此，從點(diǎn)經(jīng)過圓臺的表面到點(diǎn)的最短距離為，D對.故選：ABD.三、填空題13．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為.【答案】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列方程求解.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，所以，又，所以，解得，故答案為?14．已知一組數(shù)據(jù)的回歸直線方程為，且，發(fā)現(xiàn)有兩組數(shù)據(jù)，的誤差較大，去掉這兩組數(shù)據(jù)后，重新求得回歸直線方程為，則當(dāng)時(shí)，.【答案】5【分析】分別求出原數(shù)據(jù)和新數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)即可【詳解】由回歸直線方程過樣本中心點(diǎn)，可將代入，得，所以原數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)為，則去掉兩組數(shù)據(jù)，后的新數(shù)據(jù)的，，新數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)為，設(shè)新數(shù)據(jù)的回歸直線方程為，將代入得，當(dāng)時(shí)，.故答案為：5【點(diǎn)睛】回歸直線一定經(jīng)過樣本中心點(diǎn)15．已知兩個(gè)隨機(jī)變量X、Y，其中，，若，且，則．【答案】/【分析】確定得到，確定，再根據(jù)得到答案.【詳解】，則，，故，，，故，.故答案為：.16．馬路上有10盞路燈，為了節(jié)約用電計(jì)劃關(guān)掉三盞路燈，但兩端兩盞不能關(guān)掉，也不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，這樣的關(guān)燈方法有種．（用數(shù)字作答）【答案】20【分析】先將亮的7盞燈排成一排，兩端兩盞不能關(guān)掉，在他們之間有6個(gè)空位利用插空法可得答案.【詳解】先將亮的7盞燈排成一排，因?yàn)閮啥藘杀K不能關(guān)掉，所以他們之間有6個(gè)空位，在6個(gè)空位中選取3個(gè)位置插入熄滅的3盞燈，即有種.故答案為：20.四、解答題17．已知函數(shù)（且）.(1)若函數(shù)為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；(2)對任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用奇函數(shù)的定義可求參數(shù)的值；（2）不等式等價(jià)于，參變分離后可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，則，即，.（2）解：，，，∴，∴在恒成立即在恒成立，在為增函數(shù)，故，.18．三棱臺中，若面，分別是中點(diǎn).

(1)求證：//平面；(2)求平面與平面所成夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）先證明四邊形是平行四邊形，然后用線面平行的判定解決；（2）利用二面角的定義，作出二面角的平面角后進(jìn)行求解；（3）方法一是利用線面垂直的關(guān)系，找到垂線段的長，方法二無需找垂線段長，直接利用等體積法求解【詳解】（1）

連接.由分別是的中點(diǎn)，根據(jù)中位線性質(zhì)，//，且，由棱臺性質(zhì)，//，于是//，由可知，四邊形是平行四邊形，則//，又平面，平面，于是//平面.（2）過作，垂足為，過作，垂足為,連接.由面，面，故，又，，平面，則平面.由平面，故，又，，平面，于是平面，由平面，故.于是平面與平面所成角即.又，，則，故，在中，，則，于是

（3）[方法一：幾何法]

過作，垂足為，作，垂足為，連接，過作，垂足為.由題干數(shù)據(jù)可得，，，根據(jù)勾股定理，，由平面，平面，則，又，，平面，于是平面.又平面，則，又，，平面，故平面.在中，，又，故點(diǎn)到平面的距離是到平面的距離的兩倍，即點(diǎn)到平面的距離是.[方法二：等體積法]

輔助線同方法一.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為.，.由，即.19．已知.(1)若，分別求出，，的值；(2)求的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).【答案】(1)-64，-1，(2)【分析】（1）利用展開式的通項(xiàng)公式求解，利用賦值法求解，由求導(dǎo)，再利用賦值法求解；（2）由的展開式的通項(xiàng)公式為，設(shè)第r+1項(xiàng)為系數(shù)最大，由求解.【詳解】（1）解：由，二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為，則，令，得，令，得，所以，由，求導(dǎo)得：，令，得；（2）的展開式的通項(xiàng)公式為，設(shè)第r+1項(xiàng)為系數(shù)最大，則，即，解得，則，所以的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是.20．為了研究學(xué)生每天整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題的情況，某課題組在某市中學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生調(diào)查了他們期中考試的數(shù)學(xué)成績和平時(shí)整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題情況，并繪制了下列兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖表，圖1為學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖，圖2為學(xué)生一個(gè)星期內(nèi)整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題天數(shù)的扇形圖.若本次數(shù)學(xué)成績在110分及以上視為優(yōu)秀，將一個(gè)星期有4天及以上整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題視為“經(jīng)常整理”，少于4天視為“不經(jīng)常整理”.已知數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生中，經(jīng)常整理錯(cuò)題的學(xué)生占.

數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀合計(jì)經(jīng)常整理不經(jīng)常整理合計(jì)(1)求圖1中的值；(2)根據(jù)圖1、圖2中的數(shù)據(jù)，補(bǔ)全上方列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與經(jīng)常整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題是否有關(guān)?(3)用頻率估計(jì)概率，在全市中學(xué)生中按“經(jīng)常整理錯(cuò)題”與“不經(jīng)常整理錯(cuò)題”進(jìn)行分層抽樣，隨機(jī)抽取5名學(xué)生，再從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談.求這2名同學(xué)中經(jīng)常整理錯(cuò)題且數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的人數(shù)恰為1人的概率.附：【答案】(1)；(2)有關(guān)(3)【分析】（1）根據(jù)頻率值和等于1可以求得的值；（2）根據(jù)題意完成列聯(lián)表，計(jì)算，即可得相關(guān)結(jié)論；（3）根據(jù)超幾何分布和條件概率的相關(guān)公式即可解決.【詳解】（1）由題意可得，解得；（2）數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的有人，不優(yōu)秀的人人，經(jīng)常整理錯(cuò)題的有人，不經(jīng)常整理錯(cuò)題的是人，經(jīng)常整理錯(cuò)題且成績優(yōu)秀的有人，則數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀合計(jì)經(jīng)常整理352560不經(jīng)常整理152540合計(jì)5050100零假設(shè)為：數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與經(jīng)常整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題無關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到可得，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與經(jīng)常整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于；（3）由分層抽樣知，隨機(jī)抽取的5名學(xué)生中經(jīng)常整理錯(cuò)題的有3人，不經(jīng)常整理錯(cuò)題的有2人，則（為經(jīng)常整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題且數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的人數(shù)）可能取為0，1，2，經(jīng)常整理錯(cuò)題的3名學(xué)生中，恰抽到人記為事件，則參與座談的2名學(xué)生中經(jīng)常整理錯(cuò)題且數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的恰好抽到人記為事件則，，，.21．已知函數(shù)．(1)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)證明不等式恒成立．【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(3)證明見解析.【分析】（1）求出切點(diǎn)坐標(biāo)，用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率即可求解；（2）求出導(dǎo)函數(shù)后對的值進(jìn)行分情況討論即可求；（3）用切線不等式可證得結(jié)果.【詳解】（1）時(shí)，，依題意切點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以函數(shù)在處的切線的斜率為，故函數(shù)在處的切線方程為，即.（2）的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得，時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（3）要證恒成立，即證恒成立，令，，由（2）可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以恒成立，即有時(shí)恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號，亦有即恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”號.所以一方面，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”號，另一方面恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號，所以恒成立，原不等式得證.22．高爾頓板又稱豆機(jī)、梅花機(jī)等，是英國生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)用來研究隨機(jī)現(xiàn)象的模型．如圖所示的高爾頓板為一塊木板自上而下釘著6層圓柱形小木塊，最頂