第六章常微分方程1

第六章常微分方程例

經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),電飯鍋銷售速度與當(dāng)時(shí)的銷量成正比.建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型以預(yù)測(cè)銷量.解：設(shè)x(t)表示t時(shí)刻的銷量,x0為初始時(shí)刻t0

的銷量,模型1其中k為常數(shù)。解得x(t)=x0ek(t-t0)。當(dāng)k>0,t

時(shí)，x(t)

，這對(duì)于銷售初期可認(rèn)為是合適的，長(zhǎng)期顯然不合適。產(chǎn)品銷售量的增長(zhǎng)設(shè)x

為全部需要量，那么銷售速度與當(dāng)時(shí)的潛在需要量(1-x/x

)成正比模型2設(shè)t0=0(年),x0=1(萬臺(tái)),x

=100(萬臺(tái))k=0.9(年-1萬臺(tái)-1)，短期預(yù)報(bào)二個(gè)模型相近,但作為長(zhǎng)期預(yù)報(bào),后者較前者合理。當(dāng)然后者也有不盡合理之處，比如x

難以確定，未考慮產(chǎn)品更新?lián)Q代等。1.微分方程的概念常微分方程:f(t,y,y’,y’’,…,y(n))=0微分方程組:聯(lián)系一些未知函數(shù)的一組微分方程線性常微分方程:y(n)+a1(t)y(n-1)+…+an-1(t)y’+an(t)y=b(t)若ai(t)(i=1,…,n)與t無關(guān),稱為常系數(shù)的若b(t)=0,稱為齊次的一、預(yù)備知識(shí):常微分方程2.初等積分法求微分方程的通解解：分離變量得：兩邊積分得即通解為從而常系數(shù)線性常微分方程的解為一個(gè)特解和相應(yīng)的齊次微分方程通解的疊加。3.線性微分方程齊次微分方程的解可用特征根法求得特征方程為

2+p+q=0

1≠2時(shí)，

1=2時(shí)，

=α±iβ，解特征方程為

2+0.2

+3.92=0?roots([10.23.920]求得共軛復(fù)根+i=-0.1

1.9774i,通解為

=α±iβ，

1≠2時(shí)，

1=2時(shí)，例1求的通解4.初值問題數(shù)值解數(shù)值解法:尋求解y(t)在一系列離散節(jié)點(diǎn)t0<t1<…<tn<tf上的近似值yk(k=0,1,…n)。hk=tk+1－tk為步長(zhǎng)，通常取為常量h。其中高階常微分方程初值問題可以化為一階常微分方程組，已給一個(gè)n階方程 y(n)=f(t,y,y’,…,y(n-1))設(shè)y1=y,y2=y’,…,yn=y(n-1),化為一階方程組例求的解解：令則解得即于是y0：表示初值向量y0；t：表示節(jié)點(diǎn)列向量(t0,t1,…,tn)T；y：數(shù)值解矩陣,每一列對(duì)應(yīng)y的一個(gè)分量,若無輸出參數(shù)，則作出圖形二、解常微分方程的MATLAB命令

初值問題求解

常用格式[t,y]=ode45(odefun,tspan,y0)odefun：表示f(t,y)的函數(shù)句柄或Inline函數(shù)t是標(biāo)量，y是標(biāo)量或向量；tspan：