角平分線的性質(zhì) 省賽獲獎 省賽獲獎

12.3角的平分線的性質(zhì)（1）霸州市第五中學馮紹興一、知識回顧2.如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，則∠

=∠

.ABDCBD1、判定兩個三角形全等的方法有哪幾種？SSS，SAS，ASA，AAS；HL.過點D作DE⊥BC，垂足為E，則圖中線段

的長度表示點D到BC的距離.DE直線外一點到這條直線垂線段的長度，叫做點到直線的距離非常4+1二、探究一個基本作圖如圖是一個平分角的儀器，其中AB＝AD，BC＝DC，沿著AC畫一條射線AE，AE就是∠BAD的角平分線，你知道為什么嗎？D····BAEC思考幾何畫板演示

作法：

1.以Ｏ為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于Ｍ，交OB于Ｎ．

2.分別以Ｍ，Ｎ為圓心．大于ＭＮ的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部交于Ｃ．

3.作射線OC.射線OC即為所求.

已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分線.尺規(guī)作圖：作一個角的平分線幾何畫板演示角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。在∠AOB的平分線OC上任取一點P，過點P作∠AOB兩邊的垂線段PD，PE，測量PD，PE并作比較，從中你有什么新發(fā)現(xiàn)？你能說明其中的道理嗎？三、探究角平分線的性質(zhì)探究1.提出猜想PD=PE幾何畫板演示（1）分析命題“角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等”的條件和結(jié)論，把命題寫成“如果……，那么……”的形式。（2）畫出圖形，用符號語言表示已知和求證.已知：如圖，∠AOC=∠BOC，點P在OＣ上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E．求證：

PD=PE.2.驗證猜想已知：如圖，∠AOC=∠BOC，點P在OＣ上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E．求證：

PD=PE.2.驗證猜想證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠1=∠2=90°.在△PDO和△PEO中，

∠1=∠2

∠3=∠4OP=

OP∴△PDO≌△PEO（AAS）.∴PD=

PE.{角的平分線性質(zhì)定理角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.（1）如果一個點在一個角的平分線上，那么這個點到這個角兩邊的距離相等（2）定理的符號語言：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴

PD=PE.請做好筆記，記到教材49頁3.得出定理四、隨堂練習1.如圖(1)，在△ABC中，∠C=90°，

AD平分∠BAC，

DE⊥AB于E，若CD=3㎝，則點D到AB的距離DE是【】A.5㎝B.4㎝C.3㎝D.2㎝C圖(1)圖(2)2.如圖(2)，在△ABC中，∠C=90°，

AD平分∠BAC，若AB=10，CD=3，則△ABD的面積是_____.153.如圖：AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若S△ABC=7，DE=2，AB=4，則AC的長為

.3分析：可求得S△ABD=4，所以S△ACD=7-4=3∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF=2.∵△ACD的面積是3，AC邊上的高DF為2，∴AC的長為3.四、隨堂練習4.如圖，已知AD∥BC，P是∠BAD與∠ABC的平分線的交點，PE⊥AB于E，且PE=3，則AD與BC之間的距離為【】

A.3B.4C.5D.6D四、隨堂練習分析：過點P作MN⊥AD于點M，交BC于點N.∵AD∥BC，∴MN⊥BC，MN的長即為AD與BC之間的距離.∵AP平分∠BAD,PM⊥AD,PE⊥AB，∴PM=

PE.同理，PN=

PE.∴PM=

PN=

PE=3.∴MN=6.即AD與BC之間的距離為6.四、隨堂練習5.如圖，在四邊形ABCD中，BC>BA，AD=DC，BD平分∠ABC，猜想∠BAD與∠C有什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由.解：∠BAD+∠C=180°.證明：過點D作DF⊥BC于點F，作DE⊥AB，交BA的延長線于點E.∵BD平分∠ABC,DE⊥AB,DF⊥BC，∴DE=

DF.{在Rt△ADE和Rt△CDF中，

AD=

CDDE=

DF∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL).∴∠1=∠C.∵∠BAD

+∠1=180°，∴∠BAD+∠C=180°.五、感悟與收獲1、尺規(guī)作圖：作一個角的平分線.2、角的平分線性質(zhì)定理角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.（1）如果一個點在一個角的平分線上，那么這個點到這個角兩邊的距離相等.（2）定理的符號語言：∵OP平分∠AOB