《高等數(shù)學(xué)與工程數(shù)學(xué)》課件第一章 初等數(shù)學(xué)提要及重要公式

第一章初等數(shù)學(xué)提要及重要公式第一節(jié)初等代數(shù)第二節(jié)常用的初等幾何公式第三節(jié)三角函數(shù)第四節(jié)平面解析幾何第五節(jié)排列與組合第六節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)一Mathematica入門和一元函數(shù)的圖形繪制第一節(jié)初等代數(shù)一、實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)系表如下.

我們把規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和長(zhǎng)度單位的直線稱為數(shù)軸，如圖1-1所示.圖1-1數(shù)軸實(shí)數(shù)的全體和數(shù)軸之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.二、乘法公式及分解因式由實(shí)數(shù)概念及運(yùn)算性質(zhì)很容易得到下面常用的公式.三、一元二次方程解四、不等式1.基本性質(zhì)2.重要不等式3.絕對(duì)值不等式絕對(duì)值定義解五、指數(shù)與對(duì)數(shù)1.指數(shù)2.對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)，底數(shù)，真數(shù).①②③④運(yùn)算規(guī)則：換底公式：常用對(duì)數(shù),自然對(duì)數(shù)，解證解六、集合初步1.集合的基本概念集合.元素.自然數(shù)集：記作整數(shù)集，記作有理數(shù)集，記作實(shí)數(shù)集，記作復(fù)數(shù)集，記作2.集合的表示法3.集合與集合的關(guān)系子集，記作：真子集,相等，交集,并集，全集，補(bǔ)集，閉區(qū)間，開區(qū)間，半開半閉區(qū)間，解解第二節(jié)常用的初等幾何公式第三節(jié)三角函數(shù)一、角的度量1度的角，1弧度的角，二、任意角的三角函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)余切函數(shù)正割函數(shù)余割函數(shù)圖1-6三象函數(shù)定義示意三、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（表1-2）表1-2同角三角函數(shù)關(guān)系平方關(guān)系商的關(guān)系倒數(shù)關(guān)系四、三角函數(shù)式的恒等變換（表1-3）表1-3三角函數(shù)式的恒等變換半角公式積化和差公式倍角公式半角公式加法定理萬能公式和差化積公式三角形內(nèi)的邊角關(guān)系：五、三象函數(shù)的圖像及性質(zhì)(a)(b)圖1-7正弦函數(shù)與余弦函數(shù)(a)(b)圖1-8正切函數(shù)與余切函數(shù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)的性質(zhì)見表1-4.表1-4三角函數(shù)性質(zhì)奇偶性周期性值域定義域項(xiàng)目解解解解解證六、反三角函數(shù)表1-5反三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)性質(zhì)圖像值域定義域函數(shù)式反余切函數(shù)的主值反正切函數(shù)的主值反余弦函數(shù)的主值反正弦函數(shù)的主值項(xiàng)目第四節(jié)平面解析幾何一、直線1.直線的傾斜角與斜率2.直線方程直線方程的各種形式（表1-6）一般式截距式斜截式兩點(diǎn)式點(diǎn)斜式說明方程已知條件名稱3.兩條直線的位置關(guān)系二、距離公式1.兩點(diǎn)間距離公式2.點(diǎn)到直線的距離公式3.兩條平行線間的距離證解解三、二次曲線1.圓的方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的一般方程.解2.橢圓的方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.長(zhǎng)半軸，短半軸，個(gè)焦點(diǎn)(如圖1-9).離心率，準(zhǔn)線.3.雙曲線方程雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,實(shí)半軸,虛半軸.焦點(diǎn).(如圖1-11)漸近線，準(zhǔn)線.4.拋物線方程解解①①圖1-17例5示意四、參數(shù)方程1.參數(shù)方程的概念曲線的參數(shù)方程.參變量，簡(jiǎn)稱參數(shù).2.幾種常見曲線的參數(shù)方程①②③④五、極坐標(biāo)1.極坐標(biāo)系極點(diǎn),極軸，如圖1-18所示.極半徑，極角，極坐標(biāo)，圖1-18點(diǎn)P的極坐標(biāo)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，2.曲線的極坐標(biāo)方程極坐標(biāo)方程.常見的極坐標(biāo)方程見表1-7.圖像方程表1-7常見的極坐標(biāo)方程及圖像第五節(jié)排列與組合一、加法原理與乘法原理1.加法原理2.乘法原理解二、排列1.定義1排列數(shù)，選排列；全排列.解解2.重復(fù)排列可重復(fù)排列(簡(jiǎn)稱，重復(fù)排列).重復(fù)的排列數(shù)，解三、組合1.定義2組合，組合數(shù)，解例7

某50件商品中含2件次品，其余為正品，從中任取3件.(1)3件都是正品，有多少種不同的取法？(2)3件中恰有一件次品，有多少種不同的取法？(3)3件中最多有一件次品，有多少種不同的取法？(4)3件中至少有一件次品，有多少種不同的取法？解2.組合數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1：性質(zhì)2：*第六節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)一Mathematica入門及簡(jiǎn)單應(yīng)用一、Mathematica

入門Mathematica是一個(gè)功能強(qiáng)大的計(jì)算機(jī)應(yīng)用軟件,由美國WolframResearch公司開發(fā),自1988年Mathematica1.0推出后,在計(jì)算技術(shù)領(lǐng)域引起了很大震動(dòng),使得WolframResearch公司成為世界軟件工業(yè)的先驅(qū),并被廣泛認(rèn)為是技術(shù)和商業(yè)領(lǐng)域的佼佼者.1.Mathematica

簡(jiǎn)介Mathematica是一個(gè)完全集成環(huán)境下的符號(hào)運(yùn)算系統(tǒng),具有強(qiáng)大的數(shù)值運(yùn)算功能、符號(hào)運(yùn)算功能和繪圖功能.利用Mathema-tica可能做任意位精度的數(shù)值計(jì)算.如今,Mathematica已廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)以及工程領(lǐng)域，被認(rèn)為是現(xiàn)代技術(shù)的標(biāo)志.2.

Mathematica

的數(shù)值計(jì)算與符號(hào)運(yùn)算3.Mathematica

的數(shù)學(xué)常數(shù)和數(shù)學(xué)函數(shù)

4.自定義函數(shù)Mathematica

中可以使用自定義函數(shù)，自定義函數(shù)格式為：

如果知道Mathematica函數(shù)名稱,或知道函數(shù)名稱的前幾個(gè)字母,可以在Mathematica工作區(qū)內(nèi)輸入相應(yīng)命令,查詢內(nèi)部函數(shù)的有關(guān)信息.

5.獲得Mathematica的幫助

也可以在Mathematica集成界面菜單欄上,點(diǎn)擊菜單Help的子菜單HelpBrowser,打開Mathematicar的幫助瀏覽器.在幫助瀏覽器中你可以獲得更為詳細(xì)的信息,包括使用函數(shù)的一些例子.二、一元函數(shù)圖形的繪制1.學(xué)會(huì)Mathematica命令

Plot[表達(dá)式，{自變量，下限，上限}，可選項(xiàng)]，其中表達(dá)式是需要繪制其圖形的函數(shù)的表達(dá)式，下限和上限表示自變量的取值范圍.

Plot[{表達(dá)式1，表達(dá)式2,…}，{自變量，下限，上限}，可選項(xiàng)]，在一個(gè)坐標(biāo)系中繪制由表達(dá)式1、表達(dá)式2等表示的若干個(gè)函數(shù)的圖形.

可選項(xiàng)可以有也可以沒有，沒有可選項(xiàng)時(shí)系統(tǒng)按默認(rèn)值處理.它的表示方法是：

(1)Mathematica的繪圖命令調(diào)用格式為可選項(xiàng)名——＞可選項(xiàng)的值.比如可選項(xiàng)PlotRange,它表示坐標(biāo)軸的顯示范圍，系統(tǒng)默認(rèn)值是Automatic．可以指定坐標(biāo)軸的顯示范圍：可選頂AspectRatio表示坐標(biāo)軸的縱橫比例，即縱坐標(biāo)軸長(zhǎng)度單位，