數(shù)字圖像變換技術(shù)及MATLAB實(shí)現(xiàn)2

3.3.4沃爾什函數(shù)的性質(zhì)

沃爾什函數(shù)有如下一些主要性質(zhì)：

（１）在區(qū)間[0,1]內(nèi)有下式成立

(4—119)(4—120)(4—121)這說明在[0,1]區(qū)間內(nèi)除了外，其他沃爾什函數(shù)?。焙停钡臅r間是相等的。

（２）在區(qū)間[0,1]的第一小段時間內(nèi)（通常稱為時隙）沃爾什函數(shù)總是?。薄＃ǎ常┪譅柺埠瘮?shù)有如下乘法定理

(4—122)并且，該定理服從結(jié)合律(4—123)證明：由定義式

但是因此以上便是乘法定理的證明。（４）沃爾什函數(shù)有歸一化正交性(4—124)證明：由乘法定理有其中

由于

所以當(dāng)l=0，即i=j時，則而當(dāng)，即時，則正交性得證。

3.3.5沃爾什變換

離散沃爾什變換可由下二式表達(dá)

(4—127)

(4—128)離散沃爾什變換解析式寫成矩陣式可得到沃爾什變換矩陣式

(4—130)式中代表階沃爾什矩陣。另外，沃爾什函數(shù)可寫成如下形式式中

因此，可得到指數(shù)形式的沃爾什變換式

(4—133)以上是離散沃爾什變換的三種定義，其中矩陣式最為簡潔。

(4—132)

3.3.6離散沃爾什--哈達(dá)瑪變換

由沃爾什函數(shù)的定義可知，按哈達(dá)瑪排列的沃爾什函數(shù)與按沃爾什排列的沃爾什函數(shù)相比較只是排列順序不同，其本質(zhì)并沒有什么不同。但是哈達(dá)瑪矩陣具有簡單的遞推關(guān)系，也就是高階矩陣可用低階矩陣的直積得到，這就使得沃爾什一哈達(dá)瑪變換有許多方便之處。因此，用得較多的是沃爾什－哈達(dá)瑪變換。

離散沃爾什－哈達(dá)瑪變換的定義可直接由沃爾什變換得到，只要用按哈達(dá)瑪排列的沃爾什函數(shù)去代替沃爾什排列的沃爾什函數(shù)，就可以得其矩陣式如下：(4-134)式中，是沃爾什哈達(dá)瑪變換系數(shù)序列，是時間序列，，p為正整數(shù)。式(3—134)的逆變換式如下(4—135)例：將時間序列做沃爾什－哈達(dá)瑪變換及反變換。反變換為3.3.7離散沃爾什變換的性質(zhì)離散沃爾什變換有許多性質(zhì)。下面把主要性質(zhì)列舉于下。為敘述方便起見，用表示時間序列，用表示變換系數(shù)序列，以表示沃爾什變換對應(yīng)關(guān)系。

(4—136)（１）線性

如果

則其中為常數(shù)。（２）模2移位性質(zhì)

將時間序列作L位模2移位所得到的序列，我們稱為模2移位序列。模2移位是這樣實(shí)現(xiàn)的：

設(shè)：是周期長度為N的序列。作一個新的序列(4—137)其中。此時，稱是序列f(t)的位模2移位序列。

例：L=2，則：由于=(2)D

=(3)D

=(0)D

=(1)D

=(6)D

=(7)D

=(4)D

=(5)D所以

同理

用矩陣表示為式中

(4—139)(4—140)按照模2和的性質(zhì)，可知這里[I]是么陣。(4—141)模2移位性質(zhì)是指下面的關(guān)系：如果，并且是的模2移位序列，則式中：，是矩陣中的第n行第l列的元素；n=0，1，2……，(N-1)；t=0，1，2，……，(N-1)；，p是正整數(shù)。此定理可證明如下：

令為的元素，是的模2移位序列，則令，則有，并且當(dāng)t取值由0到N-1時，r

也取同樣的值，只不過取值的順序不同而已。于是可寫成如下形式：所以，證明又因?yàn)?，這說明與l無關(guān)。也就是說，模2移位后的序列，作沃爾什變換后，所得到的第n個系數(shù)的平方與模2移位的移位位數(shù)無關(guān)。仍然等于。因此，模2移位定理（或稱為并元移位定理）又可表達(dá)為輸入序列模2移位后的功率譜是不變的。

例如：設(shè)輸入序列，對此序列作l=3的模2移位，得作沃爾什變換得根據(jù)

可得從上面結(jié)果可知可見n相同時，功率也相同，也就是說功率列率譜是不變的。（３）模2移位卷積定理（時間）

在討論下面的定理之前，首先說明一下模2移位卷積與模2移位相關(guān)的概念。

令和是兩個長度相同的周期性序列。用下式來定義兩個序列的模2移位卷積：(4—143)(4—144)式中為模2卷積，為模2減運(yùn)算符，它的運(yùn)算結(jié)果與模2加一樣。模2移位相關(guān)的定義式如式(3—144)所示其中表示模2移位相關(guān)，是的模2移位序列。

由式(4—143)和(4—144)可見，模2移位卷積和模2移位相關(guān)具有相同的結(jié)果,即：如果用W

代表作沃爾什變換，則：則(4—145)

下面討論模2移位卷積定理如果所以證明

（４）模2移位列率卷積定理模2移位列率卷積由下式來表示(4—146)依照模2時間卷積定理，模2移位列率卷積定理如下

如果(4—147)仿照模2移位時間卷積定理的證明方法可得到證明。則（５）模2移位自相關(guān)定理

從模2移位時間卷積(相關(guān))定理可以得到模2移位自相關(guān)定理。只要把定理中的和換成和便立即可以得到模2移位自相關(guān)定理。(4—148)其證明方法也與模2移位時間卷積定理的證明一樣。

從式(4—148)可以建立一個重要概念：模2移位自相關(guān)序列的沃爾什變換等于序列的功率譜。也就是說，模2移位下的自相關(guān)序列的沃爾什變換正好與序列的功率譜相符合。與傅里葉變換相比較，模2移位下的自相關(guān)與沃爾什譜的關(guān)系相當(dāng)于線性移位下的自相關(guān)序列的離散傅里葉變換與其功率譜的關(guān)系。

（６）帕斯維爾定理

如果則(4—149)

證明：設(shè)

因?yàn)槭亲韵嚓P(guān)函數(shù)，所以

則又由于

所以如果令t=0，則由于l僅是求和運(yùn)算的變量，因此將l換成t，即可得：（７）循環(huán)移位定理

把序列循環(huán)地向左移若干位，例如移l位，l=1，2，……，N-1，這樣得到的序列叫循環(huán)移位序列。如果用來表示循環(huán)移位序列，(4—150)

例如：有一個N=8的序列，

當(dāng)l=5，l=3的循環(huán)移位序列分別為循環(huán)移位定理的內(nèi)容如下：

如果和它的循環(huán)移位序列的沃爾什－哈達(dá)瑪變換分別是和，則(4—151)式中

這個定理把序列的沃爾什－哈達(dá)瑪變換系數(shù)與循環(huán)移位序列的沃爾什哈達(dá)瑪變換系數(shù)聯(lián)系了起來。即某些之和與之和是相等的。所以這個定理又稱為沃爾什－哈達(dá)瑪變換的循環(huán)移位不變性。下面用一個例子來說明本定理的意義。

例如設(shè)，經(jīng)沃爾什－哈達(dá)瑪變換后的系數(shù)序列為

現(xiàn)將做l=3的循環(huán)移位，則此序列經(jīng)沃爾什－哈達(dá)瑪變換后的系數(shù)序列為從兩個序列與可以看出當(dāng)r=1時，則：

所以

當(dāng)時，則：

所以

當(dāng)r=3時，則：所以：

顯然，這些關(guān)系符合循環(huán)移位定理。需要特別指出的是這個定理只適用于沃爾什－哈達(dá)瑪變換。此定理的更加一般性的證明，請參閱有關(guān)書籍。4.3.8快速沃爾什變換

離散付里哀變換有快速算法。同樣，離散沃爾什變換也有快速算法。利用快速算法，完成一次變換只須次加減法，運(yùn)算速度可大大提高。當(dāng)然快速算法只是一種運(yùn)算方法，就變換本身來說快速變換與非快速變換是沒有區(qū)別的。

由于沃爾什－哈達(dá)瑪變換有清晰的分解過程，而且快速沃爾什變換可由沃爾什－哈達(dá)瑪變換修改得到，所以下面著重討論沃爾什－哈達(dá)瑪快速變換。式中為正整數(shù)。(4—152)

由離散沃爾什－哈達(dá)瑪變換的定義可知

這里以8階沃爾什－哈達(dá)瑪變換為例，討論其分解過程及快速算法。由克羅內(nèi)克積可知：

(3—153)其中(4—154)(4—155)(4—156)其中均為么陣由上面的分解有(4—157)令

則下面是具體計(jì)算的公式及流程圖。(4—158)(4-159)(4—160)

圖4—14快速沃爾什-哈達(dá)瑪變換信號流圖（N=8）離散沃爾什－哈達(dá)瑪變換的特點(diǎn)：1）、WHT只有加減運(yùn)算，沒有乘除運(yùn)算，運(yùn)算速度快；2）、[H]是對稱矩陣，[H]=[H]′,所以，正反變換均用一樣的公式，一樣的運(yùn)算程序，甚至用一樣的硬件，給工程帶來極大方便。4.3.9多維變換圖像處理多用二維變換，二維變換的定義：

二維沃爾什－哈達(dá)瑪變換可用一維沃爾什－哈達(dá)瑪變換來計(jì)算，其步驟如下：

(1)、以，對中個列中的每一列做變換，得到；

(2)、以