中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)滿分突破（全國通用）：專題34 銳角三角函數(shù)（原卷版）

專題34銳角三角函數(shù)【考查題型】【知識要點(diǎn)】知識點(diǎn)一銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)：如下圖，在Rt△ABC中，∠C為直角，則∠A的銳角三角函數(shù)為(∠A可換成∠B)定義表達(dá)式取值范圍關(guān)系正弦(∠A為銳角)余弦(∠A為銳角)正切(∠A為銳角)(倒數(shù))余切(選)(∠A為銳角)【正弦和余弦注意事項(xiàng)】1)sinA、cosA是在直角三角形中定義的，∠A是銳角(注意數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造直角三角形)。2)sinA、cosA是一個比值（數(shù)值，無單位）。3)sinA、cosA的大小只與∠A的大小有關(guān)，而與直角三角形的邊長無關(guān)?！?°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函數(shù)值】三角函數(shù)30°45°60°1銳角三角函數(shù)的關(guān)系：1）sinA=cos（90°-A）,即一個銳角的正弦值等于它余角的余弦值。cosA=sin（90°-A）,即一個銳角的余弦值等于它余角的正切值。3)tanA=cot(90°-A),即一個銳角的正切值等于它余角的余切值。4)cotA=tan(90°-A),即一個銳角的余切值等于它余角的正切值。正弦、余弦的增減性：當(dāng)0°≤≤90°時，sinα隨α的增大而增大，cosα隨α的增大而減小。正切的增減性：當(dāng)0°<<90°時，tanα隨α的增大而增大，cot隨的增大而減小。知識點(diǎn)二解直角三角形一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個元素，即三條邊和兩個銳角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形．直角三角形五元素之間的關(guān)系：1)勾股定理（a22)∠A+∠B=90°3)sinA=∠A所對的邊斜邊=4)cosA=∠A所鄰的邊斜邊5)tanA=∠A所對的邊鄰邊=與解直角三角形有關(guān)的實(shí)際問題：1）仰角：視線在水平線上方的角2）俯角：視線在水平線下方的角坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。坡度一般寫成的形式，如i=1:3等。把坡面與水平面的夾角記作(叫做坡角)，那么。4)從某點(diǎn)的指北方向按順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角，叫做方位角。如圖，AP的方向角分別是：45°PB的方向角分別是：135°PC的方向角分別是：225°5)指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如圖,OA的方向角分別是：北偏東30°（東北方向）OB的方向角分別是：南偏東45°（東南方向）OC的方向角分別是：南偏西60°（西南方向）OD的方向角分別是：北偏西60°（西北方向）考查題型一正弦典例1．（2022·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）如圖是長春市人民大街下穿隧道工程施工現(xiàn)場的一臺起重機(jī)的示意圖，該起重機(jī)的變幅索頂端記為點(diǎn)A，變幅索的底端記為點(diǎn)B，垂直地面，垂足為點(diǎn)D，，垂足為點(diǎn)C．設(shè)，下列關(guān)系式正確的是（

）A． B． C． D．變式1-1．（2022·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）如圖，、分別與相切于點(diǎn)、，連接并延長與交于點(diǎn)、，若，，則的值為（

）A． B． C． D．變式1-2．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)、、都在網(wǎng)格線上，且都是小正方形邊的中點(diǎn)，則_________．變式1-3．（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）在中，，分別為的對邊，若，則的值為__________．變式1-4．（2022·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，平分．若，，則______．變式1-5．（2022·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知四邊形ABCD為矩形，，點(diǎn)E在BC上，，將△ABC沿AC翻折到△AFC，連接EF．(1)求EF的長；(2)求sin∠CEF的值．變式1-6．（2022·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考中考真題）知識再現(xiàn)：如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c．∵，∴，∴(1)拓展探究：如圖2，在銳角ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c．請?zhí)骄?，，之間的關(guān)系，并寫出探究過程．(2)解決問題：如圖3，為測量點(diǎn)A到河對岸點(diǎn)B的距離，選取與點(diǎn)A在河岸同一側(cè)的點(diǎn)C，測得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．請用拓展探究中的結(jié)論，求點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離．考查題型二余弦典例2．（2022·云南·中考真題）如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是OO的弦，AB?CD．垂足為E．若AB=26，CD=24，則∠OCE的余弦值為（

）A． B． C． D．變式2-1．（2022·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形方格紙中，每個小正方形的邊長都相等，A、B、C、D都在格點(diǎn)處，AB與CD相交于點(diǎn)P，則cos∠APC的值為（）A． B． C． D．變式2-2．（2022·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）如圖，由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點(diǎn)，，都在格點(diǎn)上，以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，，則的值為（

）A． B． C． D．變式2-3．（2022·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)A，B，O在格點(diǎn)上，則cos∠ACB的值是________．變式2-4．（2022·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=，則cosA=________．變式2-5．（2022·廣西桂林·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是圓上的一點(diǎn)，CD⊥AD于點(diǎn)D，AD交⊙O于點(diǎn)F，連接AC，若AC平分∠DAB，過點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G交AC于點(diǎn)H．(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)延長AB和DC交于點(diǎn)E，若AE＝4BE，求cos∠DAB的值；(3)在（2）的條件下，求的值．變式2-6．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知為的直徑，點(diǎn)為外一點(diǎn)，，連接，是的垂直平分線，交于點(diǎn)，垂足為點(diǎn)，連接、，且．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的值．考查題型三正切典例3．（2022·遼寧沈陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，一條河兩岸互相平行，為測得此河的寬度PT（PT與河岸PQ垂直），測P、Q兩點(diǎn)距離為m米，，則河寬PT的長度是（

）A． B． C． D．變式3-1．（2022·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）中國古代數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注解時，用4個全等的直角三角形拼成正方形（如圖），并用它證明了勾股定理，這個圖被稱為“弦圖”．若“弦圖”中小正方形面積與每個直角三角形面積均為1，為直角三角形中的一個銳角，則（

）A．2 B． C． D．變式3-2．（2022·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖所示的衣架可以近似看成一個等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，則高AD約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm變式3-3．（2022·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上，點(diǎn)C在OB上，，連接AC，過點(diǎn)O作交AC的延長線于P．若，則的值是（

）A． B． C． D．3變式3-4．（2022·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）如圖，有甲乙兩座建筑物，從甲建筑物點(diǎn)處測得乙建筑物點(diǎn)的俯角為，點(diǎn)的俯角為，為兩座建筑物的水平距離．已知乙建筑物的高度為，則甲建筑物的高度為________．（，，，結(jié)果保留整數(shù)）．變式3-5．（2022·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）如圖，CD是平面鏡，光線從A點(diǎn)出發(fā)經(jīng)CD上點(diǎn)O反射后照射到B點(diǎn)，若入射角為α，反射角為β（反射角等于入射角），AC⊥CD于點(diǎn)C，BD⊥CD于點(diǎn)D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，則tanα的值為_______．變式3-6．（2022·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若CD＝a，tan∠CBD＝，則AD的長是___________．變式3-7．（2022·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，O是的中點(diǎn)，的延長線交線段于點(diǎn)G，連結(jié)，，．(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)當(dāng)，時，求的長．變式3-8．（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，某學(xué)習(xí)小組在教學(xué)樓的頂部觀測信號塔底部的俯角為30°，信號塔頂部的仰角為45°．已知教學(xué)樓的高度為20m，求信號塔的高度（計(jì)算結(jié)果保冒根號）．考查題型四與特殊角三角函數(shù)值有關(guān)的計(jì)算題典例4．（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：4°．變式4-1．（2022·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：．變式4-2．（2022·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）先化簡，再求值：，其中變式4-3．（2022·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）（1）計(jì)算：；（2）先化簡，再求值：，其中．考查題型五解直角三角形典例5．（2022·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知△ABC內(nèi)接于半徑為1的⊙O，∠BAC=θ（θ是銳角），則△ABC的面積的最大值為（

）A． B．C． D．變式5-1．（2022·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AM上，EF⊥AC于點(diǎn)F，連接CM，CE．已知∠A=50°，∠ACE=30°．(1)求證：CE=CM．(2)若AB=4，求線段FC的長．變式5-2．（2022·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）問題背景：一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動課上，小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的一個結(jié)論．如圖1，已知AD是△ABC的角平分線，可證＝．小慧的證明思路是：如圖2，過點(diǎn)C作CE∥AB，交AD的延長線于點(diǎn)E，構(gòu)造相似三角形來證明＝．(1)嘗試證明：請參照小慧提供的思路，利用圖2證明＝；(2)應(yīng)用拓展：如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是邊BC上一點(diǎn)．連接AD，將△ACD沿AD所在直線折疊，點(diǎn)C恰好落在邊AB上的E點(diǎn)處．①若AC＝1，AB＝2，求DE的長；②若BC＝m，∠AED＝，求DE的長（用含m，的式子表示）．變式5-3．（2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，以AB為直徑作交AC、BC于點(diǎn)D、E，且D是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作于點(diǎn)G，交BA的延長線于點(diǎn)H．(1)求證：直線HG是的切線；(2)若，求CG的長．變式5-4．（2022·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，以為直徑作⊙，交邊于點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，使，連接，作射線交邊于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，求及的長．變式5-5．（2022·湖南·統(tǒng)考中考真題）閱讀下列材料：在中，、、所對的邊分別為、、，求證：．證明：如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則：在中，CD=asinB在中，根據(jù)上面的材料解決下列問題：(1)如圖2，在中，、、所對的邊分別為、、，求證：；(2)為了辦好湖南省首屆旅游發(fā)展大會，張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境．如圖3，規(guī)劃中的一片三角形區(qū)域需美化，已知，，米，求這片區(qū)域的面積．（結(jié)果保留根號．參考數(shù)據(jù)：，考查題型六與解直角三角形有關(guān)的計(jì)算題典例6．（2022·廣西·統(tǒng)考中考真題）如圖，某博物館大廳電梯的截面圖中，AB的長為12米，AB與AC的夾角為，則高BC是（

）A．米 B．米 C．米 D．米變式6-1．（2022·廣西貴港·中考真題）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組測量一棵樹的高度，在點(diǎn)A處測得樹頂C的仰角為，在點(diǎn)B處測得樹頂C的仰角為，且A，B，D三點(diǎn)在同一直線上，若，則這棵樹的高度是（

）A． B． C． D．變式6-2．（2022·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）一配電房示意圖如圖所示，它是一個軸對稱圖形，已知，，則房頂A離地面的高度為（

）A． B．C． D．變式6-3．（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）數(shù)學(xué)活動小組到某廣場測量標(biāo)志性建筑AB的高度．如圖，他們在地面上C點(diǎn)測得最高點(diǎn)A的仰角為22°，再向前70m至D點(diǎn)，又測得最高點(diǎn)A的仰角為58°，點(diǎn)C，D，B在同一直線上，則該建筑物AB的高度約為（

）（精確到1m．參考數(shù)據(jù)：，，，）A．28m B．34m C．37m D．46m變式6-4．（2022·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，坡角為α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大樹AB，當(dāng)太陽光線與水平線成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的樹影BC長為m，則大樹AB的高為（

）A． B． C． D．變式6-5（2022·廣西玉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，從熱氣球A看一棟樓底部C的俯角是(

)A． B． C． D．變式6-6．（2022·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，某一時刻太陽光從窗戶射入房間內(nèi)，與地面的夾角，已知窗戶的高度，窗臺的高度，窗外水平遮陽篷的寬，則的長度為______（結(jié)果精確到）．變式6-7．（2022·湖南衡陽·統(tǒng)考中考真題）回雁峰座落于衡陽雁峰公園，為衡山七十二峰之首．王安石曾賦詩聯(lián)“萬里衡陽雁，尋常到此回”．峰前開辟的雁峰廣場中心建有大雁雕塑，為衡陽市城徽．某課外實(shí)踐小組為測量大雁雕塑的高度，利用測角儀及皮尺測得以下數(shù)據(jù)：如圖，，，．已知測角儀的高度為，則大雁雕塑的高度約為_________．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：）變式6-8．（2022·廣西柳州·統(tǒng)考中考真題）如圖，某水庫堤壩橫斷面迎水坡的坡角為α，sinα＝，堤壩高BC＝30m，則迎水坡面AB的長度為____m．變式6-9．（2022·貴州黔西·統(tǒng)考中考真題）如圖，我海軍艦艇在某海域C島附近巡航，計(jì)劃從A島向北偏東80°方向的B島直線行駛．測得C島在A島的北偏東50°方向，在B島的北偏西40°方向．A，B之間的距離為80nmile，則C島到航線AB的最短距離是_____nmile．（參考數(shù)據(jù)：，）變式6-10．（2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）某校數(shù)學(xué)興趣小組開展無人機(jī)測旗桿的活動：已知無人機(jī)的飛行高度為30m，當(dāng)無人機(jī)飛行至A處時，觀測旗桿頂部的俯角為30°，繼續(xù)飛行20m到達(dá)B處，測得旗桿頂部的俯角為60°，則旗桿的高度約為________m．（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果按四舍五八保留一位小數(shù)）變式6-11．（2022·天津·統(tǒng)考中考真題）如圖，某座山的項(xiàng)部有一座通訊塔，且點(diǎn)A，B，C在同一條直線上，從地面P處測得塔頂C的仰角為，測得塔底B的仰角為．已知通訊塔的高度為，求這座山的高度（結(jié)果取整數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：．變式6-12．（2022·河北·統(tǒng)考中考真題）如圖，某水渠的橫斷面是以AB為直徑的半圓O，其中水面截線．嘉琪在A處測得垂直站立于B處的爸爸頭頂C的仰角為14°，點(diǎn)M的俯角為7°．已知爸爸的身高為1.7m．(1)求∠C的大小及AB的長；(2)請?jiān)趫D中畫出線段DH，用其長度表示最大水深（不說理由），并求最大水深約為多少米（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．（參考數(shù)據(jù)：取4，取4.1）變式6-13．（2022·海南·統(tǒng)考中考真題）無人機(jī)在實(shí)際生活中應(yīng)用廣泛．如圖8所示，小明利用無人機(jī)測量大樓的高度，無人機(jī)在空中P處，測得樓樓頂D處的俯角為，測得樓樓頂A處的俯角為．已知樓和樓之間的距離為100米，樓的高度為10米，從樓的A處測得樓的D處的仰角為（點(diǎn)A、B、C、D、P在同一平面內(nèi)）．(1)填空：___________度，___________度；(2)求樓的高度（結(jié)果保留根號）；(3)求此時無人機(jī)距離地面的高度．變式6-14．（2022·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）小華將一張紙對折后做成的紙飛機(jī)如圖1，紙飛機(jī)機(jī)尾的橫截面是一個軸對稱圖形，其示意圖如圖2．已知，，，，．（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：，，，，，）(1)連結(jié)，求線段的長．(2)求點(diǎn)A，B之間的距離．變式6-15．（2022·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）每年的11月9日是我國的“全國消防安全教育宣傳日”，為了提升全民防災(zāi)減災(zāi)意識，某消防大隊(duì)進(jìn)行了消防演習(xí)．如圖1，架在消防車上的云梯AB可伸縮（最長可伸至20m），且可繞點(diǎn)B轉(zhuǎn)動，其底部B離地面的距離BC為2m，當(dāng)云梯頂端A在建筑物EF所在直線上時，底部B到EF的距離BD為9m．(1)若∠ABD=53°，求此時云梯AB的長．(2)如圖2，若在建筑物底部E的正上方19m處突發(fā)險情，請問在該消防車不移動位置的前提下，云梯能否伸到險情處？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）變式6-16．（2022·河南·統(tǒng)考中考真題）為弘揚(yáng)民族傳統(tǒng)體育文化，某校將傳統(tǒng)游戲“滾鐵環(huán)”列入了校運(yùn)動會的比賽項(xiàng)目．滾鐵環(huán)器材由鐵環(huán)和推桿組成．小明對滾鐵環(huán)的啟動階段進(jìn)行了研究，如圖，滾鐵環(huán)時，鐵環(huán)⊙O與水平地面相切于點(diǎn)C，推桿AB與鉛垂線AD的夾角為∠BAD，點(diǎn)O，A，B，C，D在同一