專題：實(shí)數(shù)與代數(shù)式

實(shí)數(shù)與代數(shù)式一、知識(shí)體系（一） 實(shí)數(shù)的有關(guān)概念實(shí)數(shù)的分類：有理數(shù)分?jǐn)?shù)（有限或無(wú)限循環(huán)性數(shù)有理數(shù)分?jǐn)?shù)（有限或無(wú)限循環(huán)性數(shù)）J無(wú)理數(shù)（無(wú)限不循環(huán)小數(shù)）｛負(fù)無(wú)理數(shù)整數(shù)有理數(shù)實(shí)數(shù)€無(wú)理數(shù)整數(shù)實(shí)數(shù)€無(wú)理數(shù)整數(shù)負(fù)數(shù)L無(wú)理數(shù)數(shù)軸：（1） 三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度（2） 數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)。相反數(shù)：實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是-a,零的相反數(shù)還是零。（！）a、b互為相反數(shù)，則a+b=0（2）在數(shù)軸上表示相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。倒數(shù)：乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。零沒(méi)有倒數(shù)。若a、b互為倒數(shù),則ab=1絕對(duì)值lal=a（a>0）|a|=0（a=0）|a|=-a（aVO）非負(fù)數(shù)：形如|a|（a0）,a都表示非負(fù)數(shù)?？茖W(xué)計(jì)數(shù)法：把一個(gè)數(shù)寫成aXlOn的形式（其中l(wèi)W|a|V10,n為整數(shù)）近似數(shù)與有效數(shù)字：一個(gè)近似數(shù),四舍五入到哪一位,就說(shuō)這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位,這時(shí),從左邊第一個(gè)不是零的數(shù)字起,到精確的位數(shù)為止,所以的數(shù)字,都叫這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字。（二）實(shí)數(shù)的運(yùn)算與實(shí)數(shù)的比較大小在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),加減乘除（除數(shù)不為零）、乘方都可以進(jìn)行,但開(kāi)方運(yùn)算不一定都能進(jìn)行,正實(shí)數(shù)和零總能進(jìn)行開(kāi)方運(yùn)算,而負(fù)實(shí)數(shù)只能開(kāi)奇次方,不能開(kāi)偶次方。有理數(shù)的一切運(yùn)算性質(zhì)的運(yùn)算律都適用于實(shí)數(shù)運(yùn)算。實(shí)數(shù)的比較大?。海?）一般規(guī)則：正數(shù)大于零,負(fù)數(shù)小于零,正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)正數(shù),絕對(duì)值大的比較大，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小。(2)利用數(shù)軸：在數(shù)軸上表示兩個(gè)實(shí)數(shù)，右邊的數(shù)總是大于左邊的數(shù)。設(shè)a、b是任意實(shí)數(shù)，a-b>0oa>b,a-bVOoaVb,a-b=0oa=b代數(shù)式代數(shù)式的有關(guān)概念(1)代數(shù)式的分類：(2)同類項(xiàng)、合并同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)，把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng)。合并同類項(xiàng)時(shí)，只把系數(shù)相加，所含字母和字母指數(shù)不變。去括號(hào)和添括號(hào)法則：前面是“+”，去(添)掉括號(hào)不變號(hào)；前面是“-”，去(添)掉括號(hào)要變號(hào)。整式的運(yùn)算(1)加減運(yùn)算：先去括號(hào)或添括號(hào)，再合并同類項(xiàng)。(2)乘除運(yùn)算：幕的運(yùn)算性質(zhì)：am?an=am+n(m>n為整數(shù)，a主0)(am)n=amn(m、n為整數(shù)，a豐0)(ab)n=anbn(n為整數(shù)，a豐0,b豐0)am寧an=am~n(m、n為整數(shù)，且a豐0)a0=l(a豐0)，a-n=—=(—)n(a豐0)an a乘法公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2完全平方公式：(a土b)二a2土2ab+b2單項(xiàng)式相乘：系數(shù)、同底數(shù)幕分別相乘。單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：與多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別相乘，m(a+b+c)=ma+mb+mc多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：系數(shù)、同底數(shù)幕相除多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以單項(xiàng)式，然后把所得的商相加。因式分解：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，叫做多項(xiàng)式的因式分解?；痉椒ǎ?1)提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)(2)運(yùn)用公式法：平方差公式，完全平方公式(3)分組分解法：先分組，后提取公因式或用公式(4)十字相乘法：對(duì)x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)(5)求根公式法：在分解二次三項(xiàng)式ax2+bx+c的因式時(shí)，可先用公式求

方程ax2+bx+c=c的兩個(gè)根xx，然后得ax2+bx+c=a(x—x)(x—x)1,212（6）其他方法：配方法，換元法，拆項(xiàng)添項(xiàng)法。AA分式：用A、B表示兩個(gè)整式，AFB可以表示為云的形式，若B中含有字母，式子云BB就叫做分式。AAxMAA十M（1）分式的基本性質(zhì)：后= ，= （其中M是不等于零的整式）BBxMBB十MTOC\o"1-5"\h\za —a a —a分式的符號(hào)法則：亍———— ——-\o"CurrentDocument"b —b —b b一a b a土b a c ad土be分式的運(yùn)算：±— , ±—cccbdbdacacx— —bdbda.ca.da.cad

bdbcbdbcacacx— —bdbdaan()n= (n為正整數(shù))b bn4） 約分：去分子和分母中的公因式5） 通分：把異分母分式化為和原來(lái)分式相等的同分母分式。6.二次根式：式子Pa（a>0）叫做二次根式。（1）二次根式的性質(zhì)：（Ja）2—a（a>0）v'a2=|aIv'ab=x，a?p'b(a>0,b>0)(b>0,a>0)2）分母有理化：12）分母有理化：1<av'a二、解題思路：實(shí)數(shù)的分類：基本概念實(shí)數(shù)的比較大?。盒再|(zhì)，數(shù)軸科學(xué)技術(shù)法的表示，注意aX10n中a的范圍化簡(jiǎn)計(jì)算：考察代數(shù)式的性質(zhì)、因式分解的方法與基本運(yùn)算法則三.、題型體系：本專題常考題目主要有選擇題、填空題與化簡(jiǎn)計(jì)算題。（一）選擇題：1.（2009?北京）改革開(kāi)放以來(lái)，我國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值有1978年的3645億增長(zhǎng)到2008年的300670億元，將300670用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為：（）A.0.30067x106B.3.0067x105C.3.0067x104D.30.067x104

解析：B考點(diǎn)：科學(xué)記數(shù)法的表示：把一個(gè)數(shù)寫成aXlOn的形式（其中l(wèi)W|a|V10,n為整數(shù)）注意a的范圍以及準(zhǔn)確的判斷n（2009?江蘇）如圖，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)a、b,則下列結(jié)論正確的是（ ）B A-Lb 0a1-I（第2題）A.aB A-Lb 0a1-I（第2題）C.a一b>0 D.Ia丨一丨bl>0解析：C考點(diǎn)：數(shù)軸的性質(zhì)：右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，b<-l,O<a<l（2009?日照）計(jì)算—（—3a2b3）4的結(jié)果為：（）A.81a8bi2b.12a6b7c.-12a6bd.-81a8bi2解析：D考點(diǎn)：冪的運(yùn)算性質(zhì)。（am）n=amn（m、n為整數(shù)，a主0）（2006?南充）已知a<0,那么\、、：a2—2aI可化為：（）A.- B.a C.-3a D.3a解析：C考點(diǎn)：絕對(duì)值、二次根式的性質(zhì)。av0,、'a2=-a,-a-2a=-3a，而絕對(duì)值后大于等于零，所以答案C（2007?黃岡）下列運(yùn)算中錯(cuò)誤的是：（）aac —a—b 亠 0.5a+b 5a+10b x—yy—x〒二〒-（c主0）B。? =T C。- 二 D。- =-——bbc a+b 0.2a-0.3b 2a-3b x+yy+x解析：D考點(diǎn)：分式的基本性質(zhì)?！猘—b —（a+b）r=— r=—1a+ba+b0.5a+b （0.5a+b）x10 5a+10b0.2a—0.3b（0.2a—0.3b）x10 2a—3b（2007?濟(jì)南）已知整式6x-1的值為2，y2—y的值為2，則（5x2y+5xy-7x）-（4x2y+5xy-7x）為（）11111111A——口或——B—口或—— C——口或— D—口或—? 4或2B.4或2 4或2D.4或2解析：B考點(diǎn)：去括號(hào)、添括號(hào)法則；因式分解的方法；解方程16x-l=2,x=—,y2—y=2,y2—y—2=0，因式分解后得：(y-2)(y+1)=0,y=2或y=-l。原式=5x2y-4x2y=X2y,將所求值代入即可。(二)填空題(2009?河北)若m、n互為倒數(shù)，則mn2-(n—1)=解析：1考點(diǎn)：互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)的性質(zhì)。若m、n互為倒數(shù)，則mn=1。所以，m=^，代入即可。n(2009?湖南懷化)若la-21+pb—3+(c—4)2=0,則a-b+c= 解析：-3考點(diǎn)：絕對(duì)值的性質(zhì)、根式的性質(zhì)因?yàn)閘al>0,、；a—0,(a+b)2—0，而原式=0，故la-2l=0,u：b—3=0,(c—4)2=0。所以，a=2,b=3,c=4,代入式子即可。a2+b2=5,ab=2，貝I」(a+b)2= 解析：9考點(diǎn)：完全平方公式。(a+b)2=a2+b2+2ab(2009?杭州)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：x4-4= 解析：(x2+2)(x+^2)(x-\；2)考點(diǎn)：因式分解的方法。換元法,公式法(平方差公式),令x2=a,x4—4=a2-22=(a+2)(a-2)所以，原式=(x2+2)(x2_2)=(x2+2)[x2_W2)2]=(x2+2)(x+\：'2)(x—、⑵3x+5 5 1(2008?廣安)若分式 無(wú)意義，則當(dāng) - =0時(shí)，m的指為 x一1 3m一2x2m一x3解析：7考點(diǎn)：分式的性質(zhì)。分式有意義的條件是分母不能為零。所以，分式無(wú)意義，則x-1=0,x=1.,代人，得到關(guān)于m的方程，解出m。三、化簡(jiǎn)計(jì)算11.(2009?山東濟(jì)寧)計(jì)算：(兀一1)0+(2)-1+15一、：27|—2^3解析：原式=1+2+3\：3-5-2\：3=<3-2考點(diǎn)：冪的運(yùn)算性質(zhì)：= =(―)n(a豐0)以及去絕對(duì)值時(shí)符號(hào)變化：a|=-a(aV0)ana

因?yàn)?-J27<o,所以，去掉絕對(duì)值后前面應(yīng)加符號(hào)。2.（2008?蘇州）先化簡(jiǎn)，在求值：a；2-4-（晉-1）一（2-a，其中a=2。解析：原式 2原式=(解析：原式 2原式=(a+2)(a-2)a2+4—4a4aa-22a2 (a-2)2 2a? x—(a+2)(a—2) 4aa—2因?yàn)閍=2，代入，得，原式=2?？键c(diǎn)：分式的計(jì)算，通分，分解因式，分式的運(yùn)算性質(zhì)。總結(jié)：實(shí)數(shù)與代數(shù)式部分是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，難點(diǎn)較少，常出選擇、填空與計(jì)算題，難度相對(duì)較小。做題的關(guān)鍵是抓住概念、熟記運(yùn)算法則。尤其是分式、二次根式成立的條件部分較常出題，也是易忽略的地方。其次就是掌握分解因式的一般方法，熟記平方差、完全平方公式等。練習(xí)1.如圖，數(shù)軸上A點(diǎn)表示的數(shù)減去B練習(xí)1.如圖，數(shù)軸上A點(diǎn)表示的數(shù)減去B點(diǎn)表示的數(shù),結(jié)果是（）．-301第1題圖A．8 B．-8 C．2D．-22．一3的絕對(duì)值是1A3C±3B3D土一3D1.012X1012元.3．D1.012X1012元.A1012X108元B1.012X1011元 C1.0X1011元.下列各式計(jì)算正確的是A(aA(a5)2二a71B2x-2=2x2C3a22a3=6a6x2+2x—35?若使分式 的值為0,則x的取值為 （ ）x2-1A.1或-1B.-3或1C.-3 D.-3或-1徐工集團(tuán)某機(jī)械制造廠制造某種產(chǎn)品，原來(lái)每件產(chǎn)品的成本是100元，由于提高生產(chǎn)技術(shù)，所以連續(xù)兩次降低成本，兩次降低后的成本是81元。則平均每次降低成本的百分率是（）TOC\o"1-5"\h\zA.8.5％B.9％C. 9.5％D. 10％若分式二有意義，則x應(yīng)滿足 （）x-1A.x=0 B.x工0C.x=1 D.x工1下列根式中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是 （ ）

x-2仁2)1——9.計(jì)算x21x丿，所得的正確結(jié)果是()11x—2A、xB、x c、xD、 xA.10、已知”=5,b=2，且a+b<0，則ab的值是()B.J3A、1011.估算旦空的值.2B、-10 c、10或B.J3A、1011.估算旦空的值.2A.在4和5之間B.在5和6之間C.在6和7之間D.在7和8之間12.分解因式：a3-a= 13.函數(shù)