圖像傅里葉變換

研究生課程數(shù)字圖像處理和分析Digital

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ProcessingandAnalysis杜紅E_mail:duhmail@126.com第三章傅里葉變換傅里葉變換

為什么要在頻率域研究圖像增強(qiáng)

可以利用頻率成分和圖像外表之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。一

些在空間域表述困難的增強(qiáng)任務(wù)，在頻率域中變得非

常普通

濾波在頻率域更為直觀，它可以解釋空間域?yàn)V波的某些性質(zhì)

可以在頻率域指定濾波器，做反變換，然后在空間域使用結(jié)果濾波器作為空間域?yàn)V波器的指導(dǎo)

一旦通過(guò)頻率域試驗(yàn)選擇了空間濾波，通常實(shí)施都在空間域進(jìn)行傅里葉變換定義

一維連續(xù)傅里葉變換及反變換

單變量連續(xù)函數(shù)f(x)的傅里葉變換F(u)定義為

給定F(u),通過(guò)傅里葉反變換可以得到f(x)

f(x)e

j2

uxdx

F(u)

1

其中，j

F(u)ej2

uxduf(x)

傅里葉變換定義傅里葉變換定義從歐拉公式

e

cos

jsin

f

x

cos(

2

ux)/M

jsin(

2

ux)/M

f

x

cos2

ux/M

jsin2

ux/M

一維離散傅里葉變換及反變換

j

M

1

x

0

1MF(u)

f

x

e

j(

2

ux)/M

M

1

x

0

M

1

x

0

1M

1

M傅里葉變換

F

u

R

u

I

u

2

2

u

arctan

傅里葉變換的極坐標(biāo)表示

F

u

F

u

e

j

u

幅度或頻率譜為

1

2

R(u)和I(u)分別是F(u)的實(shí)部和虛部

相角或相位譜為

I

u

R

u

傅里葉變換P

u

F

u

R

u

I

u

傅里葉變換的極坐標(biāo)表示

功率譜為

f(x)的離散表示

F(u)的離散表示2

2

2f

x

f

x

0

x

x

x

0,1,2,...,

M

1F

u

F

u

u

u

0,1,2,...,

M

1傅里葉變換傅里葉變換定義

F

u,v

R

u,v

I

u,v

2

2

u,v

arctan

二維DFT的極坐標(biāo)表示

F

u,v

F

u,v

e

j

u,v

幅度或頻率譜為

1

2

R(u,v)和I(u,v)分別是F(u,v)的實(shí)部和虛部

相角或相位譜為

I

u,v

R

u,v

傅里葉變換P

u,v

F

u,v

R

u,v

I

u,v

f

x,

y

1

二維DFT的極坐標(biāo)表示

功率譜為

用(-1)x+y乘以f(x,y),將F(u,v)原點(diǎn)變換到頻率坐標(biāo)下的(M/2，N/2)，它是M×N區(qū)域的中心

u=0,1,2,…,M-1,v=0,1,2,…,N-12

2

2F

u

M

/

2,

v

N

/

2

F(u,v)的原點(diǎn)變換

x

y傅里葉變換

f

x,

y

F(0,0)表示

這說(shuō)明：假設(shè)f(x,y)是一幅圖像，在原點(diǎn)的傅里葉變換等于圖像的平均灰度級(jí)M

1

N

1

x

0

y

0

1MNF

0,0

傅里葉變換

如果f(x,y)是實(shí)函數(shù)，它的傅里葉變換是對(duì)稱的，即

F

u,v

F

u,

v

傅里葉變換的頻率譜是對(duì)稱的

F

u,v

F

u,

v

傅里葉變換傅里葉變換傅里葉變換

二維傅里葉變換的性質(zhì)1.2.3.4.5.6.7.8.9.平移性質(zhì)分配律尺度變換（縮放）旋轉(zhuǎn)性周期性和共軛對(duì)稱性平均值可分性卷積相關(guān)性傅里葉變換1.傅里葉變換對(duì)的平移性質(zhì)(1)

(2)

公式（1）表明將f(x,y)與一個(gè)指數(shù)項(xiàng)相乘就相當(dāng)于把其變換后的頻域中心移動(dòng)到新的位置公式（2）表明將F(u,v)與一個(gè)指數(shù)項(xiàng)相乘就相當(dāng)于把其變換后的空域中心移動(dòng)到新的位置公式（2）表明對(duì)f(x,y)的平移不影響其傅里葉變換的幅值

f

x,y

ej2

u0x/M

v0y/N

F

u

u0,v

v0

f

x

x0,y

y0

F

u,v

e

j2

ux0/M

vy0/N

以

表示函數(shù)和其傅里葉變換的對(duì)應(yīng)性傅里葉變換

1

f

x,y

1

1.

傅里葉變換對(duì)的平移性質(zhì)（續(xù)）當(dāng)u0=M/2且v0=N/2,帶入（1）和（2），得到ex

y

ej

(x

y)j2

u0x/M

v0y/N

F

u

M/2,v

N/2

x

yu

v傅里葉變換2.分配律根據(jù)傅里葉變換的定義，可以得到

f1

x,

y

f2

x,

y

f1

x,

y

f2

x,

y

f1

x,

y

f2

x,

y

f1

x,

y

f2

x,

y

上述公式表明：傅里葉變換對(duì)加法滿足分配律，但對(duì)乘法則不滿足傅里葉變換3.尺度變換（縮放）給定2個(gè)標(biāo)量a和b，可以證明對(duì)傅里葉變換下列2個(gè)公式成立

af

x,

y

aF

u,v

F

u

/a,v/b

1abf

ax,by

傅里葉變換4.

旋轉(zhuǎn)性

引入極坐標(biāo)

x

rcos

,y

rsin

,u

cos

,v

sin

將f(x,y)和F(u,v)轉(zhuǎn)換為

f

r,

和F

,

。將它們帶入傅里葉變換對(duì)得到

f

r,

0

F

,

0

f(x,y)旋轉(zhuǎn)角度

0，F(xiàn)(u,v)也將轉(zhuǎn)過(guò)相同的角度

F(u,v)旋轉(zhuǎn)角度

0，f(x,y)也將轉(zhuǎn)過(guò)相同的角度傅里葉變換5.周期性和共軛對(duì)稱性

盡管F(u,v)對(duì)無(wú)窮多個(gè)u和v的值重復(fù)出現(xiàn)，但只需根據(jù)在任一個(gè)周期里的N個(gè)值就可以從F(u,v)得到f(x,y)只需一個(gè)周期里的變換就可將F(u,v)在頻域里完全確定同樣的結(jié)論對(duì)f(x,y)在空域也成立

F

u,v

F

u

M,v

F

u,v

N

F

u

M,v

N

f

x,

y

f

x

M,

y

f

x,

y

N

f

x

M,

y

N

上述公式表明傅里葉變換F

u,v

F

u,

v

5.

周期性和共軛對(duì)稱性

如果f(x,y)是實(shí)函數(shù)，則它的傅里葉變換具有共軛對(duì)稱性

F

u,v

F

u,

v

其中，F(xiàn)*(u,v)為F(u,v)的復(fù)共軛。復(fù)習(xí)：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部相等,虛部互為相反數(shù)時(shí),這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).傅里葉變換

對(duì)于一維變換F(u)，周期性是指F(u)的周期長(zhǎng)度為M，對(duì)稱性是指頻譜關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱周期性和共軛對(duì)稱性舉例

半周期的傅里葉頻譜一幅二維圖像的傅里葉頻譜全周期的傅里葉頻譜

中心化的傅里葉頻譜f

x,

y

e

j2

vy/

N

x

0

y

01

M

1

j2

ux/M

1

N

1F

x,v

x

0e6.

F(x,v)是沿著f(x,y)的一行所進(jìn)行的傅里葉變換。當(dāng)x=0,1,…,M-1，沿著f(x,y)的所有行計(jì)算傅里葉變換。分離性

F

u,v

eM

N

1

M

1

j2

ux/M

M傅里葉變換6.分離性——二維傅里葉變換的全過(guò)程

先通過(guò)沿輸入圖像的每一行計(jì)算一維變換再沿中間結(jié)果的每一列計(jì)算一維變換可以改變上述順序，即先列后行上述相似的過(guò)程也可以計(jì)算二維傅里葉反變換傅里葉變換

f

x,

y

f

x,

y

f

x,

y

7.平均值

由二維傅里葉變換的定義而M

1N

1

x

0

y

0

1MNF

u,v

f

x,

y

e

j2

ux/M

vy/

N

M

1N

1

x

0

y

0

1MN所以

F

0,0

M

1N

1

x

0

y

0

1MN傅里葉變換f

x,

y

F

0,0

7.平均值

所以

上式說(shuō)明：如果f(x,y)是一幅圖像，在原點(diǎn)的傅里葉變換即等于圖像的平均灰度級(jí)傅里葉變換

f

m,n

h

x

m,

y

n

8.

卷積理論大小為M×N的兩個(gè)函數(shù)f(x,y)和h(x,y)的離散卷積

1

M

1N

1MN

m

0

n

0f

x,

y

h

x,

y

卷積定理

f

x,y

h

x,y

F

u,v

H

u,v

f

x,y

h

x,y

F

u,v

H

u,v

傅里葉變換

f

m,n

h

x

m,

y

n

f

x,y

h

x,y

F

u,v

H

u,v

9.

相關(guān)性理論大小為M×N的兩個(gè)函數(shù)f(x,y)和h(x,y)的相關(guān)f*表示f的復(fù)共軛。對(duì)于實(shí)函數(shù)，

f*＝f相關(guān)定理

1

M

1N

1

*MN

m

0

n

0性定義為

f

x,

y

h

x,

y

f

x,y

h

x,y

F*

u,v

H

u,v

*傅里葉變換f

x,y

f

x,y

F

u,v

R

u,v

I

u,v

f

x,y

F

u,v

F

u,v

自相關(guān)理論

2

2