2024屆新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)配套練習(xí)專題7.2 等差數(shù)列及其前n項和 （新教材新高考）（練）含答案

2024屆新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)配套練習(xí)專題7.2等差數(shù)列及其前n項和練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·全國高三其他模擬（文））在等差數(shù)列中，已知，則公差（）A．1 B．2 C．-2 D．-12．（2020·湖北武漢?高三其他（文））設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則公差等于（）A．0 B．1 C． D．3.（2020·全國高三其他（理））已知為等差數(shù)列的前項和，若，則（）A．12 B．15 C．18 D．214．（2019·浙江高三會考）等差數(shù)列ann∈N*的公差為d，前n項和為Sn，若A．4B．5C．6D．75．（2021·全國高三其他模擬（文））我國明代數(shù)學(xué)家程大位的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：今有鈔二百三十八貫，令五等人從上作互和減半分之，只云戊不及甲三十三貫六百文，問：各該鈔若干？其意思是：現(xiàn)有錢238貫，采用等差數(shù)列的方法依次分給甲?乙?丙?丁?戊五個人，現(xiàn)在只知道戊所得錢比甲少33貫600文(1貫=1000文)，問各人各得錢多少？在這個問題中，戊所得錢數(shù)為（）A．30.8貫 B．39.2貫 C．47.6貫 D．64.4貫6．（2020·全國高三課時練習(xí)（理））設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足S15>0，S16<0，則，，…，中最大的項為（）A．B．C．D．7．（2019·全國高考真題（文））記為等差數(shù)列的前項和，若，則___________.8.（2019·全國高考真題（理））記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，，則___________.9.（2021·河南高三其他模擬（文））設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若S4=2S3-2，2a5-a6=7，則S8=___________.10.（2018·全國高考真題（理））記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知（1）求{a（2）求Sn，并求S練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·上海市大同中學(xué)高三三模）已知數(shù)列滿足，若，則“數(shù)列為無窮數(shù)列”是“數(shù)列單調(diào)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2021·哈爾濱市第一中學(xué)校高三三模（理））習(xí)近平總書記提出：鄉(xiāng)村振興，人才是關(guān)鍵．要積極培養(yǎng)本土人才，鼓勵外出能人返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)．為鼓勵返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，黑龍江對青山鎮(zhèn)鎮(zhèn)政府決定投入創(chuàng)業(yè)資金和開展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)”幫扶返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)人員．預(yù)計該鎮(zhèn)政府每年投入的創(chuàng)業(yè)資金構(gòu)成一個等差數(shù)列（單位萬元，），每年開展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)”投入的資金為第一年創(chuàng)業(yè)資金的倍，已知．則預(yù)計該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計總投入資金的最大值為（）A．72萬元 B．96萬元 C．120萬元 D．144萬元3．（2021·四川遂寧市·高三其他模擬（理））定義函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，例如：，，.當(dāng)時，的值域為.記集合中元素的個數(shù)為，則的值為（）A． B． C． D．4．（2021·全國高三其他模擬（理））已知等差數(shù)列的公差，為其前n項和，則的最小值為___________.5．（2021·全國高三其他模擬（理））已知數(shù)列…，其中在第個1與第個1之間插入個若該數(shù)列的前項的和為則___________.6．（2021·廣東揭陽市·高三其他模擬）已知正項等差數(shù)列的前項和為，滿足，，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，記數(shù)列的前項和，求.7．（2021·全國高三其他模擬（理））已知數(shù)列的前項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前項和.8．（2021·全國高三其他模擬（理））已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足，且，．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）數(shù)列的前項和為，求證：．9．（2021·山東泰安市·高三其他模擬）設(shè)各項均為正的數(shù)列的前項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項的和．10．（2019·浙江高三期末）在數(shù)列、中，設(shè)是數(shù)列的前項和，已知，，，.（Ⅰ）求和；（Ⅱ）若時，恒成立，求整數(shù)的最小值.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1.（2020·浙江省高考真題）我國古代數(shù)學(xué)家楊輝，朱世杰等研究過高階等差數(shù)列的求和問題，如數(shù)列就是二階等差數(shù)列，數(shù)列的前3項和是________．2．（2020·海南省高考真題）將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項和為________．3.（2019·北京高考真題（理））設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2=?3，S5=?10，則a5=__________，Sn的最小值為__________．4.（2021·全國高考真題（文））記為數(shù)列的前n項和，已知，且數(shù)列是等差數(shù)列，證明：是等差數(shù)列.5.（2021·全國高考真題（理））記為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項公式．19·全國高考真題（文））記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知S9=－a5．（1）若a3=4，求{an}的通項公式；（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范圍．專題7.2等差數(shù)列及其前n項和練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·全國高三其他模擬（文））在等差數(shù)列中，已知，則公差（）A．1 B．2 C．-2 D．-1【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)等差數(shù)列通項公式計算可得；【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，所以，解得故選：B2．（2020·湖北武漢?高三其他（文））設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則公差等于（）A．0 B．1 C． D．【答案】B【解析】，解得，所以．故選：B.3.（2020·全國高三其他（理））已知為等差數(shù)列的前項和，若，則（）A．12 B．15 C．18 D．21【答案】B【解析】由，得，所以.故選：B.4．（2019·浙江高三會考）等差數(shù)列ann∈N*的公差為d，前n項和為Sn，若A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】根據(jù)題意，等差數(shù)列an中，S3=S9，則S9-S3=a4+a55．（2021·全國高三其他模擬（文））我國明代數(shù)學(xué)家程大位的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：今有鈔二百三十八貫，令五等人從上作互和減半分之，只云戊不及甲三十三貫六百文，問：各該鈔若干？其意思是：現(xiàn)有錢238貫，采用等差數(shù)列的方法依次分給甲?乙?丙?丁?戊五個人，現(xiàn)在只知道戊所得錢比甲少33貫600文(1貫=1000文)，問各人各得錢多少？在這個問題中，戊所得錢數(shù)為（）A．30.8貫 B．39.2貫 C．47.6貫 D．64.4貫【答案】A【解析】由題意知甲?乙?丙?丁?戊五個人所得錢數(shù)組成等差數(shù)列，由等差數(shù)列項的性質(zhì)列方程組即可求出所要的結(jié)果.【詳解】解：依次記甲?乙?丙?丁?戊五個人所得錢數(shù)為a1，a2，a3，a4，a5，由數(shù)列{an}為等差數(shù)列，可記公差為d，依題意得：，解得a1=64.4，d=﹣8.4，所以a5=64.4﹣33.6=30.8，即戊所得錢數(shù)為30.8貫.故選：A.6．（2020·全國高三課時練習(xí)（理））設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足S15>0，S16<0，則，，…，中最大的項為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵等差數(shù)列前n項和，由S15>0，S16<0，得，∴，若視為函數(shù)則對稱軸在之間，∵，∴Sn最大值是，分析，知為正值時有最大值，故為前8項，又d＜0，遞減，前8項中遞增，∴前8項中最大最小時有最大值，∴最大．7．（2019·全國高考真題（文））記為等差數(shù)列的前項和，若，則___________.【答案】100【解析】得8.（2019·全國高考真題（理））記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，，則___________.【答案】4.【解析】因，所以，即，所以．9.（2021·河南高三其他模擬（文））設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若S4=2S3-2，2a5-a6=7，則S8=___________.【答案】64【解析】設(shè){an}的公差為d.根據(jù)已知條件列出方程組，計算求解即可.【詳解】設(shè){an}的公差為d.因為，即所以，所以.故答案為：64.10.（2018·全國高考真題（理））記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知（1）求{a（2）求Sn，并求S【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值為–16．【解析】（1）設(shè){an}的公差為d，由題意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通項公式為an=2n–9．（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．所以當(dāng)n=4時，Sn取得最小值，最小值為–16．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·上海市大同中學(xué)高三三模）已知數(shù)列滿足，若，則“數(shù)列為無窮數(shù)列”是“數(shù)列單調(diào)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由已知可得，設(shè)，若存在正整數(shù)，當(dāng)時，有，此時數(shù)列為有窮數(shù)列；若恒不為0，由，有，此時為無窮數(shù)列，由此根據(jù)充分條件、必要條件的定義進行分析即可得結(jié)論．【詳解】解：令，，由，可得，所以，即，所以數(shù)列為等差數(shù)列，首項為，公差為1，所以，設(shè)，則數(shù)列是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，若存在正整數(shù)，當(dāng)時，則有，此時數(shù)列為有窮數(shù)列；若恒不為0，由，有，數(shù)列就可以按照此遞推關(guān)系一直計算下去，所以此時為無窮數(shù)列.（1）若恒不為0，則為無窮數(shù)列，由遞推關(guān)系式有，取，時，，則，，，，此時數(shù)列不是單調(diào)數(shù)列；（2）當(dāng)數(shù)列為有窮數(shù)列時，存在正整數(shù)，當(dāng)時，有，此時數(shù)列為，，，，，，由，若數(shù)列單調(diào)，則，，，，全為正或全為負(fù)，由，則，，，，全為正，而，這與單調(diào)遞增矛盾，所以當(dāng)數(shù)列為有窮數(shù)列時，數(shù)列不可能單調(diào)，所以當(dāng)數(shù)列單調(diào)時，數(shù)列一定有無窮多項．故選：B.2．（2021·哈爾濱市第一中學(xué)校高三三模（理））習(xí)近平總書記提出：鄉(xiāng)村振興，人才是關(guān)鍵．要積極培養(yǎng)本土人才，鼓勵外出能人返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)．為鼓勵返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，黑龍江對青山鎮(zhèn)鎮(zhèn)政府決定投入創(chuàng)業(yè)資金和開展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)”幫扶返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)人員．預(yù)計該鎮(zhèn)政府每年投入的創(chuàng)業(yè)資金構(gòu)成一個等差數(shù)列（單位萬元，），每年開展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)”投入的資金為第一年創(chuàng)業(yè)資金的倍，已知．則預(yù)計該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計總投入資金的最大值為（）A．72萬元 B．96萬元 C．120萬元 D．144萬元【答案】C【解析】本題可設(shè)等差數(shù)列的公差為，然后根據(jù)題意得出五年累計總投入資金為，最后通過基本不等式即可求出最值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可知，五年累計總投入資金為：，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故預(yù)計該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計總投入資金的最大值為120萬元，故選：C.3．（2021·四川遂寧市·高三其他模擬（理））定義函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，例如：，，.當(dāng)時，的值域為.記集合中元素的個數(shù)為，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】先根據(jù)條件分析出當(dāng)時，集合中的元素個數(shù)為，進而可得，再結(jié)合裂項相消法進行求和可得結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以在各個區(qū)間中的元素個數(shù)分別為：，所以當(dāng)時，的值域為，集合中元素個數(shù)為：，所以，所以，故選：D.4．（2021·全國高三其他模擬（理））已知等差數(shù)列的公差，為其前n項和，則的最小值為___________.【答案】8【解析】利用，求得的值，然后利用等差數(shù)列求和公式求得，利用函數(shù)圖象得的最小值可能為，或，分別求出，，，得出最小值.【詳解】由于即,解得,故,作函數(shù)的圖象，故的最小值可能為，或，而，，，故的最小值為.故答案為：8.5．（2021·全國高三其他模擬（理））已知數(shù)列…，其中在第個1與第個1之間插入個若該數(shù)列的前項的和為則___________.【答案】3【解析】當(dāng)時，若有n個1，由題知，數(shù)列共有項，當(dāng)時，，則在第63個1后面跟第2個x就是第2018項，所以前項中含63個1，其余均為x，從而根據(jù)前項的和為求得x.【詳解】當(dāng)時，若有n個1，由題知，數(shù)列共有項，當(dāng)時，，則在第63個1后面跟第2個x就是第2018項，所以前項中含63個1，其余均為x，故該數(shù)列的前項的和為，解得.故答案為：36．（2021·廣東揭陽市·高三其他模擬）已知正項等差數(shù)列的前項和為，滿足，，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，記數(shù)列的前項和，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）當(dāng)時，由，得，兩式相減可得，從而可求出，當(dāng)時，，求出，進而可出數(shù)列的通項公式；（2）由（1）可得，從而可求出【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由，得相減得即，又，所以，由，得，解得，(舍去)由，得；（2）.7．（2021·全國高三其他模擬（理））已知數(shù)列的前項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，根據(jù)，求得，得到，進而求得數(shù)列的通項公式；（2）由（1）得到，利用累加法，求得，進而求得，利用裂項法求和，即可求解.【詳解】（1）由題意，數(shù)列的前項和為，可得，，因為，所以，解得，所以，，因為當(dāng)時，，所以.當(dāng)時，符合上式，所以數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）知，可得，所以，，，……，，所以，又由，可得，當(dāng)時，，滿足上式，所以.所以，所以.8．（2021·全國高三其他模擬（理））已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足，且，．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）數(shù)列的前項和為，求證：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【解析】（1）將已知遞推關(guān)系移項配方整理可得，進而利用等差中項法證明數(shù)列是等差數(shù)列；（2）利用裂項求和法求和化簡后即得證.【詳解】解：（1）由結(jié)合數(shù)列各項均為正數(shù)得則，所以數(shù)列是等差數(shù)列；（2），則公差∴，∴.9．（2021·山東泰安市·高三其他模擬）設(shè)各項均為正的數(shù)列的前項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項的和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由求出的值，當(dāng)時，由與的關(guān)系推導(dǎo)出數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項與公差，可求得的通項公式；（2）計算出，然后利用等差數(shù)列的求和公式可求得.【詳解】（1）令，則，可得，得；當(dāng)時，由可得，兩式相減得，即，由數(shù)列的各項為正，可得，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．即數(shù)列的通項公式為；（2）由得，則有，因為，因此，.10．（2019·浙江高三期末）在數(shù)列、中，設(shè)是數(shù)列的前項和，已知，，，.（Ⅰ）求和；（Ⅱ）若時，恒成立，求整數(shù)的最小值.【答案】（1），（2）整數(shù)的最小值是11.【解析】（Ⅰ）因為，即，所以是等差數(shù)列，又，所以，從而.（Ⅱ）因為，所以，當(dāng)時，①②①-②可得，，即，而也滿足，故.令，則，即，因為，，依據(jù)指數(shù)增長性質(zhì)，整數(shù)的最小值是11.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1.（2020·浙江省高考真題）我國古代數(shù)學(xué)家楊輝，朱世杰等研究過高階等差數(shù)列的求和問題，如數(shù)列就是二階等差數(shù)列，數(shù)列的前3項和是________．【答案】【解析】因為，所以．即．故答案為：.2．（2020·海南省高考真題）將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項和為________．【答案】【解析】因為數(shù)列是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以1首項，以3為公差的等差數(shù)列，所以這兩個數(shù)列的公共項所構(gòu)成的新數(shù)列是以1為首項，以6為公差的等差數(shù)列，所以的前項和為，故答案為：.3.（2019·北京高考真題（理））設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2=?3，S5=?10，則a5=__________，Sn的最小值為__________．【答案】0.-10.【解析】等差數(shù)列中,,得,公差,,由等差數(shù)列的性質(zhì)得時,,時,大于0,所以的最小值為或,即為.4.（2021·全國高考真題（文））記為數(shù)列的前n項和，已知，且數(shù)列是等差數(shù)列，證明：是等差數(shù)列.【答案】證明見解析.【解析】先根據(jù)求出數(shù)列的公差，進一步寫出的通項，從而求出的通項公式，最終得證.【詳解】∵數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為∴，∴，∴當(dāng)時，當(dāng)時，，滿足，∴的通項公式為，∴∴是等差數(shù)列.5.（2021·全國高考真題（理））記為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項公式．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由已知得,且，取,得,由題意得,消積得到項的遞推關(guān)系,進而證明數(shù)列是等差數(shù)列;（2）由（1）可得的表達式,由此得到的表達式,然后利用和與項的關(guān)系求得.【詳解】（1）由已知得,且，,取,由得,由于為數(shù)列的前n項積，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以數(shù)列是以為首項，以為公差等差數(shù)列;（2）由（1）可得，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，,,當(dāng)n=1時，,當(dāng)n≥2時,,顯然對于n=1不成立,∴.6.（2019·全國高考真題（文））記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知S9=－a5．（1）若a3=4，求{an}的通項公式；（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，根據(jù)題意有，解答，所以，所以等差數(shù)列的通項公式為；（2）由條件，得，即，因為，所以，并且有，所以有，由得，整理得，因為，所以有，即，解得，所以的取值范圍是：專題7.3等比數(shù)列及其前n項和練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·全國高考真題（文））記為等比數(shù)列的前n項和.若，，則（）A．7 B．8 C．9 D．102．（2021·山東濟南市·）已知Sn是遞增的等比數(shù)列{an}的前n項和，其中S3＝，a32＝a4，則a5＝（）A． B． C．8 D．163．（2021·重慶高三其他模擬）設(shè)等比數(shù)列的前項和為，則（）A． B． C． D．4．（2021·合肥市第六中學(xué)高三其他模擬（理））若等比數(shù)列滿足，則（）A． B． C． D．5.（2020·河北省曲陽縣第一高級中學(xué)高一期末）中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中記載了這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還.”其大意為：有一個人走了378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，問此人第二天走了（）A．6里 B．24里 C．48里 D．96里6．（2021·江蘇南通市·高三其他模擬）已知等比數(shù)列的公比為，前項和為，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．（2021·黑龍江大慶市·大慶實驗中學(xué)高三其他模擬（文））在數(shù)列中，，且，則___________.8．（2021·浙江杭州市·杭州高級中學(xué)高三其他模擬）已知數(shù)列滿足，則_____，_______．9.（2021·浙江杭州市·杭州高級中學(xué)高三其他模擬）已知數(shù)列滿足，則________，________．10.（2018·全國高考真題（文））等比數(shù)列an中，a（1）求an（2）記Sn為an的前n項和．若Sm練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（遼寧省凌源二中2018屆三校聯(lián)考)已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，則（）A.B.C.D.2．（2021·全國高三其他模擬（文））如圖，“數(shù)塔”的第行第個數(shù)為(其中，，且).將這些數(shù)依次排成一列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，記作數(shù)列，設(shè)的前項和為.若，則（）A．46 B．47 C．48 D．493．【多選題】（2021·江蘇高三其他模擬）已知數(shù)列滿足，，其前項和為，則下列結(jié)論中正確的有（）A．是遞增數(shù)列 B．是等比數(shù)列C． D．4.（2019·浙江高三期末）數(shù)列的前n項和為，且滿足，Ⅰ求通項公式；Ⅱ記，求證：．5．（2021·河北衡水中學(xué)高三三模）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，，其中.（1）若，求出；（2）是否存在實數(shù)，使為等比數(shù)列？若存在，求出，若不存在，說明理由.6．（2021·遼寧本溪市·高二月考）已知數(shù)列，滿足，，設(shè)，（為實數(shù)）．（1）求證：是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）若是遞增數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍．7．（2021·河南商丘市·高二月考（理））在如圖所示的數(shù)陣中，從任意一個數(shù)開始依次從左下方選出來的數(shù)可組成等差數(shù)列，如：，，，，…；依次選出來的數(shù)可組成等比數(shù)列，如：，，，，….記第行第個數(shù)為.（Ⅰ）若，寫出，，的表達式，并歸納出的表達式；（Ⅱ）求第行所有數(shù)的和.8．（2021·山東煙臺市·高三其他模擬）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，，.（1）求的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，，，按照如下規(guī)律構(gòu)造新數(shù)列：，求的前2n項和.9．（2019·浙江高考模擬）已知數(shù)列中，，（1）令，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）令，當(dāng)取得最大值時，求的值.10.（2021·浙江高三其他模擬）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，.（1）數(shù)列，的通項公式；（2）若，求使成立(表示不超過的最大整數(shù))的最大整數(shù)的值.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·全國高考真題（理））等比數(shù)列的公比為q，前n項和為，設(shè)甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件2.（2020·全國高考真題（文））記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若a5–a3=12，a6–a4=24，則=（）A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–13.（2019·全國高考真題（文））已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項和為15，且，則（）A．16 B．8 C．4 D．24．（2019·全國高考真題（文））記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.若，則S4=___________．5．（2020·海南省高考真題）已知公比大于的等比數(shù)列滿足．（1）求的通項公式；（2）求.6．（2021·浙江高考真題）已知數(shù)列的前n項和為，，且.（1）求數(shù)列的通項；（2）設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項和為，若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.專題7.3等比數(shù)列及其前n項和練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·全國高考真題（文））記為等比數(shù)列的前n項和.若，，則（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【解析】根據(jù)題目條件可得，，成等比數(shù)列，從而求出，進一步求出答案.【詳解】∵為等比數(shù)列的前n項和，∴，，成等比數(shù)列∴，∴，∴.故選：A.2．（2021·山東濟南市·）已知Sn是遞增的等比數(shù)列{an}的前n項和，其中S3＝，a32＝a4，則a5＝（）A． B． C．8 D．16【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，根據(jù)題意列方程，解出和q即可.【詳解】解：設(shè)遞增的等比數(shù)列{an}的公比為，且q1，∵S3＝，，∴（1+q+q2）＝，q4＝q3，解得＝，q＝2；＝2，q＝（舍去）．則＝＝8．故選：C．3．（2021·重慶高三其他模擬）設(shè)等比數(shù)列的前項和為，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列公比為，由結(jié)合已知條件求、，再利用等比數(shù)列前n項和公式求.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為，則，又，∴，故，又，即.故選：C4．（2021·合肥市第六中學(xué)高三其他模擬（理））若等比數(shù)列滿足，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式建立方程組，解之可得選項.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則，所以，又，所以，故選：A.5.（2020·河北省曲陽縣第一高級中學(xué)高一期末）中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中記載了這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還.”其大意為：有一個人走了378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，問此人第二天走了（）A．6里 B．24里 C．48里 D．96里【答案】D【解析】根據(jù)題意，記每天走的路程里數(shù)為，可知是公比的等比數(shù)列，由，得，解可得，則；即此人第二天走的路程里數(shù)為96；故選：D．6．（2021·江蘇南通市·高三其他模擬）已知等比數(shù)列的公比為，前項和為，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】由可得出，取，由，進而判斷可得出結(jié)論.【詳解】若，則，即，所以，數(shù)列為遞增數(shù)列，若，，所以，“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.7．（2021·黑龍江大慶市·大慶實驗中學(xué)高三其他模擬（文））在數(shù)列中，，且，則___________.【答案】【解析】由，，得到且，得出數(shù)列構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】由，可得，又由，可得，所以，所以數(shù)列構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以.故答案為：.8．（2021·浙江杭州市·杭州高級中學(xué)高三其他模擬）已知數(shù)列滿足，則_____，_______．【答案】【解析】利用求通項公式，再求出.【詳解】對于，當(dāng)n=1時，有，解得：1；當(dāng)時，有，所以，所以，所以數(shù)列為等比數(shù)列，，所以.故答案為：1，.9.（2021·浙江杭州市·杭州高級中學(xué)高三其他模擬）已知數(shù)列滿足，則________，________．【答案】【解析】根據(jù)，求出數(shù)列的通項公式，再代入求出．【詳解】解：因為當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，所以，即于是是首項為，公比為2的等比數(shù)列，所以．所以，故答案為：；；10.（2018·全國高考真題（文））等比數(shù)列an中，a（1）求an（2）記Sn為an的前n項和．若Sm【答案】（1）an=(-2)（2）m=6.【解析】（1）設(shè){an}的公比為q由已知得q4=4q2，解得q=0（舍去），故an=(-2)（2）若an=(-2)n-1，則Sn若an=2n-1，則Sn=2綜上，m=6．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（遼寧省凌源二中2018屆三校聯(lián)考)已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：，，結(jié)合可得：，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可得：，即：.本題選擇B選項.2．（2021·全國高三其他模擬（文））如圖，“數(shù)塔”的第行第個數(shù)為(其中，，且).將這些數(shù)依次排成一列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，記作數(shù)列，設(shè)的前項和為.若，則（）A．46 B．47 C．48 D．49【答案】C【解析】根據(jù)“數(shù)塔”的規(guī)律，可知第行共有個數(shù)，利用等比數(shù)列求和公式求出第行的數(shù)字之和，再求出前行的和，即可判斷取到第幾行，再根據(jù)每行數(shù)字個數(shù)成等差數(shù)列，即可求出；【詳解】解：“數(shù)塔”的第行共有個數(shù)，其和為，所以前行的和為故前行所有數(shù)學(xué)之和為，因此只需要加上第10行的前3個數(shù)字1,2,4，其和為，易知“數(shù)塔”前行共有個數(shù)，所以故選：C3．（2021·江蘇高三其他模擬）已知數(shù)列滿足，，其前項和為，則下列結(jié)論中正確的有（）A．是遞增數(shù)列 B．是等比數(shù)列C． D．【答案】ACD【解析】將遞推公式兩邊同時取指數(shù)，變形得到，構(gòu)造等比數(shù)列可證為等比數(shù)列，求解出通項公式則可判斷A選項；根據(jù)判斷B選項；根據(jù)的通項公式以及對數(shù)的運算法則計算的正負(fù)并判斷C選項；將的通項公式放縮得到，由此進行求和并判斷D選項.【詳解】因為，所以，從而，，所以，所以，又，是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，即，又因為在時單調(diào)遞增，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以是遞增數(shù)列，故A正確；因為，所以，所以，所以，所以不是等比數(shù)列，故B錯誤.因為，而，從而，于是，，故C正確.因為，所以，故D正確.故選：ACD.4.（2019·浙江高三期末）數(shù)列的前n項和為，且滿足，Ⅰ求通項公式；Ⅱ記，求證：．【答案】Ⅰ；Ⅱ見解析【解析】Ⅰ，當(dāng)時，，得，又，，數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，；證明：Ⅱ，，時，，，同理：，故：．5．（2021·河北衡水中學(xué)高三三模）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，，其中.（1）若，求出；（2）是否存在實數(shù)，使為等比數(shù)列？若存在，求出，若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】（1）將代入，由遞推關(guān)系求出通項公式，并檢驗當(dāng)時是否滿足，即可得到結(jié)果；（2）先假設(shè)存在實數(shù)，滿足題意，結(jié)合已知條件求出滿足數(shù)列是等比數(shù)列的實數(shù)，的值，運用分組求和法求出的值.【詳解】（1）由題可知：當(dāng)時有：，當(dāng)時，，又滿足上式，故.（2）假設(shè)存在實數(shù)，滿足題意，則當(dāng)時，由題可得：，和題設(shè)對比系數(shù)可得：，，.此時，，故存在，使得是首項為4，公比為2的等比數(shù)列.從而.所以.6．（2021·遼寧本溪市·高二月考）已知數(shù)列，滿足，，設(shè)，（為實數(shù)）．（1）求證：是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）若是遞增數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．【解析】（1）由，變形為，再利用等比數(shù)列的定義證明；（2）由（1）的結(jié)論，利用等比數(shù)列的通項公式求解；（3）根據(jù)是遞增數(shù)列，由,恒成立求解.【詳解】（1）因為，所以，即，又因為，所以，所以，所以是等比數(shù)列．（2）由，公比為2，得，所以．（3）因為，所以，所以，因為是遞增數(shù)列，所以成立，故，成立，即，成立，因為是遞減數(shù)列，所以該數(shù)列的最大項是，所以的取值范圍是．7．（2021·河南商丘市·高二月考（理））在如圖所示的數(shù)陣中，從任意一個數(shù)開始依次從左下方選出來的數(shù)可組成等差數(shù)列，如：，，，，…；依次選出來的數(shù)可組成等比數(shù)列，如：，，，，….記第行第個數(shù)為.（Ⅰ）若，寫出，，的表達式，并歸納出的表達式；（Ⅱ）求第行所有數(shù)的和.【答案】（Ⅰ），，，；（Ⅱ）.【解析】（I）由數(shù)陣寫出，，，由此可歸納出.（II），利用錯位相減法求得結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）由數(shù)陣可知：，，，由此可歸納出.（Ⅱ），所以，錯位相減得.8．（2021·山東煙臺市·高三其他模擬）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，，.（1）求的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，，，按照如下規(guī)律構(gòu)造新數(shù)列：，求的前2n項和.【答案】（1），；（2）數(shù)列的前2n項和為.【解析】（1）由可得可得答案；（2）由得，兩式相除可得數(shù)列的偶數(shù)項構(gòu)成等比數(shù)列，再由（1）可得數(shù)列的前2n項的和.【詳解】（1）由，，得，所以.因為，所以，所以，.又當(dāng)時，，適合上式.所以，.（2）因為，，所以，又，所以.所以數(shù)列的偶數(shù)項構(gòu)成以為首項?2為公比的等比數(shù)列.故數(shù)列的前2n項的和，所以數(shù)列的前2n項和為.9．