2024屆一輪復(fù)習(xí)人教A版 第3章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第2節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第1課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 課件（57張）

第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用考試要求：1．結(jié)合實(shí)例，借助幾何直觀了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．2．能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次)．3．會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值．4．會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值．第1課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性必備知識(shí)·回顧教材重“四基”01一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系條件恒有結(jié)論函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上可導(dǎo)f′(x)>0y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上_________f′(x)<0y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上_________f′(x)＝0y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上是_________單調(diào)遞增單調(diào)遞減常數(shù)函數(shù)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增，則f′(x)≥0，所以“f′(x)≥0在區(qū)間(a，b)上成立”是“y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增”的充分不必要條件．34512二、基本技能·思想·活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)1．判斷下列說法的正誤，對(duì)的畫“√”，錯(cuò)的畫“×”．(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增，那么一定有f′(x)>0. (

)(2)如果函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)＝0，那么f(x)在此區(qū)間內(nèi)不具有單調(diào)性． (

)(3)若在區(qū)間(a，b)內(nèi)f′(x)≤0且f′(x)＝0的根為有限個(gè)，則f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞減． (

)×√√

34512

34512

345125．函數(shù)f(x)＝x3＋ax2－ax在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________．[－3，0]

解析：f′(x)＝3x2＋2ax－a≥0在R上恒成立，即4a2＋12a≤0，解得－3≤a≤0，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[－3，0].34512關(guān)鍵能力·研析考點(diǎn)強(qiáng)“四翼”考點(diǎn)1求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間——基礎(chǔ)性02考點(diǎn)2討論函數(shù)的單調(diào)性——綜合性考點(diǎn)3函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用——應(yīng)用性

考點(diǎn)1求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間——基礎(chǔ)性2．函數(shù)f(x)＝x·ex－ex+1的單調(diào)遞增區(qū)間是(

)A．(－∞，e)

B．(1，e)C．(e，＋∞) D．(e－1，＋∞)D

解析：由f(x)＝x·ex－ex+1，得f′(x)＝(x＋1－e)·ex.令f′(x)>0，解得x>e－1，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(e－1，＋∞)．

解答T1要注意，求單調(diào)區(qū)間的前提是求定義域；T3是新定義問題，理解定義是關(guān)鍵，根據(jù)定義，“快增區(qū)間”即函數(shù)y＝f(x)的增區(qū)間與函數(shù)y＝f′(x)的增區(qū)間的交集．

考點(diǎn)2討論函數(shù)的單調(diào)性——綜合性

例1

(2021·全國(guó)乙卷)已知函數(shù)f(x)＝x3－x2＋ax＋1.(2)求曲線y＝f(x)過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線y＝f(x)的公共點(diǎn)的坐標(biāo)．

與y＝f(x)＝x3－x2＋ax＋1聯(lián)立，得x3－x2＋ax＋1＝(a＋1)x，化簡(jiǎn)得x3－x2－x＋1＝0.由于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)1必然是該方程的一個(gè)根，所以(x－1)是x3－x2－x＋1的一個(gè)因式，所以該方程可以分解因式為(x－1)(x2－1)＝0，解得x1＝1，x2＝－1，f(－1)＝－1－a.綜上，曲線y＝f(x)過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線y＝f(x)的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，a＋1)和(－1，－1－a)．

1．研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論．2．劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要在函數(shù)定義域內(nèi)討論，還要確定導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和函數(shù)的間斷點(diǎn)．1．討論函數(shù)g(x)＝(x－a－1)ex－(x－a)2的單調(diào)性．解：g(x)的定義域?yàn)镽，g′(x)＝(x－a)ex－2(x－a)＝(x－a)(ex－2)．令g′(x)＝0，得x＝a或x＝ln2.①當(dāng)a>ln2時(shí)，x∈(－∞，ln2)∪(a，＋∞)時(shí)，g′(x)>0，x∈(ln2，a)時(shí)，g′(x)<0；②當(dāng)a＝ln2時(shí)，g′(x)≥0恒成立，所以g(x)在R上單調(diào)遞增；③當(dāng)a<ln2時(shí)，x∈(－∞，a)∪(ln2，＋∞)時(shí)，g′(x)>0，x∈(a，ln2)時(shí)，g′(x)<0.綜上，當(dāng)a>ln2時(shí)，g(x)在(－∞，ln2)，(a，＋∞)上單調(diào)遞增，在(ln2，a)上單調(diào)遞減；當(dāng)a＝ln2時(shí)，g(x)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)a<ln2時(shí)，g(x)在(－∞，a)，(ln2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(a，ln2)上單調(diào)遞減．

考向1利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式例2已知f′(x)是定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f′(x)＞f(x)－1，且有f(1)＝2，則不等式f(x)－1＞ex-1的解集為_________．考點(diǎn)3函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用——應(yīng)用性

解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式，要充分挖掘條件關(guān)系，恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù)．題目中若存在f(x)與f′(x)的不等關(guān)系時(shí)，常結(jié)合這種關(guān)系的特點(diǎn)構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性求解不等式．

利用導(dǎo)數(shù)比較大小，其關(guān)鍵在于利用題目條件構(gòu)造輔助函數(shù)，把比較大小問題轉(zhuǎn)化為先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而由單調(diào)性比較大?。?/p>

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的解題策略(1)已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，應(yīng)用條件f′(x)≥0或f′(x)≤0，x∈(a，b)恒成立，解出參數(shù)．應(yīng)注意此時(shí)式子中的等號(hào)不能省略，否則容易漏解．(2)如果能分離參數(shù)，則盡可能分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題．(3)若函數(shù)在區(qū)間(a，b)上不單調(diào)，則轉(zhuǎn)化為f′(x)＝0在(a，b)上有異號(hào)解．

03一題N解·深化綜合提“素養(yǎng)”若函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋1在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[四字程序]讀想算思求實(shí)數(shù)a的取值范圍1．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法．2．從什么角度列不等式求取值范圍1．求f′(x)．2．解不等式f′(x)≤0轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合讀想算思f(x)在[1，2]上單調(diào)遞減由函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增(減)可知f′(x)≥0(f′(x)≤0)在區(qū)間[a，b]上恒成立，列出不等式f′(x)＝3x2－2ax

＝x(3x－2a)1．函數(shù)最值．2．不等式恒成立．3．一元二次不等式、一元二次方程和二次函數(shù)之間的關(guān)系

1．本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，解法較多，基本解題策略是轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，即“若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增，則f′(x)≥0對(duì)x∈D恒成立；若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減，則f′(x)≤0對(duì)x∈D恒成立”或利用集合間的包含關(guān)系處理：若y＝f(x)在區(qū)間D上單調(diào)，則區(qū)間D是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集．2．基于課程標(biāo)準(zhǔn)，解答本題一般需要運(yùn)算求解能力、推理論證能力．本題的解答體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．3．基于高考數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)體系，本題利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，將所求問題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)模型，解題過程需要知識(shí)之間的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了綜合性．

2．已知函數(shù)f(x)＝x3－kx在(－3，1)上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_________．(0，27)

解析：(方法一：間接法)若f(x)＝x3－kx在(－3，1)上是單調(diào)遞增函