第五節(jié)曲面及其方程

第五節(jié)曲面及其方程教學目的：介紹各種常用的曲面，為下學期學習重積分、線面積分打下基礎。學生應該會寫出常用的曲面方程，并對已知曲面方程能知道所表示曲面的形狀。教學重點：1.球面的方程旋轉(zhuǎn)曲面的方程教學難點：旋轉(zhuǎn)曲面教學內(nèi)容：一、曲面方程的概念實例：水桶的表而、臺燈的罩子面等，曲而在空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡。曲而方程的泄義：如果曲而S與三元方程F（x,y,z）=O （1）有下述關系：（1） 曲面S上任一點的坐標都滿足方程（1）（2） 不在曲而S上的點的坐標都不滿足方程（1）那么，方程（1）就叫做曲而S的方程，而曲而S就叫做方程（1）的圖形。幾種常見曲而（1） 球面例1：建立球心在兒,％）、半徑為/?的球而的方程。解：設M°（x（”yo，Zo）是球而上的任一點，那么陸即： J（x_Xo）=+（y_〉b）=+（z_z（））2=R或： （x—x。）'+（$-兒）2+（z-s）2=R‘特別地：如果球心在原點，那么球而方程為（討論旋轉(zhuǎn)曲而）x2+y2+z2=R2（2） 線段的垂宜平分面（平面方程）例2：設有點人（1,2,3）和8（2,—1,4）,求線段AB的垂直平分而的方程。解：由題意知道，所求平而為與A和3等距離的點的軌跡，設M(x,y,z)是所求平而上的任一點，由于IMAITMBI,那么J(x_I)」+(y_ +(z_3尸=J(x_2尸+(y+1)?+(乙_4尸化簡得所求方程2x-6y+2z-7=0研究空間曲面有兩個基本問題：已知曲而作為點的軌跡時，求曲而方程。已知坐標間的關系式，研究曲而形狀。旋轉(zhuǎn)曲面定義：以一條平而曲線繞尖平而上的一條直線族轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲而，旋轉(zhuǎn)曲線和左宜線依次叫旋轉(zhuǎn)曲而的母線和軸。二、旋轉(zhuǎn)曲面的方程設在yoz坐標而上有一已知曲線C,它的方程為f(y,z)=0把這曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周，就得到一個以z軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲而，設MJOjmJ為曲線C上的任一點，那么有f(yj,zj)=0 (2)當曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)時，點Mi也繞z軸旋轉(zhuǎn)到列一點M(x,y,z),這時保持不變，且點M到z軸的距離“=ylx~+y~=|”|將zi=z,y,=±yjx2+y2代入(2)式，就有螺旋曲面的方程為/(±Jx'+y2,Z)=0旋轉(zhuǎn)曲而圖繞哪個軸旋轉(zhuǎn)，該變量不變，另外的變量將缺的變量補上改成正負二者的完全平方根的形式。常用旋轉(zhuǎn)曲面：錐而(直線繞直線旋轉(zhuǎn)，兩直線的夾角&(0°<?<90°)),方程為：Z2=a2(x2+y2)其中a=cota三、柱面定義：平行于左直線并沿曲線左曲線C移動的宜線厶形成的軌跡叫做柱而。定曲線C：準線 動直線厶母線特征：a-,y,z三個變量中若缺其中之一（例如刃則表示母線平行于y軸的柱而。3：幾個常用的柱面：b）圓柱面：x2+y2=R2（母線平行于？軸）c）拋物柱面：）F=2尤（母線平行于z軸）小結：曲而方程的概念，旋轉(zhuǎn)曲面的概念及求法，柱而的概念（母線、準線）。作業(yè)：作業(yè)卡P74第六節(jié)空間曲線及其方程教學目的：介紹空間曲線的各種表示形式。第五、六節(jié)是為重積分、曲面積分作準備的，學生應知道各種常用立體的解析表達式，并簡單描圖，對投影等應在學習時特別注意。教學重點：1.空間曲線的一般表示形式2.空間曲線在坐標面上的投影教學難點：空間曲線在坐標面上的投影教學內(nèi)容：一、 空間曲線的一般方程空間曲線可以看作兩個曲面的交線，故可以將兩個曲而聯(lián)立方程組形式來表示曲線。F（x,y,Z）=OG（x,y,z）=O特點：曲線上的點都滿足方程，滿足方程的點都在曲線上，不在曲線上的點不能同時滿足兩個方程。二、 空間曲線的參數(shù)方程將曲線C上的動點的坐標表示為參數(shù)/的函數(shù)：

X=x(t)

y=W)

z=z(/)當給茴=A時，就得到曲線上的一個點3」杼)，隨著參數(shù)的變化可得到曲線上的全部點。三、空間曲線在坐標面上的投影設空間曲線C的一般方程為F(x,y,z)=OG(x,”z)=O消去英中一個變量(例如z)得到方程H(x,y)=O (4)曲線的所有點都在方程(4)所表示的曲面(柱而)上。此柱而(垂直于xoy平而)稱為投影柱面，投影柱面與xoy平面的交線叫做空間曲線C在xoy而上的投影曲線，簡稱投影，用方程表示為[H(x,y)=0Z=0同理可以求出空間曲線C在其它坐標而上的投影曲線。在重積分和曲而枳分中，還需要確左立體或曲而在坐標而上的投影，這時要利用投影柱而和投影曲線。例1：設一個立體由上半球而Z=j4_/_y2和錐而z=j3(/_y2)所用成，見右圖,求它xoy而上的投影。解：半球面與錐而交線為c：r=v，4~r~v~[z=fyx2+y2)消去Z并將等式兩邊平方整理得投影曲線為：「2,21x+y=1Z=0即xoy平而上的以原點為圓心、1為半徑的圓。立體在xoy平而上的投影為圓所用成的部分:x2+y2<1

x=x(r)>'=y(z)z=z(r)小結：x=x(r)>'=y(z)z=z(r)fF(x,y,z)=O〔G(x,y,z)=O2.空間曲線在坐標而上的投影{H(x,y)=0 z)=0 /T(x,z)=0[z=o \x=o [y=o作業(yè)：作業(yè)卡P74第七節(jié)平面及其方程教學目的：介紹最簡單也是非常常用的一種曲面一一平面，平面是本書非常重要的一節(jié)，本節(jié)讓學生了解平面的各種表示方法，學生在學習時領會各種特殊位置平面的表示方法，會求出各種位置上的平面，了解平面與其法向量之間的關系。教學重點：1.平面方程的求法2.兩平面的夾角教學難點：平面的兒種表示及其應用教學內(nèi)容：一、平面的點法式方程1.平面的法線向屋定義：垂直于一平而的非零向量叫做平面的法線向量。(1)平而內(nèi)的任一向量均與該平而的法線向量垂直。(1)2.平面的點法式方程已知平而上的一點兒,)和它的一個法線向gW={A,B,C),對平而上的任一點M(x,y,z),有向呈M()M丄〃,即代入坐標式有:A(x-x())+ -兒)+C(z-5)=0此即平而的點法式方程。例1：求過三點(2,-1,4)、AZ?(—1,3,-2)和(0,2,3)的平而方程。解：先找出這平而的法向雖"， iJkw=M,M2xM1M3=-34-6=14i+9j-^-23 -1由點法式方程得平而方程為14(x—2)+9(y+l)-(乙一4)=0即： 14x+9y—z-15=0二、平面的一般方程任一平面都可以用三元一次方程來表示。平而的一般方程為：Ax+By+Cz+D=0幾個平而圖形特點：D=0：通過原點的平而。A=0：法線向量垂直于x軸，表示一個平行于x軸的平而。同理：B=0或C=0：分別表示一個平行于y軸或z軸的平面。A=B=0：方程為Cz+D=0,法線向量{0,0,C},方程表示一個平行于my而的平而。同理：Ax+D=0和BY+D=0分別表示平行于yoz,ifil和xoz面的平面。反之：任何的三元一次方程，例如：5x+6y-7z+ll=0都表示一個平而，該平面的法向量為n={5,6,-7}例2：設平而過原點及點(6,-3,2),且與平面4x-y+2^=8垂直，求此平而方程。解：設平而為Ax+By+Cz+D=0t由平面過原點知￡)=0由平而過點(6-3,2)知6A—33+2C=0,2vn±{4-1,2}/.4A-B+2C=0=>A=B=一一C

所求平而方程為2x+2y-3z=0三.兩平面的夾角定義：兩平面法向量之間的夾角稱為兩平而的夾角。設平面口]:4x+Bj+C]Z+D]=0,口」：A2x+B2y+C2z+D-,=0瓦={ n2={A2,B2,C2}按照兩向量夾角余弦公式有：C0S0= I皿2+角〃2+CGI Ja：+B：+c：?執(zhí)2+町+三、幾個常用的結論設平而1和平而2的法向量依次為?={A，d，G}和/J={A2,B2,C2）1） 兩平面垂直：^2+8}82+^2=0 （法向量垂直）TOC\o"1-5"\h\z\ B C2） 兩平面平行：丄丄=_L=_L （法向量平行）A. B. C.■ ■ ■3） 平面外一點到平面的距離公式：設平而外的一點/（"，兒亡。），平而的方程為Ax+By+Cz+D=09則點到平而的距離為#_pUo+3yo+Czo+q(Ja2+b2+c2例3：研究以下各組里兩平而的位宜關系：(1)—x+2y—乙+1=0,(2)2x-y+?—1=0, -4x+2y—2?—1=0(3)2x-y-z+\=0, -4x+2y+2?-2=0解:(l)cos^=iOMxl—lx—=亠解:7(-1)2+22+(-1)2->/l2+32 V60兩平而相交，夾角^=arccos-=倆2-11〃i={2,_l,l},弘={—4,2,—2} 弓—=—=—- -4 2 -2兩平面平行 ???M(l,l,0)eri]M(1,1,0)倉口22-1-1兩平而平行但不重合。 (3)v—=—=—y+3z-l=0兩平面平行y+3z-l=0兩平面平行v^（1,1,0）en,M（l,l,0）e口2所以兩平而重合小結:平而的方程三種常用表示法：點法式方程，一般方程，截距式方程。兩平而的夾角以及點到平面的距離公式。作業(yè)：作業(yè)卡P75第八節(jié)空間直線及其方程教學目的：介紹空間曲線中最常用的直線，與平面同為本章的重點教學重點：1.直線方程2.直線與平面的綜合題教學難點：1.直線的兒種表達式2.直線與平面的綜合題教學內(nèi)容：一、 空間直線的一般方程空間直線可以看成是兩個平面的交線。故苴一般方程為：A{x+B{y+C憶+D=0A2x+B2y+C2z+D2=0二、 空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程平行于一條已知直線的非零向量叫做這條宜線的方向向量。已知直線上的一點M（）（Xo，y（），G）和它的一方向向量s={nijup},設直線上任一點為M（x,y,z）,那么刈加與s平行，由平行的坐標表示式有：tn n p此即空間直線的對稱式方程（或稱為點向式方程）。（寫時參照書上注釋）如設x-x（）_y一兒_z-G [m n p就可將對稱式方程變成參數(shù)方程（I為參數(shù)）341341x=x()+mt

y=Jo+皿

&=Zo+/M三種形式可以互換，按具體要求寫相應的方程。例1:例1:用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線(x+y+z+\=O[2x-y+3z+4=0解：在直線上任取一點（兀,兒,Zo）,取Xo=1 =>1^137^-6^0解得兒=0,6=—2,即直線上點坐標（1,0-2）因所求直線與兩平而的法向量都垂宜取5=m;x/i2={4-1-3）對稱式方程為:Z+2x=1+4/Z+2參數(shù)方程：\y=-t例2—直線過點人（2,-3,4）,且和y軸垂直z=—2—3/相交，求其方程解：因為直線和y軸垂直相交，所以交點為〃（0,-3,0）s=BA={2Q4},所求直線方程：—=—兩直線的夾角2 0 4兩直線的方向向量的夾角（通常指銳角）叫做兩直線的夾角。設兩直線L,和L2的方向向量依次為S|={叫,和S2={加2，勺，卩2}，兩直線的夾角可以按兩向量夾角公式來計算”丫心+n}n.+COS（P= ：、Jr—]r1 、+Fl：+p；?yjm；+n；+p；兩直線厶和厶2垂直：m\m2+,l\n2+P\P1=0（充分必要條件）兩直線厶和乙平行：竺=乞=厶m兩直線厶和乙平行：竺=乞=厶m2n2p2（充分必要條件）例3：求過點（一3,2,5）且與兩平而x-4z=3和2x—y—5z=1的交線平行的直線方程解：設所求直線的方向向量為s={m.n,p},根據(jù)題意知直線的方向向量與兩個平而的法向x+3v—2 7—5量都垂直，所以可以取/=w；X心=（-4-3-1）所求直線的方程—=—=—直線與平面的夾角當直線與平而不垂直時，直線與它在平而上的投影直線的夾角（p（Q＜（p＜壬）稱為直線與平面的夾角，當直線與平而垂直時，規(guī)泄直線與平面的夾角為蘭。2設直線厶的方向向雖為$={〃?/,〃},平而的法線向量為〃={A,5C},直線與平面的夾角為0,那么\Am+Bn+Cp\sin（p=「i^A2+B2+C2 +n2+p2arc直線與平面垂直:sun相當于-- （充分必要條件）mnp直線與平面平行：$丄〃相當于Am+Bn+Cp=O （充分必要條件）平面束方程：X-}-V—7—1=0過平面直線￡ ? 的平面束方程為x-y+2+1=0（A】x+y+C]z+D]）+A（A2x+B2y+C2z+D2）=0四、雜例：例1：求與兩平而x-4z=3和2x-y—5z=l的交線平行且過點（一3,2,5）的直線方程。解：由于直線的方向向量與兩平而的交線的方向向量平行，故直線的方向向量s—泄與兩平面的法線向量垂直，所以Jks=1 0 -4 = -（4i +3j+Ar）-1-5因此，所求直線的方程為x+3 y-2 z-53F例2：求過點（2」，3）且與直線菁I=”二呂垂直相交的直線方程解：先作一平面過點（2,1,3）且垂直于已知直線（即以已知直線的方向向量為平面的法線向呈：），這平而的方程為3(x—2)+2(y—l)—(z—3)=0再求已知直線與這平面的交點。將已知直線改成參數(shù)方程形式為x=?1+3f )=1+2/ z=-tTOC\o"1-5"\h\z3 213 3并代入上而的平而方程中去，求得/=-,從而求得交點為7 77 7以此交點為起點、已知點為終點可以構成向疑s即為所求直線的方向向量$={2一彳,1一羅,3+刖=號{2,一1,4}故所求直線方程為x-2_y-\_z-3~2 =4X4*V—Z—1=0例3：求直線{ ’ 在平而x+y+z=0上的投影直線的方程x—y+Z+1=0解：應用平而束的方法x+v—Z—1=0設過直線彳’ 的平而束方程為x-y+Z+l=0(x+y—z-1)+A(x一y+z+1)=0即 (l+2)x+(l-A)y+(-l+2)^+2-1=0這平而與已知平而X+y+z=0垂直的條件是(1+2)1+(1-2)1+(-1+2)1=0解之得 2=-1代入平而朿方程中得投影平而方程為y~z~1=0所以投影直線為y_z_1=0x+y+z=0小結：本節(jié)介紹了空間直線的一般方程，空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程，兩直線的夾角(注意兩直