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第1章1.5向量的數(shù)量積1.5.2數(shù)量積的坐標表示及其計算學習目標掌握數(shù)量積的坐標表示,會利用向量的坐標計算向量的長度、夾角(余弦值),會利用向量的坐標表示向量垂直的條件.
核心素養(yǎng):數(shù)學運算、邏輯推理新知學習一、向量數(shù)量積的坐標表示
例1
設(shè)向量a=(1,-2),向量b=(-3,4),向量c=(3,2),則向量(a+2b)·c=()A.(-15,12)
B.0
C.-3
D.-11C解析?(方法1)依題意可知,a+2b=(1,-2)+2(-3,4)=(-5,6),所以(a+2b)·c=(-5,6)·(3,2)=-5×3+6×2=-3.(方法2)(a+2b)·c=a·c+2b·c=1×3+(-2)×2+2(-3×3+4×2)=-3.二、向量的長度的坐標表示
三、向量的夾角的坐標表示
四、兩向量垂直的坐標表示
19典例剖析1.利用坐標法求數(shù)量積例1
已知a=(1,2),b=(3,4),求a·b,(a-b)·(2a+3b).一、平面向量數(shù)量積的計算
解:(1)設(shè)a=λb=(λ,2λ)(λ>0),則有a·b=λ+4λ=10,∴λ=2,∴a=(2,4).(2)∵b·c=1×2-2×1=0,a·b=10,∴(b·c)a=0a=0,(a·b)c=10(2,-1)=(20,-10).
D
D
A方法總結(jié):坐標法解決與幾何圖形有關(guān)的數(shù)量積的步驟(1)建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?,求出向量起點、終點的坐標;(2)通過起點、終點坐標求出向量坐標;(3)利用數(shù)量積的坐標運算求解.二、向量模的有關(guān)計算
D
BD
方法總結(jié):利用坐標運算求模的最值或范圍的方法利用坐標運算求模的最值或范圍一般轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值、值域或結(jié)合基本不等式求解.
三、利用坐標運算解決夾角與垂直問題
CABD
C
A
例7
已知正方形ABCD,E,F(xiàn)分別是CD,AD的中點,BE,CF交于點P,連接AP,求證:
(1)BE⊥CF;
(
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