圖像傅里葉變換

研究生課程數(shù)字圖像處理和分析Digital

Image

ProcessingandAnalysis杜紅E_mail:duhmail@126.com第三章傅里葉變換傅里葉變換

為什么要在頻率域研究圖像增強

可以利用頻率成分和圖像外表之間的對應關系。一

些在空間域表述困難的增強任務，在頻率域中變得非

常普通

濾波在頻率域更為直觀，它可以解釋空間域濾波的某些性質

可以在頻率域指定濾波器，做反變換，然后在空間域使用結果濾波器作為空間域濾波器的指導

一旦通過頻率域試驗選擇了空間濾波，通常實施都在空間域進行傅里葉變換定義

一維連續(xù)傅里葉變換及反變換

單變量連續(xù)函數(shù)f(x)的傅里葉變換F(u)定義為

給定F(u),通過傅里葉反變換可以得到f(x)

f(x)e

j2

uxdx

F(u)

1

其中，j

F(u)ej2

uxduf(x)

傅里葉變換定義傅里葉變換定義從歐拉公式

e

cos

jsin

f

x

cos(

2

ux)/M

jsin(

2

ux)/M

f

x

cos2

ux/M

jsin2

ux/M

一維離散傅里葉變換及反變換

j

M

1

x

0

1MF(u)

f

x

e

j(

2

ux)/M

M

1

x

0

M

1

x

0

1M

1

M傅里葉變換

F

u

R

u

I

u

2

2

u

arctan

傅里葉變換的極坐標表示

F

u

F

u

e

j

u

幅度或頻率譜為

1

2

R(u)和I(u)分別是F(u)的實部和虛部

相角或相位譜為

I

u

R

u

傅里葉變換P

u

F

u

R

u

I

u

傅里葉變換的極坐標表示

功率譜為

f(x)的離散表示

F(u)的離散表示2

2

2f

x

f

x

0

x

x

x

0,1,2,...,

M

1F

u

F

u

u

u

0,1,2,...,

M

1傅里葉變換傅里葉變換定義

F

u,v

R

u,v

I

u,v

2

2

u,v

arctan

二維DFT的極坐標表示

F

u,v

F

u,v

e

j

u,v

幅度或頻率譜為

1

2

R(u,v)和I(u,v)分別是F(u,v)的實部和虛部

相角或相位譜為

I

u,v

R

u,v

傅里葉變換P

u,v

F

u,v

R

u,v

I

u,v

f

x,

y

1

二維DFT的極坐標表示

功率譜為

用(-1)x+y乘以f(x,y),將F(u,v)原點變換到頻率坐標下的(M/2，N/2)，它是M×N區(qū)域的中心

u=0,1,2,…,M-1,v=0,1,2,…,N-12

2

2F

u

M

/

2,

v

N

/

2

F(u,v)的原點變換

x

y傅里葉變換

f

x,

y

F(0,0)表示

這說明：假設f(x,y)是一幅圖像，在原點的傅里葉變換等于圖像的平均灰度級M

1

N

1

x

0

y

0

1MNF

0,0

傅里葉變換

如果f(x,y)是實函數(shù)，它的傅里葉變換是對稱的，即

F

u,v

F

u,

v

傅里葉變換的頻率譜是對稱的

F

u,v

F

u,

v

傅里葉變換傅里葉變換傅里葉變換

二維傅里葉變換的性質1.2.3.4.5.6.7.8.9.平移性質分配律尺度變換（縮放）旋轉性周期性和共軛對稱性平均值可分性卷積相關性傅里葉變換1.傅里葉變換對的平移性質(1)

(2)

公式（1）表明將f(x,y)與一個指數(shù)項相乘就相當于把其變換后的頻域中心移動到新的位置公式（2）表明將F(u,v)與一個指數(shù)項相乘就相當于把其變換后的空域中心移動到新的位置公式（2）表明對f(x,y)的平移不影響其傅里葉變換的幅值

f

x,y

ej2

u0x/M

v0y/N

F

u

u0,v

v0

f

x

x0,y

y0

F

u,v

e

j2

ux0/M

vy0/N

以

表示函數(shù)和其傅里葉變換的對應性傅里葉變換

1

f

x,y

1

1.

傅里葉變換對的平移性質（續(xù)）當u0=M/2且v0=N/2,帶入（1）和（2），得到ex

y

ej

(x

y)j2

u0x/M

v0y/N

F

u

M/2,v

N/2

x

yu

v傅里葉變換2.分配律根據(jù)傅里葉變換的定義，可以得到

f1

x,

y

f2

x,

y

f1

x,

y

f2

x,

y

f1

x,

y

f2

x,

y

f1

x,

y

f2

x,

y

上述公式表明：傅里葉變換對加法滿足分配律，但對乘法則不滿足傅里葉變換3.尺度變換（縮放）給定2個標量a和b，可以證明對傅里葉變換下列2個公式成立

af

x,

y

aF

u,v

F

u

/a,v/b

1abf

ax,by

傅里葉變換4.

旋轉性

引入極坐標

x

rcos

,y

rsin

,u

cos

,v

sin

將f(x,y)和F(u,v)轉換為

f

r,

和F

,

。將它們帶入傅里葉變換對得到

f

r,

0

F

,

0

f(x,y)旋轉角度

0，F(xiàn)(u,v)也將轉過相同的角度

F(u,v)旋轉角度

0，f(x,y)也將轉過相同的角度傅里葉變換5.周期性和共軛對稱性

盡管F(u,v)對無窮多個u和v的值重復出現(xiàn)，但只需根據(jù)在任一個周期里的N個值就可以從F(u,v)得到f(x,y)只需一個周期里的變換就可將F(u,v)在頻域里完全確定同樣的結論對f(x,y)在空域也成立

F

u,v

F

u

M,v

F

u,v

N

F

u

M,v

N

f

x,

y

f

x

M,

y

f

x,

y

N

f

x

M,

y

N

上述公式表明傅里葉變換F

u,v

F

u,

v

5.

周期性和共軛對稱性

如果f(x,y)是實函數(shù)，則它的傅里葉變換具有共軛對稱性

F

u,v

F

u,

v

其中，F(xiàn)*(u,v)為F(u,v)的復共軛。復習：當兩個復數(shù)實部相等,虛部互為相反數(shù)時,這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù).傅里葉變換

對于一維變換F(u)，周期性是指F(u)的周期長度為M，對稱性是指頻譜關于原點對稱周期性和共軛對稱性舉例

半周期的傅里葉頻譜一幅二維圖像的傅里葉頻譜全周期的傅里葉頻譜

中心化的傅里葉頻譜f

x,

y

e

j2

vy/

N

x

0

y

01

M

1

j2

ux/M

1

N

1F

x,v

x

0e6.

F(x,v)是沿著f(x,y)的一行所進行的傅里葉變換。當x=0,1,…,M-1，沿著f(x,y)的所有行計算傅里葉變換。分離性

F

u,v

eM

N

1

M

1

j2

ux/M

M傅里葉變換6.分離性——二維傅里葉變換的全過程

先通過沿輸入圖像的每一行計算一維變換再沿中間結果的每一列計算一維變換可以改變上述順序，即先列后行上述相似的過程也可以計算二維傅里葉反變換傅里葉變換

f

x,

y

f

x,

y

f

x,

y

7.平均值

由二維傅里葉變換的定義而M

1N

1

x

0

y

0

1MNF

u,v

f

x,

y

e

j2

ux/M

vy/

N

M

1N

1

x

0

y

0

1MN所以

F

0,0

M

1N

1

x

0

y

0

1MN傅里葉變換f

x,

y

F

0,0

7.平均值

所以

上式說明：如果f(x,y)是一幅圖像，在原點的傅里葉變換即等于圖像的平均灰度級傅里葉變換

f

m,n

h

x

m,

y

n

8.

卷積理論大小為M×N的兩個函數(shù)f(x,y)和h(x,y)的離散卷積

1

M

1N

1MN

m

0

n

0f

x,

y

h

x,

y

卷積定理

f

x,y

h

x,y

F

u,v

H

u,v

f

x,y

h

x,y

F

u,v

H

u,v

傅里葉變換

f

m,n

h

x

m,

y

n

f

x,y

h

x,y

F

u,v

H

u,v

9.

相關性理論大小為M×N的兩個函數(shù)f(x,y)和h(x,y)的相關f*表示f的復共軛。對于實函數(shù)，

f*＝f相關定理

1

M

1N

1

*MN

m

0

n

0性定義為

f

x,

y

h

x,

y

f

x,y

h

x,y

F*

u,v

H

u,v

*傅里葉變換f

x,y

f

x,y

F

u,v

R

u,v

I

u,v

f

x,y

F

u,v

F

u,v

自相關理論

2

2