角平分線的性質(zhì) 省賽獲獎(jiǎng) 省賽獲獎(jiǎng)

12.3角的平分線的性質(zhì)（1）霸州市第五中學(xué)馮紹興一、知識回顧2.如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，則∠

=∠

.ABDCBD1、判定兩個(gè)三角形全等的方法有哪幾種？SSS，SAS，ASA，AAS；HL.過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，則圖中線段

的長度表示點(diǎn)D到BC的距離.DE直線外一點(diǎn)到這條直線垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離非常4+1二、探究一個(gè)基本作圖如圖是一個(gè)平分角的儀器，其中AB＝AD，BC＝DC，沿著AC畫一條射線AE，AE就是∠BAD的角平分線，你知道為什么嗎？D····BAEC思考幾何畫板演示

作法：

1.以Ｏ為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于Ｍ，交OB于Ｎ．

2.分別以Ｍ，Ｎ為圓心．大于ＭＮ的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部交于Ｃ．

3.作射線OC.射線OC即為所求.

已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分線.尺規(guī)作圖：作一個(gè)角的平分線幾何畫板演示角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。在∠AOB的平分線OC上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作∠AOB兩邊的垂線段PD，PE，測量PD，PE并作比較，從中你有什么新發(fā)現(xiàn)？你能說明其中的道理嗎？三、探究角平分線的性質(zhì)探究1.提出猜想PD=PE幾何畫板演示（1）分析命題“角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”的條件和結(jié)論，把命題寫成“如果……，那么……”的形式。（2）畫出圖形，用符號語言表示已知和求證.已知：如圖，∠AOC=∠BOC，點(diǎn)P在OＣ上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E．求證：

PD=PE.2.驗(yàn)證猜想已知：如圖，∠AOC=∠BOC，點(diǎn)P在OＣ上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E．求證：

PD=PE.2.驗(yàn)證猜想證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠1=∠2=90°.在△PDO和△PEO中，

∠1=∠2

∠3=∠4OP=

OP∴△PDO≌△PEO（AAS）.∴PD=

PE.{角的平分線性質(zhì)定理角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.（1）如果一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線上，那么這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等（2）定理的符號語言：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴

PD=PE.請做好筆記，記到教材49頁3.得出定理四、隨堂練習(xí)1.如圖(1)，在△ABC中，∠C=90°，

AD平分∠BAC，

DE⊥AB于E，若CD=3㎝，則點(diǎn)D到AB的距離DE是【】A.5㎝B.4㎝C.3㎝D.2㎝C圖(1)圖(2)2.如圖(2)，在△ABC中，∠C=90°，

AD平分∠BAC，若AB=10，CD=3，則△ABD的面積是_____.153.如圖：AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若S△ABC=7，DE=2，AB=4，則AC的長為

.3分析：可求得S△ABD=4，所以S△ACD=7-4=3∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF=2.∵△ACD的面積是3，AC邊上的高DF為2，∴AC的長為3.四、隨堂練習(xí)4.如圖，已知AD∥BC，P是∠BAD與∠ABC的平分線的交點(diǎn)，PE⊥AB于E，且PE=3，則AD與BC之間的距離為【】

A.3B.4C.5D.6D四、隨堂練習(xí)分析：過點(diǎn)P作MN⊥AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N.∵AD∥BC，∴MN⊥BC，MN的長即為AD與BC之間的距離.∵AP平分∠BAD,PM⊥AD,PE⊥AB，∴PM=

PE.同理，PN=

PE.∴PM=

PN=

PE=3.∴MN=6.即AD與BC之間的距離為6.四、隨堂練習(xí)5.如圖，在四邊形ABCD中，BC>BA，AD=DC，BD平分∠ABC，猜想∠BAD與∠C有什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由.解：∠BAD+∠C=180°.證明：過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，作DE⊥AB，交BA的延長線于點(diǎn)E.∵BD平分∠ABC,DE⊥AB,DF⊥BC，∴DE=

DF.{在Rt△ADE和Rt△CDF中，

AD=

CDDE=

DF∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL).∴∠1=∠C.∵∠BAD

+∠1=180°，∴∠BAD+∠C=180°.五、感悟與收獲1、尺規(guī)作圖：作一個(gè)角的平分線.2、角的平分線性質(zhì)定理角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.（1）如果一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線上，那么這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等.（2）定理的符號語言：∵OP平分∠AOB