福建省寧德市數學一模試卷（文科）

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2017年福建省寧德市高考數學一模試卷(文科）一、選擇題：本大題共12小題,每小題5分,共60分，在每小題給出的四個選項中,只有一個選項符合題目要求．1．已知全集U={﹣2，0，1,2},集合A={x｜x2﹣2x=0}，則?UA=（）A．｛﹣2，1｝ B．{﹣2，0,2｝ C．{0，2｝ D．{0，1}2．復數（i為虛數單位）的虛部是（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i3．從某大學隨機抽取的5名女大學生的身高x（厘米）和體重y(公斤）數據如表x165160175155170y5852624360根據上表可得回歸直線方程為，則=（）A．﹣96.8 B．96.8 C．﹣104。4 D．104。44．若在區(qū)間［0,e］內隨機取一個數x，則代表數x的點到區(qū)間兩端點距離均大于的概率為(）A． B． C． D．5．已知變量x，y滿足約束條件，則的取值范圍是（）A． B． C．（﹣∞,3］∪［6,+∞） D．[3，6］6．已知cos2（α+）=,則sin2α=（）A．﹣ B． C．﹣ D．7．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入t的值為5,則輸出的s的值為（）A． B． C． D．8．若f（x）=sin(2x+θ)，則“f(x）的圖象關于x=對稱"是“θ=﹣”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件9．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．10．已知圓C：x2+y2﹣2x+4y=0關于直線3x﹣ay﹣11=0對稱，則圓C中以（,﹣）為中點的弦長為（)A．1 B．2 C．3 D．411．已知函數f(x）=ex+e﹣x，則y=f′（x）的圖象大致為(）A． B． C． D．12．已知函數f（x）=，若方程f(f（x))﹣=0在實數集范圍內無解,則實數k的取值范圍是（）A．(﹣1，﹣) B．(﹣，） C．［0,+∞） D．(﹣,﹣]二、填空題:本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知=（1，﹣1),=（﹣1，2)，則(2+）?=．14．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的頂點都在同一個球面上，且該正三棱柱的體積為,三角形ABC周長為3，則這個球的體積為．15．已知雙曲線x2﹣=1的左右焦點分別為F1、F2，過點F2的直線交雙曲線右支于A，B兩點，若△ABF1是以A為直角頂點的等腰三角形，則△AF1F2的面積為．16．在平面四邊形ABCD中，若AB=1,BC=2,B=60°，C=45°，D=120°，則AD=．三、解答題:本大題共5小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知數列｛an}滿足a1=2，an+1=2an﹣1．（Ⅰ）求數列｛an｝的通項公式;（Ⅱ）設bn=n?(an﹣1），求數列｛bn｝的前n項和Sn．18．如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，BD∩AC=O,現將其沿菱形對角線BD折起得空間四邊形EBCD，使EC=．（Ⅰ)求證：EO⊥CD．（Ⅱ）求點O到平面EDC的距離．19．交警隨機抽取了途經某服務站的40輛小型轎車在經過某區(qū)間路段的車速(單位：km/h）,現將其分成六組為［60，65），[65，70)，［70,75），［75,80)，[80,85）,[85,90]后得到如圖所示的頻率分布直方圖．（Ⅰ）某小型轎車途經該路段，其速度在70km/h以上的概率是多少？（Ⅱ)若對車速在[60，65），[65，70）兩組內進一步抽測兩輛小型轎車，求至少有一輛小型轎車速度在［60，65）內的概率．20．已知橢圓C：+=1(a＞b＞0)的離心率為，右頂點為A，下頂點為B，點P（，0）滿足|PA｜=｜PB|．（Ⅰ）求橢圓C的方程．（Ⅱ）不垂直于坐標軸的直線l與橢圓C交于M，N兩點,以MN為直徑的圓過原點,且線段MN的垂直平分線過點P，求直線l的方程．21．已知函數f（x）=lnx﹣ax+（a∈R）．（1）當a=﹣時，求函數f（x)的單調區(qū)間和極值．（2）若g(x）=f（x)+a（x﹣1)有兩個零點x1，x2，且x1＜x2,求證：x1+x2＞1．四、請考生在第（22）、(23）兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．[選修4—4：坐標系與參數方程］22．已知曲線C的極坐標方程是ρ=2cosθ，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線L的參數方程是（t為參數）．(1）求曲線C的直角坐標方程和直線L的普通方程；(2）設點P(m,0），若直線L與曲線C交于A,B兩點，且|PA｜?|PB｜=1，求實數m的值．五、［選修4—5：不等式選講]23．已知函數f（x)=2|x+1|+|x﹣2｜的最小值為m．(Ⅰ）求實數m的值;(Ⅱ）若a，b，c均為正實數，且滿足a+b+c=m，求證：++≥3．

2017年福建省寧德市高考數學一模試卷(文科)參考答案與試題解析一、選擇題:本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求．1．已知全集U={﹣2，0,1,2｝，集合A={x｜x2﹣2x=0｝，則?UA=(）A．｛﹣2，1} B．{﹣2,0，2｝ C．｛0，2｝ D．{0，1}【考點】補集及其運算．【分析】根據題意，解x2﹣2x=0可得集合A，進而由補集的意義，計算可得答案．【解答】解:根據題意,A=｛x｜x2﹣2x=0｝=｛0,2｝，又由全集U={﹣2,0，1,2｝，則?UA={﹣2，1｝；故選：A．2．復數(i為虛數單位）的虛部是（)A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【考點】復數的基本概念．【分析】直接由復數代數形式的乘除運算化簡復數z得答案．【解答】解:∵=．∴復數（i為虛數單位）的虛部是:1．故選:A．3．從某大學隨機抽取的5名女大學生的身高x（厘米）和體重y（公斤)數據如表x165160175155170y5852624360根據上表可得回歸直線方程為，則=（）A．﹣96。8 B．96。8 C．﹣104。4 D．104.4【考點】線性回歸方程．【分析】根據所給的表格做出本組數據的樣本中心點，根據樣本中心點在線性回歸直線上,利用待定系數法做出a的值,【解答】解：由表中數據可得=165，=55，∵（，）一定在回歸直線方程上，∴55=0。92×167+a，解得a=﹣96。84．故選：A．4．若在區(qū)間[0，e]內隨機取一個數x，則代表數x的點到區(qū)間兩端點距離均大于的概率為（）A． B． C． D．【考點】幾何概型．【分析】根據幾何概型計算公式，用區(qū)間［e，e]的長度除以區(qū)間［0，e］的長度，即可得到本題的概率．【解答】解：解：∵區(qū)間［0，e］的長度為e﹣0=e,x的點到區(qū)間兩端點距離均大于,長度為，∴在區(qū)間[0，e］內隨機取一個數x,則代表數x的點到區(qū)間兩端點距離均大于的概率為P=故選：C5．已知變量x,y滿足約束條件，則的取值范圍是（）A． B． C．（﹣∞,3］∪［6，+∞） D．[3，6]【考點】簡單線性規(guī)劃的應用．【分析】本題考查的知識點是線性規(guī)劃，處理的思路為：根據已知的約束條件,畫出滿足約束條件的可行域，分析表示的幾何意義,結合圖象即可給出的取值范圍．【解答】解：約束條件對應的平面區(qū)域如下圖示:三角形頂點坐標分別為（1，3）、（1，6）和(）,表示可行域內的點(x，y）與原點（0，0)連線的斜率，當（x,y）=(1，6）時取最大值6，當（x，y）=（）時取最小值,故的取值范圍是故選A．6．已知cos2（α+）=，則sin2α=（)A．﹣ B． C．﹣ D．【考點】二倍角的正弦．【分析】由已知利用降冪公式，誘導公式即可化簡求值得解．【解答】解：∵cos2（α+)===,∴sin2α=．故選：B．7．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入t的值為5,則輸出的s的值為（)A． B． C． D．【考點】程序框圖．【分析】由已知中的程序框圖及已知中輸入t=5，可得：進入循環(huán)的條件為k＜5,即k=2，3，4，模擬程序的運行結果，即可得到輸出的S值．【解答】解：模擬執(zhí)行程序,可得t=5，s=1,k=2滿足條件k＜t，執(zhí)行循環(huán)體，s=1+=，k=3滿足條件k＜t，執(zhí)行循環(huán)體，s=﹣=，k=4滿足條件k＜t，執(zhí)行循環(huán)體，s=+=，k=5不滿足條件k＜t，退出循環(huán)，輸出s的值為．故選：D．8．若f（x)=sin（2x+θ）,則“f（x）的圖象關于x=對稱”是“θ=﹣”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據三角函數的性質以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【解答】解：若f(x)的圖象關于x=對稱，則2×+θ=+kπ,解得θ=﹣+kπ，k∈Z，此時θ=﹣不一定成立,反之成立，即“f（x）的圖象關于x=對稱"是“θ=﹣”的必要不充分條件，故選：B9．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（)A． B． C． D．【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】幾何體為同底的三棱柱和三棱錐的組合體，代入體積公式計算即可求出體積．【解答】解:由三視圖可知幾何體為直三棱柱和三棱錐的組合體，直棱柱的底面為直角三角形，直角邊為1，2，棱柱的高為1,三棱錐的底面與棱柱的底面相同,棱錐的高為1．∴幾何體的體積V=+=1+=．故選B．10．已知圓C:x2+y2﹣2x+4y=0關于直線3x﹣ay﹣11=0對稱，則圓C中以（,﹣）為中點的弦長為（）A．1 B．2 C．3 D．4【考點】直線與圓的位置關系．【分析】由已知直線3x﹣ay﹣11=0過圓心C（1，﹣2)，從而得到a=4，點(1,﹣1）到圓心C（1，﹣2)的距離d=1，圓C:x2+y2﹣2x+4y=0的半徑r=，由此能求出圓C中以（，﹣）為中點的弦長．【解答】解：∵圓C：x2+y2﹣2x+4y=0關于直線3x﹣ay﹣11=0對稱，∴直線3x﹣ay﹣11=0過圓心C（1,﹣2),∴3+2a﹣11=0，解得a=4，∴（，﹣）=（1,﹣1)，點（1，﹣1）到圓心C(1，﹣2）的距離d==1，圓C:x2+y2﹣2x+4y=0的半徑r==,∴圓C中以（，﹣）為中點的弦長為：2=2=4．故選：D．11．已知函數f（x）=ex+e﹣x，則y=f′（x）的圖象大致為()A． B． C． D．【考點】函數的圖象．【分析】求出函數的導數，判斷導函數的單調性即可得到導函數的圖象．【解答】解：函數f(x）=ex+e﹣x，則y=f′（x）=ex﹣e﹣x=，因為y=ex是增函數，y=是增函數,所以導函數是增函數．故選：D．12．已知函數f（x）=，若方程f（f（x））﹣=0在實數集范圍內無解,則實數k的取值范圍是（）A．（﹣1,﹣） B．(﹣，） C．[0，+∞） D．（﹣，﹣]【考點】分段函數的應用;根的存在性及根的個數判斷．【分析】根據題意可得x＜0時,f（x)=＞0，即可得到k（）x+=0，方程無解，則k≥0,問題得以解決．再討論x≥0時的情況．【解答】解：當x＜0時，f（x)=＞0,∴f（f（x））=k（）x+2，∴k（)x+2﹣=0∴k（)x+=0，當k≥0時方程無解，當x≥0時，f(x）=kx+2，若k≥0,則f（x)=kx+2≥2,∴f（f（x））=k（f（x））≥2，∴方程f（f（x））﹣=0,方程無解，綜上所述a≥0．故選：C．二、填空題：本大題共4小題,每小題5分，共20分．13．已知=（1，﹣1），=（﹣1，2）,則（2+）?=﹣1．【考點】平面向量數量積的運算．【分析】直接利用向量的坐標運算以及向量的數量積求解即可．【解答】解：=（1,﹣1），=(﹣1，2），則2+=（1，0）（2+）?=﹣1+0=﹣1．故答案為：﹣1．14．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的頂點都在同一個球面上,且該正三棱柱的體積為，三角形ABC周長為3,則這個球的體積為．【考點】球的體積和表面積．【分析】正三棱柱的底面中心的連線的中點就是外接球的球心，求出球的半徑即可求出球的表面積．【解答】解：由題意可知:AA1=,∴AA1=2正三棱柱的底面中心的連線的中點就是外接球的球心，底面中心到頂點的距離為：；所以外接球的半徑為:=．所以外接球的表面積為：4π（）2=．故答案為:．15．已知雙曲線x2﹣=1的左右焦點分別為F1、F2,過點F2的直線交雙曲線右支于A,B兩點，若△ABF1是以A為直角頂點的等腰三角形，則△AF1F2的面積為4﹣2．【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】由題意可知丨AF2丨=m，丨AF1丨=2+丨AF2丨=2+m，由等腰三角形的性質即可求得4=(2+m），丨AF2丨=m=2（﹣1），丨AF1丨=2,由三角的面積公式，即可求得△AF1F2的面積．【解答】解：雙曲線x2﹣=1焦點在x軸上，a=1，2a=2，設丨AF2丨=m,由丨AF1丨﹣丨AF2丨=2a=2，∴丨AF1丨=2+丨AF2丨=2+m，又丨AF1丨=丨AB丨=丨AF2丨+丨BF2丨=m+丨BF2丨,∴丨BF2丨=2，又丨BF1丨﹣丨BF2丨=2，丨BF1丨=4，根據題意丨BF1丨=丨AF1丨,即4=（2+m），m=2（﹣1），丨AF1丨=2，△AF1F2的面積S=?丨AF2丨?丨AF1丨=×2（﹣1）×2=4﹣2，△AF1F2的面積4﹣2，故答案為:4﹣2．16．在平面四邊形ABCD中,若AB=1，BC=2，B=60°,C=45°，D=120°,則AD=．【考點】解三角形的實際應用．【分析】在△ABC中，由余弦定理可得AC，求出∠ACD=15°，在△ACD中，∠D=120°,由正弦定理可得AD．【解答】解：連接AC,在△ABC中，由余弦定理可得AC==,∴BC2=AB2+AC2,∴∠BAC=90°,∴∠ACB=30°，∴∠ACD=15°．在△ACD中,∠D=120°，由正弦定理可得AD==．故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知數列｛an}滿足a1=2，an+1=2an﹣1．（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；（Ⅱ）設bn=n?（an﹣1），求數列{bn}的前n項和Sn．【考點】數列遞推式；數列的求和．【分析】（I）數列{an｝滿足a1=2，an+1=2an﹣1．變形為：an+1﹣1=2(an﹣1）．利用等比數列的通項公式即可得出．(II）bn=n?（an﹣1）=n?2n﹣1，利用“錯位相減法"與等比數列的求和公式即可得出．【解答】解：（I）數列｛an}滿足a1=2,an+1=2an﹣1．變形為：an+1﹣1=2（an﹣1）．a1﹣1=1．∴數列{an﹣1｝是等比數列，∴an﹣1=2n﹣1，解得an=1+2n﹣1．（II）bn=n?（an﹣1）=n?2n﹣1，∴數列{bn}的前n項和Sn=1+2×2+3×22+…+n?2n﹣1，∴2Sn=2+2×22+…+（n﹣1）?2n﹣1+n?2n，∴﹣Sn=1+2+22+…+2n﹣1﹣n?2n=﹣n?2n=（1﹣n）?2n﹣1，可得Sn=(n﹣1)?2n+1．18．如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，BD∩AC=O,現將其沿菱形對角線BD折起得空間四邊形EBCD,使EC=．（Ⅰ)求證：EO⊥CD．(Ⅱ）求點O到平面EDC的距離．【考點】點、線、面間的距離計算；直線與平面垂直的性質．【分析】（Ⅰ）證明：EO⊥平面BCD，即可證明EO⊥CD．（Ⅱ)利用等體積方法，求點O到平面EDC的距離．【解答】(Ⅰ）證明：由題意，EO=OC=1，EC=，∴EO2+OC2=EC2，∴EO⊥OC，∵EO⊥BD，OC∩BD=O，∴EO⊥平面BCD，∵CD?平面BCD，∴EO⊥CD．（Ⅱ）解：△EDC中,ED=DC=2，EC=，S△EDC==，設點O到平面EDC的距離為h，則由等體積可得，∴h=．19．交警隨機抽取了途經某服務站的40輛小型轎車在經過某區(qū)間路段的車速（單位：km/h），現將其分成六組為［60，65），［65，70）,[70，75)，[75，80），[80，85），［85，90］后得到如圖所示的頻率分布直方圖．（Ⅰ）某小型轎車途經該路段，其速度在70km/h以上的概率是多少？(Ⅱ）若對車速在[60，65），［65，70）兩組內進一步抽測兩輛小型轎車,求至少有一輛小型轎車速度在［60，65)內的概率．【考點】頻率分布直方圖．【分析】（Ⅰ)根據頻率和為1，求出速度在70km/h以上的頻率即可；（Ⅱ）求出40輛車中車速在[60，65）以及[65，70）內的車輛，利用列舉法計算基本事件數,求出對應的概率值．【解答】解:（Ⅰ）根據頻率分布直方圖，計算速度在70km/h以上的頻率為1﹣（0。010+0。020）×10=0。7，估計速度在70km/h以上的概率是0.7；（Ⅱ）這40輛車中,車速在［60,70）的共有5×（0。01+0.02)×40=6輛，其中在［65，70）的有5×0.02×40=4輛，記為A，B,C，D,在［60，65)的有5×0.01×40=2輛，記為a,b;從車速在[60,70)的這6輛汽車中任意抽取2輛，可能結果是AB、AC、AD、Aa、Ab、BC、BD、Ba、Bb、CD、Ca、Cb、Da、Db、ab有15種不同的結果，其中抽出的2輛車車速至少有一輛在［60，65）內的結果是Aa、Ab、Ba、Bb、Ca、Cb、Da、Db、ab有9種；故所求的概率為P==．20．已知橢圓C：+=1（a＞b＞0)的離心率為，右頂點為A，下頂點為B，點P（，0）滿足｜PA|=|PB|．(Ⅰ）求橢圓C的方程．（Ⅱ）不垂直于坐標軸的直線l與橢圓C交于M，N兩點,以MN為直徑的圓過原點，且線段MN的垂直平分線過點P，求直線l的方程．【考點】直線與橢圓的位置關系；橢圓的標準方程．【分析】（Ⅰ）運用橢圓的離心率公式和點滿足方程及a,b，c的關系，即可得到橢圓方程；(Ⅱ）設直線l的方程設為y=kx+t,設A(x1，y1）B（x2，y2)，聯(lián)立橢圓方程，運用韋達定理和判別式大于0，以AB為直徑的圓過坐標原點，則有?=0，x1x2+y1y2=0,代入化簡整理，再由兩直線垂直的條件，解方程可得k，進而得到所求直線方程．【解答】解：(Ⅰ)由橢圓的離心率e===，則a2=4b2,由|PA|=a﹣,|PB｜=,|PA｜=｜PB｜．即a﹣=，解得：a=2,b=1，∴橢圓的標準方程為:；（Ⅱ）設直線l的方程設為y=kx+t，設M（x1，y1）N（x2,y2），聯(lián)立，消去y得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0,則有x1+x2=，x1x2=,由△＞0，可得4k2+1＞t2，y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2）+2t=，y1y2=(kx1+t)（kx2+t)=k2x1x2+kt（x1+x2）+t2=k2?+kt?+t2=，因為以AB為直徑的圓過坐標原點,所以?=0，即為x1x2+y1y2=0,即為+=0,可得5t2=4+4k2，①由4k2+1＞t2，可得t＞或t＜﹣，又設AB的中點為D（m，n）,則m==，n==，因為直線PD與直線l垂直，所以kPD=﹣==，可整理得:t=﹣②解得：k2=，k2=，當k=時，t=﹣1,當k=﹣，t=1，當k=，t=﹣，當k=﹣，t=，滿足△＞0，所以直線l的方程為y=x﹣1,y=﹣x+1，y=x﹣，y=﹣x+．21．已知函數f（x)=lnx﹣ax+（a∈R）．（1）當a=﹣時，求函數f（x)的單調區(qū)間和極值．（2)若g（x）=f（x）+a（x﹣1）有兩個零點x1，x2，且x1＜x2,求證：x1+x2＞1．【考點】利用導數研究函數的極值;導數在最大值、最小值問題中的應用．【分析】（1）當a=﹣時,求導,令f′(x）＞0求得函數的單調遞增區(qū)間,f′(x）＜0即可求得函數的單調遞減區(qū)間,即當x=時，f(x）取極值；（2）求出個零點x1,x2，得到x1+x2=+=．構造函數h（t）=t﹣﹣2lnt，(0＜t＜1)，根據函數的單調性證明即可．【解答】解：（1）當a=﹣時,f（x)=lnx+x+，(x＞0），求導，f′（x）=+﹣=，令f′（x）=0，解得:x=或x=﹣1（舍去)，當f′（x）＞0,解得:x＞，當f′（x）＜0，解得:0＜x＜，∴函數的單調遞增區(qū)間為（,+∞），單調遞減區(qū)間為(0，)，∴當x=時，函數取極小值，極小值為2﹣ln3;（2）證明：根據題意，g(x）=f（x）+a（x﹣1）=lnx+﹣a，（x＞0）,因為x1，x2是函數g（x）的兩個零點，∴l(xiāng)nx1+﹣a=0,lnx2+﹣a=0，兩式相減，可得ln=﹣，即ln=，故x1x2=．那么x1=，x2=令t=，其中0＜t＜1,則x1+x2=+=．構造函數h（t)=t﹣﹣2lnt，(0＜t＜1）,則h