2021高中數(shù)學第一章 課時作業(yè)北師大版必修2

課時作業(yè)1簡單幾何體

|基礎鞏固1（25分鐘，60分）

一、選擇題（每小題5分，共25分）

1?下面的幾何體中是棱柱的有（

A?3個B.4個

C?5個D.6個

解析：棱柱有三個特征：（1）有兩個面相互平行；（2）其余各面是四邊形；（3）側棱相互

平行.本題所給幾何體中⑥⑦不符合棱柱的三個特征，而①②③④⑤符合，故選C.

答案:c

2?下面圖形中，為棱錐的是（）

①

A?①③B.①③④

C?①②④D.①②

解析：根據(jù)棱錐的定義和結構特征可以判斷，①②是棱錐，③不是棱錐，④是棱錐.故

選C.

答案：c

3-下列圖形中，是棱臺的是（

A

解析：由棱臺的定義知，A、D的側棱延長線不交于一點，所以不是棱臺；B中兩個

面不平行，不是棱臺，只有C符合棱臺的定義，故選C.

答案：C

4■給出下列說法：①以直角三角形的一邊所在直線為旋轉軸，旋轉一周而得的旋轉

體是圓錐；②以直角梯形的一邊所在直線為旋轉軸，旋轉一周而得的旋轉體是圓臺；③圓錐、

圓臺的底面都是圓面；④分別以矩形長和寬（長和寬不相等）所在直線為旋轉軸，旋轉一周而

得的兩個圓柱是兩個不同的圓柱.其中正確說法的個數(shù)是（）

A?IB.2

C-3D.4

解析：以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸，旋轉一周所得的旋轉體才是圓

錐，若以斜邊所在直線為旋轉軸，旋轉一周所得的旋轉體是由兩個圓錐組成的組合體，故①

錯誤；以直角梯形中垂直于底邊的腰所在直線為旋轉軸，旋轉一周而得的旋轉體是圓臺，以

其他的邊所在直線為旋轉軸，旋轉一周而得的旋轉體不是圓臺，②錯誤；③④是正確的.

答案：B

5?一個正方體內有一個內切球，作正方體的對角面，所得截面圖形是下圖中的（）

二

解析：由組合體的結構特征知，球只與正方體的上、下底面相切，而與兩側棱相離.故

正確答案為B.

答案：B

二、填空題（每小題5分，共15分）

6-以等腰梯形的對稱軸為軸旋轉一周，所形成的旋轉體是.

解析：等腰梯形的對稱軸為兩底中點的連線，此線把等腰梯形分成兩個全等的直角梯

形，旋轉后形成圓臺.

答案：圓臺

7?已知正四棱錐V-ABCD＞底面面積為16，一條側棱長為2皿，則它的斜高為

解析：由S底=16,知底面邊長為4,又側棱長為2/，故斜高力'=^/（2VTT）2-22=

2-Vib.

答案：2回

8?下列說法正確的有.

①有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.

②正棱錐的側面是等邊三角形.

③底面是等邊三角形，側面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐.

解析：

①不正確.棱錐的定義是：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角

形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.而“其余各面都是三角形”并不等價于“其余各面

都是有一個公共頂點的三角形”，故此說法是錯誤的.如圖所示的幾何體滿足此說法，但它

不是棱錐，理由是△4OE和△BC/無公共頂點.

②錯誤.正棱錐的側面都是等腰三角形，不一定是等邊三角形.

③錯誤.由已知條件知，此三棱錐的三個側面未必全等，所以不一定是正三棱錐.如

圖所示的三棱錐中有AB=AD=BD=BC=CD.滿足底面△BCD為等邊三角形.三個側面

△ABD,△ABC,△AC。都是等腰三角形，但AC長度不一定，三個側面不一定全等.

答案：0

三、解答題（每小題10分，共20分）

9?一個有30。角的直角三角板繞其各條邊所在直線旋轉一周所得幾何體是圓錐嗎？如

果以斜邊上的高所在的直線為軸旋轉180。得到什么圖形？

解析：圖（1）、（2）旋轉一周得到的幾何體是圓錐；

圖（3）旋轉一周所得幾何體是兩個圓錐拼接而成的幾何體.

圖（4）旋轉180。是兩個半圓錐的組合體.

10.

D：

A

如圖所示為長方體ABC。一A'B'CD'，當用平面BCFE把這個長方體分成兩部

分后，各部分形成的多面體還是棱柱嗎？如果不是，請說明理由；如果是，指出底面及側棱.

解析：截面BCFE上方部分是棱柱88'E-CCF,其中平面BB'E和平面CC'F

是其底面，BC,B'C,E尸是其側棱.截面BC尸E下方部分是棱柱A8EA'-DCFD',

其中平面ABEA'和平面。CF。'是其底面，AD,BC,EF,A'D'是其側棱.

I能力提升1（20分鐘，40分）

11.有下列命題：

①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；

②圓錐頂點與底面圓周上任意一點的連線是圓錐的母線；

③在圓臺上、下底面圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線：

④圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的.

其中正確的是（）

A?①②B.②③

C?①③D.②④

解析：對于①③兩點的連線不一定在圓柱、圓臺的曲面上，當然有可能不是母線了，

②④由母線的定義知正確.

答案：D

12?如圖，這是一個正方體的表面展開圖，若把它再折回成正方體后，有下列命題:

①點”與點C重合；

②點。與點M與點R重合；

③點B與點Q重合；

④點A與點S重合.

其不正確器題的序號是.（注：把你認為正確的命題的序號都填上）

解析：還原成正方體考慮.

答案：②④

13.

如圖所示是一個三棱臺ABC-A'B'C，試用兩個平面把這個三棱臺分成三部分，

使每一部分都是一個三棱錐.

解析：過A',B,C三點作一個平面，再過A',B,C'作一個平面，就把三棱臺

ABC-A'B'C分成三部分，形成的三個三棱錐分別是4'-ABC,B-A'B'C',A'

一BCC'.（答案不唯一）

14.

如圖所示的直角梯形ABC。，AB，BC，繞著C。所在直線/旋轉一周形成一個幾何體，

試說明該幾何體的結構特征.

解析：如圖所示，過A,8分別作AOi，/,B02_U,垂足分別為。|,。2,

則RtZXCQB繞/旋轉一周所形成的幾何體是圓錐，直角梯形0/B02繞/旋轉一周所

形成的幾何體是圓臺，RtZSCOiA繞/旋轉一周所形成的幾何體是圓錐.

綜上，可知所求幾何體下面是一個圓錐，上面是一個圓臺挖去了一個以圓臺上底面為

底面的圓錐.

課時作業(yè)2直觀圖

|基礎鞏固1（25分鐘，60分）

一、選擇題（每小題5分，共25分）

1?關于直觀圖畫法的說法中，不正確的是（）

A-原圖形中平行于x軸的線段，其對應線段仍平行于』軸，其長度不變

B?原圖形中平行于），軸的線段，其對應線段仍平行于y'軸，其長度不變

C?畫與坐標系xOy對應的坐標系『O'y'時，//O'y'可畫成135°

D?作直觀圖時，由于選軸不同，所畫直觀圖可能不同

解析：根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則可知B不正確.

答案：B

2?用斜二測畫法得到的一個水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個正方形，

則原來的圖形是（）

T

ABCD

解析：直觀圖中的多邊形為正方形，對角線的長為小，所以原圖形為平行四邊形，位

于y軸上的對角線的長為2吸.

答案：A

3?（2017,太原高一期末）如圖所示的用斜二測法畫的直觀圖，其平面圖形的面積為

A.3B呼

C-6D.3啦

解析：該直觀圖的原圖為直角三角形，兩條直角邊分別為4和3,所以平面圖形的面

不只為gx3X4=6.

答案：C

4?已知一條邊在x軸上的正方形的直觀圖是一個平行四邊形，此平行四邊形中有一

邊長為4，則原正方形的面積是（）

A-16B.64

C76或64D.以上都不對

解析：根據(jù)直觀圖的畫法，平行于x軸的線段長度不變，平行于y軸的線段變?yōu)樵瓉?/p>

的一半，于是直觀圖中長為4的邊如果平行于N軸，則正方形的邊長為4,面積為16;長

為4的邊如果平行于<軸，則正方形的邊長為8,面積為64.

答案：C

5?若用斜二測畫法把一個高為10cm的圓柱的底面畫在『O'y1平面上，則該圓柱

的高應畫成（）

A-平行于z'軸且長度為10cm

B-平行于z'軸且長度為5cm

C?與z'軸成45。且長度為10cm

D?與z'軸成45。且長度為5cm

解析：平行于z軸的線段，在直觀圖中平行性和長度都不變，故選A.

答案：A

二、填空題（每小題5分，共15分）

6?已知正三角形ABC的邊長為2，那么aABC的直觀圖△4'B'C的面積為

解析：如圖，圖①，圖②所示的分別是實際圖形和直觀圖.

從圖②可知，A'B'=AB=2,

O'c=goc=坐，

C'D'=0'C'sin450=坐x^=乎.

所以SAA，gcr=/A'B'-C'D'=2X2X

答案：乎

7?一個水平放置的平面圖形的直觀圖是直角梯形ABCD，如圖所示，ZABC=45°，

AB=AD=]-DCIBC-則這個平面圖形的面積為.

解析：由直觀圖，可知原圖形為直角梯形，且上底為1,下底為半+1,高為2,故面

積為1(1+乎+1卜2=2+乎.

8?一條邊在x軸上的正方形的面積是4，按斜二測畫法所得的直觀圖是一個平行四邊

形，則這個平行四邊形的面積是.

解析：正方形的面積為4,則邊長為2,由斜二測畫法的規(guī)則，知平行四邊形的底為2,

高為坐，故面積為小.

答案：小

三、解答題(每小題10分，共20分)

9?將圖中所給水平放置的直觀圖繪出原形.

/'

/----|小

解析:

10?畫棱長為2cm的正方體的直觀圖.

解析：(1)作水平放置的正方形的直觀圖ABCD,使/氏4。=45。，AB=2cm,A￡>=1cm.

(2)過點A作z'軸，使NBAz'=90°,分別過點A,B,C,D,沿z'軸的正方向取

AA\=BB\=CC\=DD\=2cm.

(3)連接AS,BiCi,CiDi,Q14如下圖①，擦去輔助線，把被遮住的線改為虛線，

得到的圖形如下圖②就是所求的正方體的直觀圖.

I能力提升1（20分鐘，40分）

11.如圖所示是水平放置三角形的直觀圖，點。是△ABC的BC邊中點，A3,BC分

別與y'軸、/軸平行，則三條線段A8，AQ，AC中（）

A?最長的是AB，最短的是AC

B?最長的是AC，最短的是48

C?最長的是AB，最短的是AD

D?最長的是AC，最短的是A。

解析：由條件知，原平面圖形中A8J_BC,從而AB<AO<AC.

答案：B

12?如圖為△ABO水平放置的直觀圖△△'B'0'，由圖判斷△ABO中，4B，80，

BD，OD由小到大的順序是.

解析：由題圖可知，/XAB。中，。。=2,BD=4,AB=y[17,BO=2y[5.

答案：OD<BD<AB<BO

13.

用斜二測畫法畫出圖中水平放置的△。48的直觀圖.

解析：（1）在已知圖中，以。為坐標原點，以。8所在的直線及垂直于OB的直線分別

為x軸與y軸建立平面直角坐標系，過點A作AM垂直x軸于點例，如圖1.另選一平面畫直

觀圖，任取一點0',畫出相應的x'軸、y'軸，使/x'O'y'=45°.

(2)在軸上取點B',M',使O'B'=OB,O'M'=OM,過點M'作

M1A'//y'軸，取M'A'=乩4.連接O'A',B'A',如圖2.

(3)擦去輔助線，則△?'A1B'為水平放置的△OAB的直觀圖.

14?畫正六棱柱的直觀圖.

解析：畫法如下：

(1)畫軸：畫x'軸、y'軸、z'軸，使Nx'O'y'=45°,Nx'O'z'=90°;

(2)畫底面：畫正六邊形的直觀圖ABCDEF(O'為正六邊形的中心)；

(3)畫側棱：過A,B,C,D,E,F各點分別作z'軸的平行線，在這些平行線上分別

截取A4',BB',CC',DD',EE',FF',使A4'=BB'=CC'=DD'=EE'=

FF';

(4)連線成圖：連接A'B',B'C',CD',D'E',E'F',F'A',并加以

整理(去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線)，就得到正六棱柱ABCDEF-

A'B'CD'E'F',如圖所示.

課時作業(yè)3三視圖

|基礎鞏固1(25分鐘，60分)

一、選擇題(每小題5分，共25分)

1?某幾何體的正視圖和側視圖均如圖1所示，則該幾何體的俯視圖不可能是()

解析：本題是組合體的三視圖問題，由幾何體的正視圖和側視圖均如圖1所示知，原

圖下面圖為圓柱或直四棱柱，上面是圓柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，A,B,C,

都可能是該幾何體的俯視圖，D不可能是該幾何體的俯視圖，因為它的正視圖上面應為如圖

的矩形.

答案：D

2?如圖所示，甲、乙、丙是三個幾何體的三視圖，則甲、乙、丙對應的幾何體分別

為（）

①長方體；②圓錐；③三棱錐：④圓柱.

A-④③②B.①③②

C?①②③D.④②③

解析：由于甲中的俯視圖是圓，則甲對應的幾何體是旋轉體，又主視圖和左視圖均是

矩形，所以該幾何體是圓柱；易知乙對應的幾何體是三棱錐；由丙中的俯視圖，可知丙對應

的幾何體是旋轉體，又主視圖和左視圖均是三角形，所以該幾何體是圓錐.

答案:A

3?（2016?河北名師俱樂部3月模擬）某幾何體的三視圖如圖所示，記A為此幾何體所

有棱的長度構成的集合，則（）

I--4-H

正視圖

俯視圖

A-B.5SA

C-D.4小GA

解析：由三視圖可得，該幾何體的直觀圖如圖所示，其中底面是邊長為4的正方形，

AF_L平面ABC。，AF//DE,AF=2,DE=4,可求得BE的長為4小,BF的長為2小，EF

的長為2小，EC的長為4巾,故選D.

答案：D

4-如圖為某組合體的三視圖，則俯視圖中的長和寬分別為（）

**+>~H—

121

左視圖

俯視圖

A-10,4B.10,8

C-8,4D.10,5

解析：根據(jù)三視圖中的“主、俯視圖長對正，主、左視圖高平齊，俯、左視圖寬相等”，

可知俯視圖的長和主視圖的長相等，為2+6+2=10,俯視圖的寬與左視圖的寬相等，為1

+2+1=4,所以選A.

答案：A

5?（2016?東北四市聯(lián)考（二））如圖，在正方體ABCD—AIBICQI中，P是線段C￡＞的中

點,則三棱錐P-A\BXA的側視圖為（）

ABCD

解析：如圖，畫出原正方體的側視圖，顯然對于三棱錐尸一4SA,8（0點均消失了，

其余各點均在，從而其側視圖為D.

答案：D

三、填空題（每小題5分，共15分）

6?桌上放著一個半球，如圖所示￡0，則在它的三視圖及右面看到的圖形中，有三

個圖相同，這個不同的圖應該是.

解析：俯視圖為圓，主視圖與左視圖均為半圓.

答案：俯視圖

7.

C.

X--------------

如圖，已知正三棱柱ABC-A\B\C\的底面邊長為2,高為3’則其左視圖的面積為

解析：由三視圖的畫法可知，該幾何體的左視圖是一個矩形，其底面邊長為2sin60°

二小,高為3,面積S=3小.

答案：3小

8?（2016?山東安丘市高二上期末）一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是邊長

為2的正三角形，俯視圖是正方形，那么該幾何體的側視圖的面積是.

根據(jù)三視圖可知該幾何體是一個四棱錐，其底面是正方形，側棱相等，所以這是一個

正四棱錐.其側視圖與正視圖是完全一樣的正三角形.故其面積為乎義22=小.

答案：小

三、解答題（每小題10分，共20分）

9.

試畫出如圖所示的正四棱臺的三視圖.

解析：如圖.

主視圖左視圖俯視圖

10?根據(jù)圖中的三視圖想象物體原形，并畫出物體的實物草圖.

主視圖左視圖

回

俯視圖

解析：由俯視圖并結合其他兩個視圖可以看出,這個物體是由上面一個正四棱臺和下

面一個正方體組合而成的，它的實物草圖如圖所示.

I能力提升1（20分鐘，40分）

11.（2016.廣東省臺山市華僑中學高二上期末）定義：底面是正三角形，側棱與底面垂

直的三棱柱叫做正三棱柱.將正三棱柱截去一個角（如圖1所示，M，N分別是A8，8c的

中點）得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側視圖為（）

解析：N的投影是C,M的投影是AC的中點.對照各圖.選D.

答案：D

12?一個幾何體的正視圖為一個三角形，則這個幾何體可能是下列幾何體中的

（填入所有可能的幾何體前的編號）

①三棱錐；②四棱錐；③三棱柱；④四棱柱；⑤圓錐；⑥圓柱.

解析：三棱錐、四棱錐和圓錐的正視圖都是三角形，當三棱柱的一個側面平行于水平

面，底面對著觀測者時其正視圖是三角形，四棱柱、圓柱無論怎樣放置，其正視圖都不可能

是三角形.

答案：①②③⑤

13?如圖所示，是一個長方體截去一個角所得多面體的直觀圖和它的主視圖和左視圖

（單位：cm）.請在正視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖.

解析：依據(jù)三視圖的繪圖原則，可作出該幾何體的俯視圖如圖.

R-6—H

俯視圖

14?某建筑由相同的若干房間組成，該樓房的三視圖如圖所示，問:

主視圖左視圖

俯視圖

（1）該樓房有幾層？從前往后最多要經過幾個房間？

（2）最高一層的房間在什么位置？請畫出此樓房的大致形狀.

解析：（1）由主視圖和左視圖可以知道，該樓房有3層；由俯視圖知道，從前往后最多

要經過3個房間；

（2）從主視圖和左視圖可以知道，最高一層的房間在左側的最后一排的房間.樓房大致

形狀如圖所示.

課時作業(yè)4公理1、公理2、公理3及應用

|基礎鞏固1（25分鐘，60分）

一、選擇題（每小題5分，共25分）

1?點P在直線/上，而直線/在平面a內，用符號表示為（）

A-PDUaB.PG/Ga

C-PC/GaD.PG/Cct

解析：直線和平面可看作點的集合，點是基本元素.故選D.

答案：D

2?已知a、b是異面直線1直線c//直線a'那么c與仇）

A.一定是異面直線

B?一定是相交直線

C?不可能是平行直線

D?不可能是相交直線

解析：若〃〃c,,：a//c,：.a//b,這與a、。異面矛盾，其余情況均有可能.

答案：C

3?（2017?安慶市石化一中高二上期中）若直線a平行于平面a，則下列結論錯誤的是

（）

A?“平行于a內的所有直線

B-a內有無數(shù)條直線與。平行

C?直線a上的點到平面a的距離相等

D-a內存在無數(shù)條直線與a成90。角

解析：因為直線〃平行于平面a,所以a與平面a內的直線平行或異面，故A錯誤；

a內有無數(shù)條直線與a平行，故B正確；直線”上的點到平面a的距離相等，故C正確；a

內存在無數(shù)條直線與a成90。角，故D正確.故選A.

答案：A

4-一條直線與兩條異面直線中的一條相交，則它與另一條的位置關系是（）

A?異面

B?平行

C-相交

D?可能相交、平行、也可能異面

解析：一條直線與兩條異面直線中的一條相交，它與另一條的位置關系有三種：平行、

相交、異面，如下圖所示.

答案：D

5?（2015?廣東卷）若直線/i和，2是異面直線,/i在平面a內，，2在平面夕內，/是平面

a與平面￡的交線，則下列命題正確的是（）

A?/與/1，一都不相交

B-/與/|，/2都相交

C-I至多與l\'h中的一條相交

D?/至少與1\'，2中的一條相交

解析：由直線和/2是異面直線可知/1與，2不平行，故h/2中至少有一條與/相交.

答案：D

二、填空題（每小題5分，共15分）

6?設平面a與平面P相交于直線/，直線aCa>直線bu0，aCb=M，則點M與/

的位置關系為.

解析：因為a0a,b。B，所以MGa,Me//.又平面a與平面夕相交于

直線/,所以點M在直線/上，即

答案：M0

7?給出以下命題：①和一條直線都相交的兩條直線在同一平面內；②三條兩兩相交

的直線在同一平面內；③有三個不同公共點的兩個平面重合；④兩兩平行的三條直線確定三

個平面.其中正確命題的個數(shù)是.

解析：空間中和一條直線都相交的兩條直線不一定在同一平面內，故①錯；若三條直

線相交于一點時，不一定在同一平面內，如長方體一角的三條線，故②錯；若兩平面相交時，

也可有三個不同的公共點，故③錯；若三條直線兩兩平行且在同一平面內，則只有一個平面，

故④錯.

答案：0

8.

如圖，在正方體4BC￡>—A1B1GA中，M，N分別為棱GA，GC的中點，有以下四

個結論：

①直線AM與CCi是相交直線；

②直線AM與BN是平行直線；

③直線BN與MB1是異面直線；

④直線AM與DD\是異面直線.

其中正確的結論為.（注：把你認為正確的結論的序號都填上）

解析：直線AM與CG是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，所以①②錯誤.點

B,Bi,N在平面中，點M在此平面外，所以BN,是異面直線.同理AM,DDi

也是異面直線.

答案：③④

三、解答題（每小題10分，共20分）

9?完成下列各題：

（1）將下列文字語言轉換為符號語言.

①點A在平面a內，但不在平面廳內：

②直線a經過平面a外一點M；

③直線/在平面a內，又在平面￡內（即平面a和平面￡相交于直線/）.

⑵將下列符號語言轉換為圖形語言.

①“Ua>hC\a=A，A&J；

②aC￡=c，ada，bU[j>a//c，bCic—P.

解析：（口①4^^A初.

②Mea,M^a.

③aA￡=/.

⑵①

10?如圖所示，正方體ABC示一ABCQi中，M、N分別是AS、81G的中點>問:

（1）AM和CN是否是異面直線？說明理由；

（2）。山和CG是否是異面直線？說明理由.

解析：（1）不是異面直線，理由：連結MN,AiG、AC,如圖，因為M、N分別是43、

81cl的中點，所以MN〃AiG.又因為AM胡i。。，DQ穗CC,所以AN觸GC,四邊形

AiACG為平行四邊形，所以4ci〃AC,故MN〃4G〃AC,所以A、M、N、C在同一個

平面內，故AM和CN不是異面直線.

（2）是異面直線，證明如下：假設力出與CG在同一個平面CGDi內，則BC平面CC\D\,

Cd平面CGDi,所以2CU平面CG2,這顯然是不正確的，所以假設不成立，故。山與

CG是異面直線.

I能力提升1（20分鐘，40分）

11.下列說法中正確的個數(shù)是（）

①平面a與平面夕，7都相交，則這三個平面有2條或3條交線；②如果a-b是兩條

直線、aHb，那么a平行于經過h的任何一個平面；③直線a不平行于平面a，則a不平行

于a內任何一條直線；④如果a〃￡,a//a，那么a//p.

A?0個B.1個

C?2個D.3個

解析：①中，交線也可能是1條；②a也可能在過6的平面內；③中a不平行于平面

a,則。可能在平面a內，平面a內有與a平行的直線：④中，a可能在￡內.故四個命題

都是錯誤的，選A.

答案:A

12?如圖所示，G，H，M，N分別是三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，

是異面直線的圖形有(填上所有正確答案的序號).

解析：圖(1)中，魚線GH〃MN;

圖(2)中，G,H,N三點共面，但A席平面GHN,因此直線GH與異面;

圖(3)中，連接MG,HN,GM//HN,因此GH與MN共面；

圖(4)中，G,M,N共面，

但用平面GMN,因此G”與MN異面.

所以圖(2),(4)中G”與MN異面.

答案：(2)(4)

13?求證：兩兩相交且不過同一點的四條直線必在同一平面內.

證明：(1)如圖所示，設直線〃、b、c相交于點。，直線d和〃、b、c分別相交于A、

B、C三點，直線d和點。確定平面火由0￡平面a,AG平面a,。《直線〃，AG直線a,

知直線〃U平面a.同理，平面a,cU平面a,故直線4、b、c、d共面于a.

(2)如圖所示，設直線〃、b、c、d兩兩相交，且任何三線不共點，交點分別是M、N、

P、Q、R、G.

由直線知直線〃和匕確定平面a由aAc=N,bnc=Q,知點N、。都在

平面a內.

故c°a,同理可證40a.所以直線a、b、c、d共面于a.

由(1)(2)可知，兩兩相交且不過同一點的四條直線必在同一平面內.

14?如圖所示，在正方體ABCO-AIiCQi中，￡：為48的中點，尸為A4i的中點.求

證：CE，D\F，DA三線交于一點.

證明：連接EF,DiC,A山,

因為E為AB的中點，F(xiàn)為AAi的中點，

所以EF*AiB.

又因為Ad觸。C,

所以EF*DiC,

所以E,F,Dy,C四點共面，

可設DiFCCE=P.

又。iFU平面A0|D4,CEU平面ABC￡）,

所以點P為平面A\D\DA與平面ABCD的公共點.

又因為平面A1AD4rl平面48C￡>=D4,

所以據(jù)公理3可得PWD4,即CE,DiF,D4三線交于一點.

課時作業(yè)5公理4及定理

|基礎鞏固1（25分鐘，60分）

一、選擇題（每小題5分，共25分）

1-若直線a//b>b（^c=A，則”與c的位置關系是（）

A?異面B.相交

C-平行D.異面或相交

解析：a與c不可能平行，否則由a〃匕，得6〃c與6rlc=A矛盾.故選D.

答案：D

2?若/A08=/40由?，且。4〃ONi，0A與OA方向相同，則下列結論正確的是

（）

A-OB〃OiB|且方向相同

B-OB//O\B\'方向可能不同

C?。8與OiBi不平行

D?OB與O\B\不一定平行

解析：在空間中兩角相等，角的兩邊不一定平行，即定理的逆命題不一定成立.故選

D.

答案：D

3《2017?安徽宿州十三校聯(lián)考）在正方體ABC。-ABiGd的所有面對角線中，與45

成異面直線且與45成60。的有（）

A?1條B.2條

C?3條D.4條

解析：

如圖，△A8C是等邊三角形，所以每個內角都為60。，所以面對角線中，所有與8c

平行或與AC平行的直線都與ABi成60。角.所以異面的有2條.

又△4BiA也是等邊三角形，同理滿足條件的又有2條，共4條，選D.

答案：D

4?如圖，在四面體S—A8C中，Gi>G2分別是△SAB和△SAC的重心，則直線GG

與BC的位置關系是（）

A?相交B.平行

C?異面D.以上都有可能

解析：連接SGi,SG2并延長，分別與A8,AC交于點M,N,連接MN,則M,N分

別為AB,AC的中點，由重心的性質，知招=需，:.G\G2〃MN又M,N分別為A8,AC

的中點，.,.MN//BC,再由平行公理可得GIG2〃BC,故選B.

答案：B

5?如圖所示，在三棱柱ABC-AiBiCi中，441J_底面ABC，AB=8C=A4|，NABC

=90。，點E，尸分別是棱A8，的中點，則直線Er和所成的角是（）

4G

A-45°B.60°

C?90°D.120°

解析：連接AB,易知A3]〃￡￡連接囪C,BiC與BCi交于點、G,取AC的中點”，

連接G“，則6"〃48|〃后尸.設48=8。=44]=〃，連接〃8,在三角形G”8中，易知GH

=HB=GB=^a,故所求的兩直線所成的角即為NHGB=60。.

答案：B

二、填空題（每小題5分，共15分）

6■不共面的四點可以確定個平面.

解析：任何三點都可以確定一個平面，從而可以確定4個平面.

答案：4

7?用一個平面去截一個正方體，截面可能是

①三角形；②四邊形；③五邊形；④六邊形.

解析：

%—一J

0

五邊形六邊形

（注：這兒畫了其中的特例來說明有這幾種圖形）

答案：①②③④

8?如圖，在正方體ACi中，與BQ所成角的余弦值是

解析：因為所以N8BQ就是異面直線AAi與8。所成的角，連接BD

在中，設棱長為1,則81。=小.

人BB\1小

cosZBB,D-g[￡>-^-3.

所以AA\與B\D所成的角的余弦值為坐.

答案：當

三、解答題（每小題10分，共20分）

9?在三棱柱A8C-481G中，M，N，P分別為4G，4c和AB的中點.求證：NPNAi

=NBCM.

證明：因為尸，N分別為A8,AC的中點，

AIF--咚

所以PN//BC.?

又因為M,N分別為4G,AC的中點，

所以4M觸NC.

所以四邊形AiNC”為平行四邊形，

于是4N〃MC.②

由①②及/PMh與28CM對應邊方向相同，得NPNAi=/BCM.

10?在正方體ABC￡>—A13GD1中,

（1）求AC與A\D所成角的大??；

⑵若E，尸分別為AB，AD的中點，求4cl與E尸所成角的大小.

解析：（1）如圖所示，連接8C,ABi,由A8C￡>-A|BICQI是正方體,

AEB

易知4￡>〃8iC,從而81c與AC所成的角就是AC與4。所成的角.

：A2i=AC=8C,

.,.ZBiCA=60°.

即AiD與AC所成的角為60°.

（2）如圖所示，連接BC,在正方體ABCD-AiBiCQi中，

AC1.BD,AC//A\C\,

,:E,F分別為AB,AD的中點,

：.EF//BD,：.EF±AC.

：.EFLA\C\.

即4G與E尸所成的角為90°.

I能力提升1（20分鐘，40分）

11.（2017?江西師大附中月考）己知a和b是成60。角的兩條異面直線，則過空間一點

且與a、人都成60。角的直線共有（）

A?1條B.2條

C?3條D.4條

解析：把a平移至與6相交，其夾角為60。.

60。角的補角的平分線c與a、b成60。角.

過空間這一點作直線c的平行線即滿足條件.

又在60。角的“平分面”上還有兩條滿足條件，選C.

答案：C

12?（2017?江西新余一中月考）如圖所示，在空間四邊形ABC。中，E，”分別為，

AO的中點，F(xiàn)，G分別是BC-CD上的點，且於=惡=?，若BD=6cm，梯形EFGH的

CDCL/J

面積為28cm2，則平行線EH，尸G間的距離為.

2

解析：EH=3,FG=6X1=4,

設EH,FG間的距離為h,

?(EH+FG)h八e,

則S林描EFGH=5=28,仔〃=8(cm).

答案：8cm

13?在如圖所示的正方體ABC。-A181Gd中，足，尸，Ei，尸i分別是棱本8次。，SG，

GO的中點，

5

求證：⑴E尸觸EiFi；

(2)ZE4|F=ZE,CF|.

證明：⑴連接8。，BQi,

在△43。中，

因為E,尸分別為A8,4力的中點,

所以EF%BD.

同理，E\F\

在正方體ABCO-AiBCQi中，

因為4A觸8由，41A觸。Q,所以&B缺DiD.

所以四邊形BOAS是平行四邊形，所以3。觸BQi.

所以EF觸EiQ.

(2)取4Bi的中點M,連接BM,F\M.

因為觸BiCi,BiC傲BC,所以MFi修iBC.

所以四邊形BCQM是平行四邊形.所以MB〃CQ.

因為41M觸EB,所以四邊形E8M41是平行四邊形.

所以4E〃M8,所以A[E〃CQ.

同理可證：AiF〃EiC.又NEAiF與NFiCEi兩邊的方向均相反，

所以/E4F=/ECQ.

14?如圖，尸是△ABC所在平面外一點，D，E分別是△以B和△PBC的重心.求證:

DE//AC，DE=^AC.

證明：如圖，連接P￡),PE并延長分別交AB,BC于M,N.

因為。，E分別是△物B,△PBC的重心，所以M,N分別是AB,8c的中點，連接

MN,則MN//AC,且MN=/C.①

在中，因為p湍n=我PF號2，

2

版以DE"MN,且DE與MN②

由①，②，根據(jù)公理4,得：

211

DE//AC,且DE=^X^AC=2^C.

課時作業(yè)6平行關系的判定

|基礎鞏固1（25分鐘，60分）

一、選擇題（每小題5分，共25分）

1?下列命題正確的是（）

A?一條直線與一個平面平行，它就和這個平面內的任意一條直線平行

B?平行于同一個平面的兩條直線平行

C?與兩個相交平面的交線平行的直線，必平行于這兩個平面

D?平面外兩條平行直線中的一條與這個平面平行，則另一條也與這個平面平行

解析：對于A,平面內還存在直線與這條直線異面，錯誤；對于B,這兩條直線還可

以相交、異面，錯誤；對于C,這條直線還可能在其中一個平面內，錯誤.故選D.

答案：D

2?使平面a〃平面用的一個條件是（）

A?存在一條直線a,a//a,a//fi

B,存在一條直線a，a。a，a//￡

C?存在兩條平行直線a'b'a。a'b0B'a〃4，b//a

D?a內存在兩條相交直線a-再別平布:月內的兩條直線

解析：A,B,C中的條件都不一定使a〃4，反例分別為圖①②③（圖中“〃/,

D正確，因為a〃夕，b//p,又a,人相交，從而a〃夕.

答案：D

3?在正方體EFGH—EiF0Hi中，下列四對截面彼此平行的是（）

A?平面EiFGi與平面EGHi

B-平面FHG\與平面F\H\G

C?平面F\H\E與平面FHE\

D?平面EiHGi與平面EH\G

解析：根據(jù)面面平行的判定定理，可知A正確.

答案：A

4?已知A，B是直線/外的兩點，則過A，B且和/平行的平面有（）

A?0個

B?1個

C?無數(shù)個

D?以上都有可能

解析：若直線AB與/相交，則過A,8不存在與/平行的平面；若AB與/異面，則

過A,B存在1個與/平行的平面；若AB與/平行，則過A,B存在無數(shù)個與/平行的平面,

所以選D.

答案：D

5?如圖，在正方體ABC。一ABC。中，E，尸分別為棱4B，CC\的中點，則在平面

ADD\A\內且與平面OiEF平行的直線（）

AE

A?不存在B.有1條

C?有.2條D.有無數(shù)條

解析：在上取一點G,使得AG=5L4i,連接EG,DG,可證得EG〃DiF,所以

E,G,Dx,尸四點共面，所以在平面A￡）￡）i4內，平行于￡>iG的直線均平行于平面OiEF,

這樣的直線有無數(shù)條.

答案：D

二、填空題（每小題5分，共15分）

6.如果直線a，b相交，直線a〃平面a，則直線h與平面a的位置關系是.

解析：根據(jù)線面