（大學(xué)課件）概率統(tǒng)計(jì)：條件概率與事件的獨(dú)立性

§1.4

條件概率與事件的獨(dú)立性1.4.1條件概率1.4.2獨(dú)立性§1.4.1條件概率

實(shí)際中，有時(shí)會(huì)遇到在某一事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下，求另一事件B發(fā)生的概率，稱這種概率為A發(fā)生的條件下B發(fā)生的條件概率。計(jì)為

例1

一個(gè)家庭中有兩個(gè)小孩，已知其中一個(gè)是女孩，問(wèn)另一是男孩的概率是多大（假定一個(gè)小孩是男還是女是等可能的）？

解

觀察兩個(gè)小孩性別的隨機(jī)試驗(yàn)所構(gòu)成的樣本空間

={(男,男)、(男,女)、(女,男)、(女,女)}．設(shè)A={兩個(gè)小孩中至少有一個(gè)男孩}，B={兩個(gè)小孩中至少有一個(gè)女孩}，從而A={(男,男),(男,女),(女,男)}，B={(女,女),(男,女),(女,男)}.

顯然，P(A)=P(B)=3/4．現(xiàn)在B已經(jīng)發(fā)生，排除了有兩個(gè)男孩的可能性，相當(dāng)于樣本空間由原來(lái)的

縮小到現(xiàn)在的

B=B，而事件相應(yīng)地縮小到={(男,女)，(女,男)}，因此

定義1

設(shè)A，B為隨機(jī)試驗(yàn)E的兩個(gè)事件，且P(B)＞0，則稱一、條件概率為在事件B已發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的條件概率.注：條件概率與普通概率有相類似的性質(zhì)：如：若BC＝Φ，則P((B+C)|A)=P(B|A)+P(C|A).

例2

設(shè)某種動(dòng)物由出生而活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率為0.4，求現(xiàn)齡為20歲的這種動(dòng)物活到25歲的概率？

解設(shè)A={活到20歲}，B={活到25歲}，

則P(A)=0.8,P(B)=0.4.于是所求概率為

由于A

B，有AB=B，因此P(AB)=P(B)=0.4，

關(guān)于條件概率的計(jì)算，往往采用如下兩種方法：

(1)在縮減的樣本空間上直接計(jì)算。

(2)利用公式計(jì)算。

例3

甲、乙兩城市都位于長(zhǎng)江下游，根據(jù)一百余年氣象記錄，知道甲、乙兩市一年中雨天占的比例分別為20%和18%，兩地同時(shí)下雨的比例為12%，求：

（1）乙市為雨天時(shí)，甲市也為雨天的概率；

（2）甲市為雨天時(shí)，乙市也為雨天的概率.

解

設(shè)A={甲市是雨天}，B={乙市是雨天}，P(A)=0.2，P(B)=0.18，P(AB)=0.12，則二、乘法公式若Ｐ(B)>0,則P(AB)=P(B)·P(A|B)

定理1

若P(A1A2…An-1)>0，則

P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)

P(A3|A1A2)

…P(An

｜A1A2…An-1).證反復(fù)應(yīng)用兩個(gè)事件的乘法公式，得到若Ｐ(A)>0,則P(AB)=P(A)·P(B|A)

例4

今有一張足球票，n個(gè)人都想得到，故采用抽簽的辦法分配這張票，試?yán)贸朔ü秸f(shuō)明每人得到足球票的概率都是1/n．

解將外形相同的個(gè)標(biāo)簽讓個(gè)人依次抽取，事先將足球票放在某標(biāo)簽中．記Ai={第i人抽到足球票}，則．由公式得

例5

一袋中裝有a只白球，b只黑球，每次任取一球，取后放回，并且再往袋中加進(jìn)c只與取到的球同色的球，如此連續(xù)取三次，試求三次均為黑球的概率．

解

設(shè)A={三次取出的均為黑球}，Ai={第i次取出的是黑球}，i=1,2,3，則有A=A1A2A3．由題意得故

該摸球模型稱為卜里耶（Poloya）模型．上述概率顯然滿足不等式P(A1)＜P(A2|A1)＜P(A3|A1A2).

這說(shuō)明當(dāng)黑球越來(lái)越多時(shí)，黑球被抽到的可能性也就越來(lái)越大，這猶如某種傳染病在某地流行時(shí)，如不及時(shí)控制，則波及范圍必將越來(lái)越大；地震也是如此，若某地頻繁地發(fā)生地震，從而被認(rèn)為再次爆發(fā)地震的可能性就比較大．所以，卜里耶模型常常被用作描述傳染病傳播或地震發(fā)生的數(shù)學(xué)模型．1.4.2事件的獨(dú)立性一、事件的獨(dú)立性

一般地

P(A|B)≠P(A),即B的發(fā)生，會(huì)對(duì)A的發(fā)生產(chǎn)生影響，但在某些情況下有Ｐ(A|B)＝P(A)，如：設(shè)盒中3個(gè)白球，3個(gè)紅球，從中取球兩次，每次一個(gè)，就a)不放回取樣;b)放回取樣;求下列事件的概率：

(1)第二次取得紅球的概率；

(2)在第一次取得白球的條件下，第二次取得紅球的概率

解設(shè)Ａ＝{第一次取得白球}，Ｂ＝{第二次取得紅球},a)不放回取樣

(1)P(B)=2/5,(2)P(B|A)=2/4,

P(B)≠P(B|A);b)放回取樣

(2)

P(B)=2/5,(2)P(B|A)=2/5,

P(B)＝P(B|A).一、兩個(gè)事件的獨(dú)立性1.定義設(shè)A、B二事件，如果滿足等式

P(AB)=P(A)P(B),則稱A、B為相互獨(dú)立的事件。由定義得：必然事件

及不可能事件與Φ任何事件都相互獨(dú)立。2.性質(zhì)1)若P(A)>0,P(B)>0,

則A和B獨(dú)立P(B|A)=P(B);P(A|B)=P(A)。所以和B相互獨(dú)立．

例6

分別擲兩枚均勻的硬幣，令A(yù)={硬幣甲出現(xiàn)正面H}，B={硬幣乙出現(xiàn)反面T}，試驗(yàn)證A、B相互獨(dú)立．

解樣本空間

={HH,HT,TH,TT}共含有4個(gè)基本事件，它們發(fā)生的概率均為1/4．而A={HH,HT}，B={HT,TT}，AB={HT}，故有P(A)=P(B)=1/2，P(AB)=1/4，P(AB)=P(A)P(B)

，所以A、B相互獨(dú)立．

從直觀上看，例6中的事件A與B顯然是相互獨(dú)立的，因?yàn)橛矌偶壮霈F(xiàn)正面與否對(duì)硬幣乙是否出現(xiàn)反面毫無(wú)影響．在實(shí)際應(yīng)用中，人們常常根據(jù)事件的實(shí)際意義去判斷事件的獨(dú)立性．一般地，若由實(shí)際情況分析，A、B兩事件之間沒(méi)有關(guān)聯(lián)或關(guān)聯(lián)很微弱，就認(rèn)為它們是相互獨(dú)立的．例如A、B分別表示甲、乙兩人患感冒,如果甲在上海，乙在重慶，就認(rèn)為A、B相互獨(dú)立，若甲、乙兩人同住一個(gè)房間，那就不能認(rèn)為A、B相互獨(dú)立了．下面的定理2是顯然的。

定理2

設(shè)A、B是兩事件，且P(B)＞0，則A、B相互獨(dú)立的充分必要條件是P(A|B)=P(A)．

定理3

若事件A與B相互獨(dú)立，則下列各對(duì)事件也相互獨(dú)立．與B；A與；與．證

由于，，且A與B獨(dú)立，所以故與B獨(dú)立．由A與B的對(duì)稱性，可見(jiàn)A與也相互獨(dú)立．對(duì)于A與重復(fù)應(yīng)用上述證明方法，可得與亦相互獨(dú)立．

事實(shí)上，在四對(duì)事件A與B

、與B、A與、與中，只要有一對(duì)相互獨(dú)立，則其余三對(duì)也必定相互獨(dú)立．

值得注意的是，事件A、B相互獨(dú)立與A、B互不相容有著本質(zhì)的區(qū)別。不相容意味著A發(fā)生就不能B發(fā)生，或B發(fā)生就不能A發(fā)生，因此A發(fā)生與否跟B發(fā)生與否不是無(wú)關(guān)的，恰恰是極其有關(guān)；當(dāng)P(A)＞0，P(B)＞0時(shí)，互不相容一定不相互獨(dú)立，相互獨(dú)立一定不互不相容；只有當(dāng)P(A)和P(B)中至少有一個(gè)為0時(shí)，A和B才可能既相互獨(dú)立又互不相容．

例7

甲、乙兩人各向一架敵機(jī)炮擊一次。已知甲擊中敵機(jī)的概率為0.6，乙擊中敵機(jī)的概率為0.5。求敵機(jī)被擊中的概率。

解

設(shè)A={甲擊中敵機(jī)}，B={乙擊中敵機(jī)}，C=目標(biāo)被擊中。由于

C=A＋B，且A，B獨(dú)立得

=1-0.4×0.5=0.8或P(C)=P(A＋B)=P(A)+P(B)－P(AB)

=P(A)+P(B)－P(A)P(B)=0.6+0.5-0.6×0.5=0.8

例8

有甲、乙兩批種子，發(fā)芽率分別為0.8和0.7，從兩批種子中各隨機(jī)地抽取一粒，求：

（1）兩粒都能發(fā)芽的概率；

（2）至少有一粒種子能發(fā)芽的概率；

（3）恰好有一粒種子能發(fā)芽的概率。

解

設(shè)以A、B分別表示取自甲、乙兩批種子中的某粒種子發(fā)芽這一事件，則所求的概率為

由于P(A)=0.8，P(B)=0.7，且A、B相互獨(dú)立，故有

P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.7=0.56，二、多個(gè)事件的獨(dú)立性1.3個(gè)事件的獨(dú)立性的定義三個(gè)事件A、B、C，如果滿足下面四個(gè)等式則稱三事件A、B、C相互獨(dú)立。

如果A、B、C僅滿足上式中的前三個(gè)等式，則稱三事件A、B、C兩兩相互獨(dú)立。事件兩兩獨(dú)立，不一定相互獨(dú)立。2.

n個(gè)事件的獨(dú)立性的定義

定義3

n個(gè)事件A1,A2,…,An，如果對(duì)于任意k（1＜k≤n），任意1≤i1＜i2＜…ik≤n，滿足等式則稱A1，A2，…An是相互獨(dú)立的事件。要