控制工程基礎(chǔ)全冊電子教案

控制工程基礎(chǔ)全冊電子教案課題名稱(含教材章節(jié)):第一章緒論教學目的和要求：1.了解控制系統(tǒng)的發(fā)展歷史；2.熟悉控制系統(tǒng)概念及組成、分類，掌握對控制系統(tǒng)的性能要求。1.自動控制系統(tǒng)的基本概念、分類及性能要求；2.控制理論的發(fā)展；3.控制理論在機械制造工業(yè)中的應用；4.課程主要學習內(nèi)容及學時安排。1.1自動控制系統(tǒng)的基本概念一、自動控制自動控制，是指在沒有人直接參與的情況下，利用外加的設(shè)備或裝置(稱為控制器或控制裝置),使機器、設(shè)備或生產(chǎn)過程(統(tǒng)稱被控對象)的某個工作狀態(tài)或參數(shù)(統(tǒng)稱被控量)自動地按照預定的規(guī)律運行。自動控制系統(tǒng)，是指能夠?qū)Ρ豢刂茖ο蟮墓ぷ鳡顟B(tài)進行自動控制的系統(tǒng)。如：數(shù)控機床、室內(nèi)溫度控制、機車、船舶及飛機自動駕駛、導彈制導等。舉例：恒溫箱的人工控制與自動控制。人工控制的恒溫箱如圖1-1所示。溫度計溫度計加熱電阻絲調(diào)壓器圖1-1人工控制的恒溫箱1.觀測恒溫箱內(nèi)的溫度(被控制量);2.與要求的溫度(給定值)進行比較，得到溫度偏差的大小和方向；3.根據(jù)偏差大小和方向調(diào)節(jié)調(diào)壓器，控制加熱電阻絲的電流以調(diào)節(jié)溫度回復到要求值。人工控制過程的實質(zhì)：檢測偏差再糾正偏差。人工控制恒溫箱系統(tǒng)的功能框圖如圖1-2所示。期望期望實際大腦手調(diào)壓器恒溫箱溫度溫度圖1-2人工控制恒溫箱系統(tǒng)功能框圖給定信號比較電壓比較電壓放大器u+u+功率放大器執(zhí)行放大器電動機熱電偶調(diào)壓器熱電偶加熱電阻絲圖1-3恒溫箱自動控制系統(tǒng)恒溫箱自動控制系統(tǒng)如圖1-3所示。恒溫箱自動控制系統(tǒng)工作原理：1.恒溫箱實際溫度由熱電偶轉(zhuǎn)換為對應的電壓u2;2.恒溫箱期望溫度由電壓ui給定，并與實際溫度u2比較得到溫度偏差信號u=ui-u?;3.溫度偏差信號經(jīng)電壓、功率放大后，用以驅(qū)動執(zhí)行電動機，并通過傳動機構(gòu)拖動調(diào)壓器動觸頭。當溫度偏高時，動觸頭向減小電流的方向運動，反之加大電流，直到溫度達到給定值為止，此時，偏差u=0,電機停止轉(zhuǎn)動。恒溫箱自動控制系統(tǒng)的功能框圖如圖1-4所示。電壓功率放大給定電壓功率放大給定信號減速減速器調(diào)壓器溫度t(被控量溫度t(被控量Vnun(控制對象)熱電偶圖1-4恒溫箱自從恒溫箱控制系統(tǒng)功能框圖1.給定量位于系統(tǒng)的輸入端2.被控制量位于系統(tǒng)的輸出3.輸出量(全部或一部分)入量進行比較，產(chǎn)生偏差(給定4.用偏差信號產(chǎn)生控制調(diào)節(jié)由于存在輸出量反饋，上述減少系統(tǒng)的輸出量與參考輸入量——反饋控制系統(tǒng)。反饋控制系控制方式稱之為反饋控制——"注意：反饋控制系統(tǒng)中，反稱為負反饋。負反饋控制是實現(xiàn)二、控制系統(tǒng)的分類實際的控制系統(tǒng)根據(jù)有無反統(tǒng)和半閉環(huán)控制系統(tǒng)(反饋信號1.開環(huán)控制系統(tǒng)系統(tǒng)僅受輸入量和擾動量控輸出量在整個控制過程中對系統(tǒng)如圖1-5所示。動控制系統(tǒng)功能框圖可見,稱為系統(tǒng)輸入量。也稱為參考輸入量(信端，稱為系統(tǒng)輸出量。通過測量裝置返回系統(tǒng)的輸入端，使之與輸信號與返回的輸出信號之差)信號。作用去消除偏差，使得輸出量維持期望的輸系統(tǒng)能在存在無法預計擾動的情況下，自動(或者任意變化的希望的狀態(tài))之間的偏差統(tǒng)具備測量、比較和執(zhí)行三個基本功能。其檢測偏差再糾正偏差"。饋信號是與給定信號相減，使偏差越來越小，自動控制最基本的方法。饋作用可分為：開環(huán)控制系統(tǒng)、閉環(huán)控制系通過系統(tǒng)內(nèi)部的中間信號獲得)。制；輸出端和輸入端之間不存在反饋回路；的控制不產(chǎn)生任何影響。開環(huán)控制系統(tǒng)框圖圖1-5開環(huán)控制系統(tǒng)框圖優(yōu)點：簡單、穩(wěn)定、可靠。若組成系統(tǒng)的元件特性和參數(shù)值比較穩(wěn)定，且外界干擾較小，開環(huán)控制能夠保持一定的精度。缺點：精度通常較低、無自動糾偏能力。舉例如圖1-6開環(huán)數(shù)控系統(tǒng)所示。開環(huán)數(shù)控系統(tǒng)開環(huán)數(shù)控系統(tǒng)CNC插圖1-6開環(huán)數(shù)控系統(tǒng)2.閉環(huán)控制系統(tǒng)輸出端和輸入端之間存在反饋回路，輸出量對控制過程有直接影響。閉環(huán)的作用：應用反饋，減少偏差。閉環(huán)控制系統(tǒng)框圖如圖1-7所示。輸出量輸入量輸出量控制器對象或過程反饋量圖1-7閉環(huán)控制系統(tǒng)框圖優(yōu)點：精度高，對外部擾動和系統(tǒng)參數(shù)變化不敏感。缺點：存在穩(wěn)定、振蕩、超調(diào)等問題，系統(tǒng)性能分析和設(shè)計麻煩。舉例如圖1-8全閉環(huán)數(shù)控系統(tǒng)所示。少少全閉環(huán)數(shù)控系統(tǒng)實際位置反饋插補指令圖1-8全閉環(huán)數(shù)控系統(tǒng)3.3.閉環(huán)控制系統(tǒng)的基本組成反饋校正主反饋信號x6主反饋反饋元件放大變換信號e給定元件元件控制局部反饋串聯(lián)校正圖1-9閉環(huán)控制系統(tǒng)的組成控制工程主要研究閉環(huán)控制系統(tǒng)，其組成如圖1-9所示，主要包括以下七類元件：(1)給定元件：產(chǎn)生給定信號或輸入信號。(2)反饋元件：測量被控量，產(chǎn)生主反饋信號。(3)被控對象：控制系統(tǒng)所要操縱的對象。(4)比較元件：用來比較輸入信號和反饋信號的偏差。(5)放大元件：對偏差信號進行信號放大和功率放大。(6)執(zhí)行元件：直接對被控對象進行操作的元件。(7)反饋校正元件：用以穩(wěn)定控制系統(tǒng)，提高性能。控制系統(tǒng)的其他分類方法：按照系統(tǒng)輸入量是否為恒值可分為：1.恒值控制系統(tǒng)系統(tǒng)輸入量為恒定值。控制任務是保證在任何擾動作用下系統(tǒng)的輸出量2.隨動系統(tǒng)(伺服系統(tǒng))輸入量的變化規(guī)律不能預先確知，其控制要求是輸出量迅速、平穩(wěn)地跟隨輸入量的變化，并能排除各種干擾因素的影響，準確地復現(xiàn)輸入信號的變按照系統(tǒng)傳遞信號是否為連續(xù)信號可分為：1.連續(xù)控制系統(tǒng)系統(tǒng)中各部分傳遞的信號為隨時間連續(xù)變化的信號。連續(xù)控制系統(tǒng)通常采用微分方程描述。2.離散(數(shù)字)控制系統(tǒng)系統(tǒng)中某一處或多處的信號為脈沖序列或數(shù)字量傳遞的系統(tǒng)。離散控制系統(tǒng)通常采用差分方程描述。此外按系統(tǒng)是否為線性可分為線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)；系統(tǒng)參量變化是否為常數(shù)分為定常系統(tǒng)和時變系統(tǒng)；按控制方法分為機械、電氣、機電、液壓、氣動、熱力等控制系統(tǒng)；按控制被控量的性質(zhì)可分為溫度、壓力、位置等控制系統(tǒng)等等。三、對控制系統(tǒng)的基本要求1.穩(wěn)定性系統(tǒng)動態(tài)過程的振蕩傾向及其恢復平衡狀態(tài)的能力。穩(wěn)定的系統(tǒng)當輸出量偏離平衡狀態(tài)時，其輸出能隨時間的增長收斂并回到初始平衡狀態(tài)。穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)正常工作的先決條件。這里討論的控制系統(tǒng)穩(wěn)定性由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)所決定，與外界因素無關(guān)?？刂凭?，主要以穩(wěn)態(tài)誤差來衡量。穩(wěn)態(tài)誤差：系統(tǒng)的調(diào)整(過渡)過程結(jié)束而趨于穩(wěn)定狀態(tài)時，系統(tǒng)輸出量的實際值與給定量之間的差值。3.快速性輸出量和輸入量產(chǎn)生偏差時，系統(tǒng)消除這種偏差的快慢程度。快速性表征系統(tǒng)的動態(tài)性能。不同性質(zhì)的控制系統(tǒng)，對穩(wěn)定性、精確性和快速性要求各有側(cè)重。系統(tǒng)的穩(wěn)定性、精確性、快速性相互制約，應根據(jù)實際需求合理選擇。1.2控制工程的發(fā)展公元前1400-1100年，中國、埃及和巴比倫相繼出現(xiàn)自動計時漏壺，人類產(chǎn)生了最早期的控制思想。公元100年，亞歷山大的希羅發(fā)明開閉廟門和分發(fā)圣水的自動計時裝置。公元1788年，英國人J.Watt用離心式調(diào)速器控制蒸汽機的速度，由此產(chǎn)生了第一次工業(yè)革命。1868年：J.C.Maxwell發(fā)表《調(diào)速器》,提出反饋控制的概念及穩(wěn)定性1884年：E.J.Routh提出勞斯穩(wěn)定性判據(jù)。1892年：A.M.Lyapunov提出李雅普諾夫穩(wěn)定性理論。1895年：A.Hurwitz提出赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)。1932年：H.Nyquist提出乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)。1945年：H.W.Bode提出反饋放大器的一般設(shè)計方法1948年：N.Wiener發(fā)表《控制論》,標志經(jīng)典控制理論基本形成；經(jīng)典控制理論以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)，主要研究單輸入一單輸出(SISO)系統(tǒng)的分析和控制問題。1950年：W.R.Evans提出根軌跡法，進一步充實了經(jīng)典控制論。1954年：錢學森用英文出版《工程控制論》,首先把控制論推廣到工程技術(shù)領(lǐng)域50年代末60年代初：現(xiàn)代控制理論形成；現(xiàn)代控制理論以狀態(tài)空間法為基礎(chǔ)，主要分析和研究多輸入-多輸出(MIMO)、時變、非線性等系統(tǒng)的最優(yōu)控制、最優(yōu)濾波、系統(tǒng)辨識、自適應控制、智能控制等問題；控制理論研究的重點開始由頻域移到從本質(zhì)上說是時域的狀態(tài)空間方法。1956年：龐特里亞金(IⅡIOHTPHTMH,π.C.)提出極大值原理。1957年：R.I.Bellman提出動態(tài)規(guī)劃理論。1960年：R.E.Kalman提出卡爾曼濾波理論1960～1980年：確定性系統(tǒng)的最優(yōu)控制、隨機系統(tǒng)的最優(yōu)控制、復雜系統(tǒng)的自適應和自學習控制1980迄今：魯棒控制、Hao控制、非線性控制、智能控制等。接著短短的幾十年里，在各國科學家和科學技術(shù)人出現(xiàn)了生物控制論，經(jīng)濟控制論和社會控制論等，控制理論已經(jīng)滲透到各個領(lǐng)域，并伴隨著其它科學技術(shù)的發(fā)展，極大地改變了整個世界?？刂评碚撟陨硪苍趧?chuàng)造人類文明中不斷向前發(fā)展?？刂评碚摰闹行乃枷胧峭ㄟ^信息的傳遞、加工處理制，控制理論是信息學科的重要組成方面。根據(jù)自動控制理論的內(nèi)容和發(fā)展的不同階段，控制理論"和“現(xiàn)代控制理論"兩大部分。"經(jīng)典控制理論"的內(nèi)容是以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)，以頻率法和根軌跡法作為分析和綜合系統(tǒng)基本方法，主要研究單輸入，單輸出這類控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計問題。.3控制理論在機械制造工業(yè)中的應用機電工業(yè)是我國最重要的支柱產(chǎn)業(yè)之一，而傳統(tǒng)的機電產(chǎn)品正在向機一體化(Mechatronics)方向發(fā)展。機電一體化產(chǎn)品或系統(tǒng)的顯著特點是控制自動化。機電控制型產(chǎn)品技術(shù)含量高，附加值大，在國內(nèi)外市場上具有很強的競爭優(yōu)勢，形成機電一體化產(chǎn)品發(fā)展的主流。當前國內(nèi)外機電結(jié)合型產(chǎn)品，諸如典型的工業(yè)機器人，數(shù)控機床，自動導引車等都廣泛地應用了控制理論。舉例：機器人關(guān)節(jié)伺服系統(tǒng)(圖1-10);數(shù)控機床(圖1-11);自動導引小車(AGV)(圖1-12)。伺服放大器功率數(shù)字器器電路++圖1-10機器人關(guān)節(jié)伺服系統(tǒng)圖1-11數(shù)控機床圖1-12自動導引小車1.4課程主要內(nèi)容及學時安排一、本課程的基本要求包括：(1)掌握機電反饋控制系統(tǒng)的基本概念，其中包括機電反饋控制系統(tǒng)的基本原理、機電反饋控制系統(tǒng)基本組成、開環(huán)控制、閉環(huán)控制等；(2)掌握建立機電系統(tǒng)動力學模型的方法；(3)掌握機電系統(tǒng)的時域分析方法；(4)掌握機電系統(tǒng)的頻域分析方法；(5)掌握模擬機電控制系統(tǒng)的分析及設(shè)計綜合方法。章(節(jié))內(nèi)容學時實驗(上機)學時(習題課)學時學時一、緒論22型882426266合計6控制工程基礎(chǔ)教案年至年第學期第周星期課題名稱(含教材章節(jié)):第二章控制系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學模型教學目的和要求：1、掌握線性系統(tǒng)微分方程的建立和拉普拉斯變換；2、掌握傳遞函數(shù)的定義，典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)；3、掌握開環(huán)控制系統(tǒng)，閉環(huán)控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)的計算方法.教學重點：掌握開環(huán)控制系統(tǒng)，閉環(huán)控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)的計算方法教學難點：動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的繪制及等效變換1.拉氏變換及反拉變換；2.傳遞函數(shù)的定義、性質(zhì)；3.典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)；4.動態(tài)結(jié)構(gòu)圖及等效變換；5.閉環(huán)控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)的運算，方塊圖的變換。一、數(shù)學模型的基本概念數(shù)學模型是描述系統(tǒng)輸入、輸出量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學表達式，它揭示了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其參數(shù)與其性能之間的內(nèi)在關(guān)系。經(jīng)典控制理論：以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)。現(xiàn)代控制理論：以狀態(tài)空間方程為基礎(chǔ)。而以物理定律及實驗規(guī)律為依據(jù)的微分方程又是最基本的數(shù)學模型，是列寫傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間方程的基礎(chǔ)。建立數(shù)學模型的方法：依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理或化學規(guī)律列寫出相應的數(shù)學關(guān)系式，建立模型。人為地對系統(tǒng)施加某種測試信號，記錄其輸出響應，并用適當?shù)臄?shù)學模型進行逼近。這種方法也稱為系統(tǒng)辨識。數(shù)學模型應能反映系統(tǒng)內(nèi)在的本質(zhì)特征，同時應對模型的簡潔性和精確性進行折衷考慮。二、質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)機電控制系統(tǒng)的受控對象是機械系統(tǒng)。在機械系統(tǒng)中，有些構(gòu)件具有較大的慣性和剛度，有些構(gòu)件則慣性較小、柔度較大。在集中參數(shù)法中，我們將前一類構(gòu)件的彈性忽略將其視為質(zhì)量塊，而把后一類構(gòu)件的慣性忽略而視為無質(zhì)量的彈簧。這樣受控對象的機械系統(tǒng)可抽象為質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)。例：進給傳動裝置示意圖及等效力學模型WkDWkDWJ12m-?MD?D??系統(tǒng)2系統(tǒng)3機械系統(tǒng)中以各種形式出現(xiàn)的物理現(xiàn)象，都可簡化為質(zhì)量、彈簧和阻尼三個要素：1.質(zhì)量：牛頓第二定律m參考點圖2-2質(zhì)量2.彈簧：胡克定律圖2-3彈簧3.阻尼：阻尼力與速度成正比D圖2-4阻尼例：機械平移系統(tǒng)圖2-5機械平移系統(tǒng)講解時注意：靜止(平衡)工作點作為零點，以消除重力的影響化簡上述三式可得：;D;D方程描述。顯然，微分方程的系數(shù)取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)儲能元件(慣性質(zhì)量、彈簧)的數(shù)量。0kD圖2-6機械平移系統(tǒng)系統(tǒng)運動方程為一階常系數(shù)微分方程。k柔性軸粘性液體齒輪端J圖2-7機械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)例：組合機床動力滑臺及其力學模型動力滑臺DkMD圖2-8組合機床動力滑臺及其力學模型三、電路系統(tǒng)電路系統(tǒng)三個基本元件：電阻、電容和電感。1.電阻：歐姆定律“()圖2-9歐姆定律圖2-10電容圖2-11電感一般R、L、C均為常數(shù)，上式為二階常系數(shù)微分方程。若L=0,則系統(tǒng)簡化為：即可得：四、電動機OOCuo(1aR-+ODJ星T圖2-14電動機等效電路原理圖磁場對載流線圈作用的定律：基爾霍夫定律：電磁感應定律：牛頓第二定律：LJ6()+(L,D+RJ)δ,(T)+(R,D+K,K.)θ,(t)為電樞控制式直流電動機的控制系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學模型。當電樞電感較小時，通常可忽略不計，系統(tǒng)微分方程可簡化為R,J6,(t)+(R,D+K,K)θ,(t)=五、小結(jié)1.建立數(shù)學模型的一般步驟：(1)分析系統(tǒng)工作原理和信號傳遞變換的過程，確定系統(tǒng)和各元件的輸入、輸出量；(2)從輸入端開始，按照信號傳遞變換過程，依據(jù)各變量遵循的物理學定律，依次列寫出各元件、部件的動態(tài)微分方程；(3)消去中間變量，得到描述元件或系統(tǒng)輸入、輸出變量之間關(guān)系的微分(4)標準化：右端輸入，左端輸出，導數(shù)降冪排列2.單輸入、單輸出微分方程的一般形式式中，a?,a?,…,a和b,b?,…,b,為由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的實常數(shù)，2.2數(shù)學模型的線性化一、線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)1.線性系統(tǒng)可以用線性微分方程描述的系統(tǒng)。如果方程的系數(shù)為常數(shù)，則為線性定常系統(tǒng)；如果方程的系數(shù)是時間t的函數(shù)，則為線性時變系統(tǒng)；線性是指系統(tǒng)滿足疊加原理，即：可加性：齊次性：或2.非線性系統(tǒng)用非線性微分方程描述的系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)不滿足疊加原理。實際的系統(tǒng)通常都是非線性的，線性只在一定的工作范圍內(nèi)成立。為分析方便，通常在合理的條件下，將非線性系統(tǒng)簡化為線性系統(tǒng)處理。線性化：在一定條件下作某種近似或縮小系統(tǒng)工作范圍，將非線性微分方程近似為線性微分方程進行處理。二、非線性系統(tǒng)數(shù)學模型的線性化1.泰勒級數(shù)展開法函數(shù)y=f(x)在其平衡點(xo,yo)附近的泰勒級數(shù)展開式為：略去含有高于一次的增量△x=x-x的項，則：上式即為非線性系統(tǒng)的線性化模型，稱為增量方程。y=f(x?)稱為系統(tǒng)的靜態(tài)方程；由于反饋系統(tǒng)不允許出現(xiàn)大的偏差，因此，這種線性化方法對于閉環(huán)控制系統(tǒng)具有實際意義。增量方程的數(shù)學含義就是將參考坐標的原點移到系統(tǒng)或元件的平衡工作點上，對于實際系統(tǒng)就是以正常工作狀態(tài)為研究系統(tǒng)運動的起始點，這時，系統(tǒng)所有的初始條件均為零。對多變量系統(tǒng)，如：y=f(x,x?),同樣可采用泰勒級數(shù)展開獲得線性化的增量方程。增量方程：靜態(tài)方程：,2.滑動線性化——切線法線性化增量方程為：Vo圖2-15滑動線性化切線法是泰勒級數(shù)法的特例。三、系統(tǒng)線性化微分方程的建立1.建立步驟：(1)確定系統(tǒng)各組成元件在平衡態(tài)的工作點；(2)列出各組成元件在工作點附近的增量方程；(3)消除中間變量，得到以增量表示的線性化微分方程；例：單擺運動線性化801圖2-16單擺運動T(1)-mglsinθ。(t)=ml2將非線性在θ。=0點附近泰勒展開例：閥控液壓缸PooXQX0XQXPMP圖2-17閥控液壓缸液壓腔工作腔流動連續(xù)性方程為：液壓腔力平衡方程為：2.線性化處理的注意事項線性化是有條件的，必須注意線性化方程適用的工作范圍；某些典型的本質(zhì)非線性，如繼電器特性、間隙、死區(qū)、摩擦等，由于存在不連續(xù)點，不能通過泰勒展開進行線性化，只有當它們對系統(tǒng)影響很小時才能忽略不計，否則只能作為非線性問題處理。2.3拉式變換及反變換一、拉氏變換設(shè)函數(shù)f(t)(t≥0)在任一有限區(qū)間上分段連續(xù)，且存在一正實常數(shù)σ,使則函數(shù)f(t)的拉普拉氏變換存在，并定義為：式中：s=σ+jo(σ,均為實數(shù))為復變數(shù)；稱為拉普拉斯積分。F(s)稱為函數(shù)f(1)的拉普拉斯變換或象函數(shù)，它是一個復變函數(shù)；f(t)稱為F(s)的原函數(shù)；L為拉氏變換的符號。二、拉氏反變換為拉氏反變換的符號。Laplace(拉普拉斯)變換是描述、分析連續(xù)、線性、時不變系統(tǒng)的重要工具!拉氏變換可理解為廣義單邊傅立葉變換。傅氏變換建立了時域和頻域間的聯(lián)系，而拉氏變換建立了時域和復頻域間的聯(lián)系。三、簡單函數(shù)的拉氏變換1.單位階躍函數(shù)1(1)10單位階躍函數(shù)10圖2-18單位階躍函數(shù)2.指數(shù)函數(shù)1t0t指數(shù)函數(shù)圖2-19指數(shù)函數(shù)f(t)=e“(a為常數(shù))3.正弦及余弦函數(shù)1t0t圖2-20正弦及余弦函數(shù)由歐拉公式，有：從而04.單位脈沖函數(shù)δ(t)1E單位脈沖函數(shù)圖2-21單位脈沖函數(shù)由洛必達法則：1t圖2-22單位速度函數(shù)7.冪函數(shù)圖2-23單位加速度函數(shù)函數(shù)的拉氏變換及反變換通?？梢杂衫献儞Q表直接或通過一定的轉(zhuǎn)換四、拉氏變換性質(zhì)1.疊加原理齊次性：L[af(1)]=aL[f(1)],a為常數(shù)；疊加性：L[afl(t)+bf2(1)]=aL[fl(1)]+bL[f2(1)],a,b為常數(shù)；顯然，拉氏變換為線性變換。2.微分定理式中，f'(0),f"(0),……為函數(shù)f(t)的各階導數(shù)在t=0時的值。當f(t)及其各階導數(shù)在t=0時刻的值均為零時(零初始條件):當f(t)在t=0處具有間斷點時，df()/dt在t=0處將包含一個脈沖函數(shù)。故若f0+)≠f(0一),則：3.積分定理當初始條件為零時若f(0+)≠f(0一),則：同樣[[當初始條件為零時4.衰減定理5.延時定理設(shè)當t<0時，f(t)=0,則對任意t≥0,有：7.終值定理 8.定理的像函數(shù)9.f(1)的像函數(shù)10.的像函數(shù)11.周期函數(shù)的像函數(shù)若函數(shù)f(t)是以T為周期的周期函數(shù)，即f(t+T)=f(t),則12.卷積定理其中，f(t)*g(1)表示函數(shù)ft)和g(1)的卷積。若<0時，f(t)=g(1)=0,則f(1)和g(1)的卷積可表示為五、拉氏反變換1.部分分式法如果f(t)的拉氏變換F(s)已分解成為下列分量：F(s)=Fi(s)+F2(S)+...Fn假定Fi(s),F2(s),…,Fn(s)的拉氏反變換可以容易地求出，則在控制理論中，通常為了應用上述方法，將F(s)寫成下面的形式式中，pi,p?,.,pn為方程A(s)=0的根的負值，稱為F(s)的極點；ci=b此時，即可將F(s)展開成部分分式。(1)只含不同單極點的情況式中，A,為常數(shù)，稱為s=-p極點處的留數(shù)。于是例：求的原函數(shù)。(2)含共軛復數(shù)極點情況方法1假設(shè)F(s)含有一對共軛復數(shù)極點-p、-p?,其余極點均為各不相同的實數(shù)極點，則式中，A和A?的值由下式求解：上式為復數(shù)方程，令方程兩端實部、虛部分別相等即可確定A和A的值。方法2此時F(s)仍可分解為下列形式：由于p、p,為共軛復數(shù)，因此，A和A?也為共軛復數(shù)。方法1例：求的原函數(shù)。所以t方法2例：(3)含多重極點情況設(shè)F(s)存在r重極點-p,其余極點均不同，則式中，A,…,A,利用前面的方法求解。A=[F(s)(s+Po)']s=-p注意到：例：求的原函數(shù)。A?=[F(s)(s+1)]s=-1=2于是(4)借用拉氏變換解常系數(shù)線性微分方程求解步驟：a.將微分方程通過拉氏變換變?yōu)閟的代數(shù)方程；b.解代數(shù)方程，得到有關(guān)變量的拉氏變換表達式；c.應用拉氏反變換，得到微分方程的時域解。象函數(shù)原函數(shù)象函數(shù)拉氏反變換(微分方程的解)拉氏反變換代數(shù)方程圖2-24拉式變換法求解線性微分方程的過程實例設(shè)系統(tǒng)微分方程為：若x(t)=1(t),初始條件分別為x'(0)、x,(0),試求x,(t)。解：對微分方程左邊進行拉氏變換所以當初始條件為零時：2.4傳遞函數(shù)以及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)一、傳遞函數(shù)的概念和定義1.傳遞函數(shù)設(shè)線性定常系統(tǒng)的微分方程為：則零初始條件下，其拉式變換為：as"X。(s)+a,s"-X。(s)+…+a,-sX。(s=bs"X,(s)+bs"-X,(s)+…+bm-sX,(s)+b定義傳遞函數(shù)為：即在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與引起該輸出的輸入量的拉氏變換之比。零初始條件：(1)t<0時，輸入量及其各階導數(shù)均為0;(2)輸入量施加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)，即t<0時，輸出量及其各階導數(shù)也均為0。傳遞函數(shù)有以下特點：(1)比微分方程簡單，通過拉氏變換，實數(shù)域復雜的微積分運算已經(jīng)轉(zhuǎn)化為簡單的代數(shù)運算；(2)輸入典型信號時，其輸出與傳遞函數(shù)有一定對應關(guān)系，當輸入是單位脈沖函數(shù)時，輸入的象函數(shù)為1,其輸出象函數(shù)與傳遞函數(shù)相同；(3)令傳遞函數(shù)中的s=jw,則系統(tǒng)可在頻率域內(nèi)分析(詳見第四章);(4)G(s)的零極點分布決定系統(tǒng)動態(tài)特性。2.傳遞函數(shù)求解示例例1.質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的傳遞函數(shù)MDkD圖2-25質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)所有初始條件均為零時，其拉氏變換為：ms2X。(s)+DsX。(s)+kX。(s)=F按照定義，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：例2.R-L-C無源電路網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)C圖2-26R-L-C無源電路網(wǎng)絡所有初始條件均為零時，其拉氏變換為：LCs2U。(s)+RCsU。(s)+U。(s按照定義，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：3.傳遞函數(shù)的幾點說明：(1)傳遞函數(shù)是一種以系統(tǒng)參數(shù)表示的線性定常系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān)系式；傳遞函數(shù)的概念通常只適用于線性定常系統(tǒng)；(2)傳遞函數(shù)是s的復變函數(shù)。傳遞函數(shù)中的各項系數(shù)和相應微分方程中的各項系數(shù)對應相等，完全取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)；(3)傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，即在零時刻之前，系統(tǒng)對所給定的平衡工作點處于相對靜止狀態(tài)。因此，傳遞函數(shù)不反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運動規(guī)律；(4)傳遞函數(shù)只能表示系統(tǒng)輸入與輸出的關(guān)系，無法描述系統(tǒng)內(nèi)部中間變量的變化情況；(5)一個傳遞函數(shù)只能表示一個輸入對一個輸出的關(guān)系，適合于單輸入單輸出系統(tǒng)的描述。二、典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)1.比例環(huán)節(jié)輸出量不失真、無慣性地跟隨輸入量，兩者成比例關(guān)系。其運動方程為：xo(t)=Kx(t)xo(t)、x;(t)—分別為環(huán)節(jié)的輸出和輸入量；K—比例系數(shù)，等于輸出量與輸入量之比。比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：例11齒輪傳動副RR?RR??七比例運算放大器凡運動方程為下面一階微分方程形式的環(huán)節(jié)稱為一階慣性環(huán)節(jié)。其傳遞函數(shù)為：T—時間常數(shù)，表征環(huán)節(jié)的慣性，和環(huán)節(jié)結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)。例：彈簧-阻尼器環(huán)節(jié)彈簧-阻尼器組成的環(huán)節(jié),輸出量正比于輸入量的微分。例：測速發(fā)電機00o測速發(fā)電機圖2-29微分環(huán)節(jié)例圖無負載時例：無源微分網(wǎng)絡C圖2-30微分環(huán)節(jié)例圖顯然，無源微分網(wǎng)絡包括有慣性環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)，稱之為慣性微分環(huán)節(jié)，只有當|Ts|<<1時，才近似為微分環(huán)節(jié)。在物理系統(tǒng)中輸入輸出同量綱的微分環(huán)節(jié)很難獨立存在，經(jīng)常和其它環(huán)節(jié)一起出現(xiàn)。除了上述微分環(huán)節(jié)外，還有一類一階微分環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為：微分環(huán)節(jié)的輸出是輸入的導數(shù)，即輸出反映了輸入信號的變化趨勢，從而給系統(tǒng)以有關(guān)輸入變化趨勢的預告。因此，微分環(huán)節(jié)常用來改善控制系統(tǒng)的動態(tài)性能。4.積分環(huán)節(jié)輸出量正比于輸入量對時間的積分。運動方程為：傳遞函數(shù)為：積分環(huán)節(jié)特點：(1)輸出量取決于輸入量對時間的積累過程；(2)具有明顯的滯后作用。如當輸入量為常值A(chǔ)時，由于輸出量須經(jīng)過時間T才能達到輸入量在t=0時的值A(chǔ)。積分環(huán)節(jié)常用來改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。如：有源積分網(wǎng)絡CaO+OR圖2-31積分環(huán)節(jié)例圖5.二階振蕩環(huán)節(jié)含有兩個獨立的儲能元件，且所存儲的能量能夠相互轉(zhuǎn)換，從而導致輸出帶有振蕩的性質(zhì)，運動方程為：傳遞函數(shù)：式中，T—振蕩環(huán)節(jié)的時間常數(shù)—阻尼比，對于振蕩環(huán)節(jié)，0<s<1K—比例系數(shù)振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的另一常用標準形式為(K=1):,con稱為無阻尼固有角頻率。例：質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)MDkD圖2-32二階振蕩環(huán)節(jié)例圖傳遞函數(shù)：當D<2√mk時，為振蕩環(huán)節(jié)。6.延遲環(huán)節(jié)運動方程：傳遞函數(shù)：式中，r為純延遲時間。延遲環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的區(qū)別：(1)慣性環(huán)節(jié)從輸入開始時刻起就已有輸出，僅由于慣性，輸出要滯后一段時間才接近所要求的輸出值；(2)延遲環(huán)節(jié)從輸入開始之初，在0-t時間內(nèi)，沒有輸出，但t=t之后，輸出等于之前時刻的輸入。裝置或元件；(2)一個環(huán)節(jié)往往由幾個元件之間的運動特性共同組成；(3)同一元件在不同系統(tǒng)中作用不同，輸入輸出的物理量不同，可起到不同環(huán)節(jié)的作用。三、幾點結(jié)論(1)傳遞函數(shù)是復數(shù)s域中的系統(tǒng)數(shù)學模型，其參數(shù)僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)及參數(shù)，與系統(tǒng)的輸入形式無關(guān)；(2)若輸入給定，則系統(tǒng)輸出特性完全由傳遞函數(shù)G(s)決定，即傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)內(nèi)在的固有動態(tài)特性；(3)傳遞函數(shù)通過系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān)系來描述系統(tǒng)的固有特性。即以系統(tǒng)外部的輸入一輸出特性來描述系統(tǒng)的內(nèi)部特性。2.5系統(tǒng)函數(shù)方塊圖和信號流圖一、系統(tǒng)函數(shù)的圖解表示方法1.方塊圖系統(tǒng)方塊圖是控制系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學模型的圖解形式。可以形象直觀地描述系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)間的相互關(guān)系及其功能以及信號在系統(tǒng)中的傳遞、變換過程。2.信號流圖是表示控制系統(tǒng)的另一種圖形，與方塊圖有類似之處，可將系統(tǒng)函數(shù)方塊圖轉(zhuǎn)化為信號流圖。二、方塊圖的結(jié)構(gòu)要素系統(tǒng)方框圖是系統(tǒng)控制系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學模型的圖解形式?？梢孕蜗笾庇^地描述系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)間的相互關(guān)系及其功能以及信號在系統(tǒng)中的傳遞、變換過程。注意：即使描述系統(tǒng)的數(shù)學關(guān)系式相同，其方框圖也不一定相同。1.信號線帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的傳遞方向，直線旁標記變量，即信號的時間函數(shù)或象函數(shù)。圖2-33信號線2.信號引出點(線)表示信號引出或測量的位置和傳遞方向。同一信號線上引出的信號，其性質(zhì)、大小完全一樣。圖2-34信號引出線3.函數(shù)方塊(環(huán)節(jié))傳遞函數(shù)的圖解表示。圖2-35函數(shù)方塊函數(shù)方塊具有運算功能，即：4.求和點(比較點、綜合點)信號之間代數(shù)加減運算的圖解。用符號“×”及相應的信號箭頭表示，每個箭頭前方的"+"或“-”表示加上此信號或減去此信號。相鄰求和點可以互換、合并、分解，即滿足代數(shù)運算的交換律、結(jié)合律和分配律。求和點可以有多個輸入，但輸出是唯一的。任何系統(tǒng)都可以由信號線、函數(shù)方塊、信號引出點及求和點組成的方框函數(shù)方塊函數(shù)方塊 三、系統(tǒng)方框圖的建立(1)建立系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的微分方程，明確信號的因果關(guān)系(輸入/輸出);(2)對上述微分方程進行拉氏變換，繪制各部件的方框圖；(3)按照信號在系統(tǒng)中的傳遞、變換過程，依次將各部件的方框圖連接起來，得到系統(tǒng)的方框圖。Ru(1)Cu.()i(n)圖2-38無源RC網(wǎng)絡拉氏變換得：從而可得系統(tǒng)各方框單元及其方框圖：11R于是可得系統(tǒng)框圖：圖2-39無源RC網(wǎng)絡方框圖1.方框圖的運算法則(1)串聯(lián)圖2-40串聯(lián)運算法則(2)并聯(lián)++G?(s)+G?(s)+…+G,(s)圖2-41并聯(lián)運算法則(3)反饋仟X(s)G(s)X.5)1+G(s)H(s即對于具有負反饋的環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)等于前向通道的傳遞函數(shù)除以1加上前向通道與反饋通道傳遞函數(shù)的乘積。稱G(s)H(s)為閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳2.方塊圖變換法則(1)求和點的移動CCG(s)B士1AAABBBCC4土±求和點后移求和點前移(2)引出點的移動AACCCAAACCCACAACCAACCG(s)引出點前移引出點后移圖2-43引出點的移動法則3.由方框圖求系統(tǒng)傳遞函數(shù)基本思路：利用等效變換法則，移動求和點和引出點，消去交叉回路，變換成可以運算的簡單回路。例：求下圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。+B圖2-43由方框圖求系統(tǒng)傳遞函數(shù)圖例+2)消去H?(s)G?(s)反饋回路+—3)消去H?(s)反饋回路X,(s)X,(s)X?(s)G(s)G?(?)G?(s)—4)消去H?(s)反饋回路X。(s)G(S)G(S)G(s)2.6控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)推導舉例一、等效彈性剛度—彈簧一阻尼系統(tǒng)表示。對于質(zhì)量一彈簧一阻尼系統(tǒng)，利用等效彈性剛度的概念，可以避免從微分方程開始列寫、而直接列寫復頻域內(nèi)的代數(shù)方程，使繪制系統(tǒng)方塊圖和求取系統(tǒng)傳遞函數(shù)變得簡便。等效彈性剛度的說明見表表2-1等效彈性剛度說明剛度kD二、等效復阻抗類似于機械系統(tǒng)中引入等效彈性剛度的概念，對于電路網(wǎng)絡系統(tǒng)，利用復阻抗的概念，也可以避免從微分方程開始列寫、而直接列寫復頻域內(nèi)的代數(shù)方程，使繪制系統(tǒng)方塊圖和求取系統(tǒng)傳遞函數(shù)變得簡便。復阻抗的說明見表2-2。表2-2等效復阻抗說明時域方程電阻負載RR電容負載電感負載L三、機械系統(tǒng)傳遞函數(shù)推導舉例例：當汽車行駛時，輪胎的垂直位移作用于汽車懸掛系統(tǒng)上，系統(tǒng)的運動由質(zhì)心的平移運動和圍繞質(zhì)心的旋轉(zhuǎn)運動組成。W車體W質(zhì)心車架汽車懸掛系統(tǒng)(垂直方向)mmK?mmK?D??簡化的懸掛系統(tǒng)(垂直方向)列寫微分方程如下所示：假定零初始條件，作拉式變換得：繪制各環(huán)節(jié)方塊圖：KX(s)KX(s)Fx?(s)?一m?s2+Fn(s)KKKK?K?ms+圖2-46汽車懸掛系統(tǒng)方塊圖1?圖2-47汽車懸掛系統(tǒng)方塊圖簡圖系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)數(shù)學模型的MATLAB實現(xiàn)Matlab簡介：1980年前后，美國moler博士構(gòu)思并開發(fā)；最初的matlab版本是用fortran語言編寫，現(xiàn)在的版本用c語言改寫；1992年推出了具有重要意義的matlab4.0版本；并于1993年推出了其windows平臺下的微機版，目前matlab2012版是比較新的版本。一、控制系統(tǒng)數(shù)學模型要分析系統(tǒng)，首先需要能夠描述這個系統(tǒng)。例在MATLAB中，多項式通過系數(shù)行向量表示，系數(shù)按降序排列。如要輸入多項式：x4-12x3+25x+126在MATLAB中，用num和den分別表示F(s)的分子和分母多項式，即：然后利用下面的語句就可以表示這個系統(tǒng)：其中tf()代表傳遞函數(shù)的形式描述系統(tǒng)，還可以用零極點形式來描述，語句為而且傳遞函數(shù)形式和零極點形式之間可以相互轉(zhuǎn)化，語句為當傳遞函數(shù)復雜時，應用多項式乘法函數(shù)conv()等實現(xiàn)。例如計算閉環(huán)傳遞函數(shù)：系統(tǒng)的基本連接方式有三種：串連、并聯(lián)和反饋串連：sys=series(sys1,sys2)如果是單位反饋系統(tǒng)，則可使用cloop()函數(shù)，sys=cloop(sys1,-1)應用舉例用MATLAB展開部分分式用num和den分別表示F(s)的分子和分母多項式，即：num=[b0b1…MATLAB提供函數(shù)residue用于實現(xiàn)部分分式展開，其句法為：行向量。若無重極點，MATLAB展開后的一般形式為：若存在q重極點p(j),展開式將包括下列各項：例：求下式的部分分式展開。rr1展開式為：二、用MATLAB求系統(tǒng)傳遞函數(shù)已知兩個系統(tǒng)分別求兩者串聯(lián)、并聯(lián)連接時的系統(tǒng)傳遞函數(shù)，并求負反饋連接時系統(tǒng)的零、極點增益模型。Laplace變換的由來(個人整理、理解):記a,=a(n),。若取a(n)=1,則A(x)=1+x+x2+…+x”,該式在x<1時，收斂于。上式說明：在實數(shù)域取一離散數(shù)集(n=0,1,2,…),可得到不同的輸出結(jié)果(函數(shù))。若取一連續(xù)區(qū)間，該冪級數(shù)又會得到什么結(jié)果呢?例如取n為0≤n≤o,符合常規(guī)起見，置換n為t,計算∑a(t)x',0≤t≤o等同于計算廣義積分因為這會增加計算復雜性；當指數(shù)的底是e時，做積分和微分運算時會簡單一些。因為x=e"x,故x'=(e")。我還希望式(1)可被計算，因為如果x的取值不同，式(1)有可能不收斂。比如x=1,式(1)就不收斂。如果x<1,式(1)將有可能收斂。如果x取值為負數(shù)，計算式(1)也很麻煩，因為t=1/2時，將會面臨虛數(shù)的計算。綜上所述取0<x<1,此時Inx<0。若令-Inx=s,s將是個正數(shù)，無論如何，正數(shù)總比負數(shù)容易處理一些。則式(1)將變?yōu)槿藗兛傁矚g將函數(shù)表示為f(t),故上式可寫成這就是laplace變換了?？刂乒こ袒A(chǔ)教案學期第課題名稱(含教材章節(jié)):第三章時域分析法教學目的和要求：1、熟悉控制系統(tǒng)時域性能指標：2、掌握一階、二階系統(tǒng)的時域分析，了解高階系統(tǒng)時域分析；3、掌握勞斯穩(wěn)定判據(jù)及赫爾維茲穩(wěn)定判據(jù)；4、掌握穩(wěn)態(tài)誤差計算。教學重點：二階系統(tǒng)的階躍響應，代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)、穩(wěn)態(tài)誤差的求取教學難點：高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應，穩(wěn)態(tài)誤差的求取1.控制系統(tǒng)性能指標2.一階、二階系統(tǒng)的時域分析及高階系統(tǒng)的時域分析；3.控制系統(tǒng)穩(wěn)定的定義及條件，勞斯穩(wěn)定性判據(jù)；4.控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差分析。第三章時域分析法控制系統(tǒng)的數(shù)學模型是研究控制系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)。上一章介紹了建立控制系統(tǒng)數(shù)學模型的方法后，就可以運用工程方法對系統(tǒng)的控制性能進行全面的分析和時域分析法是對于線性穩(wěn)定系統(tǒng)，基于系統(tǒng)的微分方程，利用拉普拉斯變換為數(shù)學工具，直接求解控制系統(tǒng)的時域響應，并利用響應表達式及響應曲線分析系統(tǒng)的控制性能，如穩(wěn)定性、平穩(wěn)性、快速性、準確性等。3.1典型輸入信號一、瞬態(tài)響應的基本概念穩(wěn)態(tài)(靜態(tài))響應：當某一信號輸入時，系統(tǒng)在時間趨于無窮大時的輸出狀瞬態(tài)(過渡)響應：系統(tǒng)在某一輸入信號作用下其輸出量從初始狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)的響應過程。瞬態(tài)響應分析是本章要討論的問題。分析瞬態(tài)響應時，往往選擇典型輸入信號，這是因為：1.數(shù)學處理簡單，給定典型信號下的性能指標，便于分析和綜合系統(tǒng)；2.典型輸入的響應往往可以作為分析復雜輸入時系統(tǒng)性能的基礎(chǔ)；3.便于進行系統(tǒng)辨識，確定未知環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。二、典型輸入信號1.階躍信號示意圖：a圖3-1階躍信號2.斜坡信號示意圖：a圖3-2斜坡信號大型船閘勻速升降時主拖動系統(tǒng)發(fā)出的位置信號，數(shù)控機床加工斜面時的進結(jié)指令等，均可看成斜坡作用。3.加速度信號數(shù)學表達式：示意圖：X0圖3-3加速度信號4.脈沖信號數(shù)學表達式：示意圖：t圖3-4脈沖信號當系統(tǒng)輸入為單位脈沖函數(shù)時，其輸出響應稱為脈沖響應函數(shù)。由于δ函數(shù)的拉氏變換等于1,因此系統(tǒng)傳遞函數(shù)即為脈沖響應函數(shù)的象函理想的單位脈沖作用(t)在現(xiàn)實中是不存在的，它只有數(shù)學意義，是一個重要的數(shù)學工具，脈沖電壓信號、沖擊力、陣風等，均可近似為脈沖作用。當系統(tǒng)輸入任一時間函數(shù)時，如圖3-5所示，可將輸入信號分割為n個脈沖。y(t)=歲(t)gt)ar臺0tt輸出響應為輸入函數(shù)與脈沖響應函數(shù)的卷積，脈沖響應函數(shù)由此又得名權(quán)函5.正弦信號示意圖：a0t海浪對艦艇的擾動力，伺服振動臺的輸入指令，電源及機械振動的噪聲等正弦作用。三、典型輸入信號選擇關(guān)于在系統(tǒng)分析中選用何種實驗信號的問題，需要根據(jù)對系統(tǒng)的考查目的來確定。例如在考查系統(tǒng)的調(diào)節(jié)能力時，可選用脈沖信號；如果考查系統(tǒng)對于定值信號的保持能力時，就要選用階躍信號來進行系統(tǒng)分析了。地面雷達跟蹤空中的機動目標時，無論是俯仰角的變化還是方位角的變化，都可以近似為等速率變化規(guī)律，采用斜坡信號比較恰當。但是在考查船舶自動駕駛系統(tǒng)，或者戰(zhàn)車炮塔在一階系統(tǒng)：能夠用一階微分方程描述的系統(tǒng)。1.一階系統(tǒng)的單位階躍響應象函數(shù)為：X(s)=1/s則xo(1)斜率=B0.632A%2836%3.99%2.89%59%5.6.圖3-7一階系統(tǒng)單位階躍響應(4)在t=0處，響應曲線的切線斜率為1/T;,據(jù)此鑒別系統(tǒng)是否為一階慣性環(huán)節(jié)。((t0T圖3-8一階系統(tǒng)對數(shù)圖2.一階系統(tǒng)的單位斜坡響應單位斜坡輸入：x;(1)=t-1(1)象函數(shù)為：則)x;(1),x;(1),xo(t)F)8(Xt0圖3-9一階系統(tǒng)單位斜坡響應3.一階系統(tǒng)的單位脈沖響應單位斜坡輸入：x(1)=δ(1)象函數(shù)為：X,(s)=1則1T圖3-10一階系統(tǒng)單位脈沖響應一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應：1.單位斜坡響應xa(t)=3.單位脈沖響應xs(t)=三者的關(guān)系：一、二階系統(tǒng)((T用二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。它的典型形式是二階振蕩環(huán)節(jié)。標準形式一：:系統(tǒng)的(閉環(huán)系統(tǒng)阻尼比，阻尼系數(shù)；①.:閉環(huán)系統(tǒng)固有頻率，無阻尼自然頻率。標準形式二二、典型輸入響應1.一階系統(tǒng)的單位階躍響應單位階躍輸入：x(1)=1(1)象函數(shù)為：X;(s)=1/s則根據(jù)二階系統(tǒng)的極點分布特點，分五種情況進行討論。二階系統(tǒng)的極點是一對共軛復根。式中o=0,√1-52是稱為阻尼自振角頻率。進行拉氏反變換，得圖3-11二階系統(tǒng)欠阻尼響應特點：a.以w,為角頻率衰減振蕩；b.隨著5的減小，振蕩幅度加大。(2)臨界阻尼ξ=1二階系統(tǒng)的極點是二重負實根。1圖3-11二階系統(tǒng)臨界阻尼響應特點：無超調(diào)。(3)過阻尼5>1二階系統(tǒng)的極點是兩個負實根。則11圖3-12二階系統(tǒng)過阻尼響應特點：無超調(diào)，過渡時間長。二階系統(tǒng)的極點是一對共軛虛根。進行拉氏反變換，得21圖3-13二階系統(tǒng)無阻尼響應特點：無阻尼，等幅振蕩。二階系統(tǒng)的極點具有正實部。響應表達式的指數(shù)項變?yōu)檎笖?shù)，隨著時間t→o,其輸出x。(1)→o,系統(tǒng)不穩(wěn)定。其響應曲線有兩種形式：圖3-14二階系統(tǒng)負阻尼響應2.二階系統(tǒng)單位階躍響應小結(jié)(1)欠阻尼：衰減振蕩，振蕩角頻率為a,隨著阻尼系數(shù)的減小，其振蕩幅度加大；(2)臨界阻尼：無超調(diào)；(3)過阻尼：無超調(diào)，阻尼比越大，過渡時間越長；(4)零阻尼：等幅振蕩；(5)負阻尼：發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。3.二階系統(tǒng)單位脈沖響應單位脈沖輸入：x;(1)=δ(1)象函數(shù)為：X,(s)=1則0.80.80.200/00負阻尼和零阻尼對工程技術(shù)領(lǐng)域沒有意義，故分三種情況進行討論。(1)欠阻尼0<5<1二階系統(tǒng)的極點是一對共軛復根。式中a=0,√1-52。圖3-12二階系統(tǒng)單位脈沖欠阻尼響應特點：a.以為角頻率衰減振蕩；b.隨著5的減小，振蕩幅度加大。(2)臨界阻尼5=1二階系統(tǒng)的極點是二重負實根。05<1圖3-13二階系統(tǒng)單位脈沖臨界阻尼響應(3)過阻尼5>1其響應圖如圖3-13所示。則與二階系統(tǒng)單位脈沖響應相似，分三種情況進行討論。(1)欠阻尼0<5<125ess0n圖3-14二階系統(tǒng)單位斜坡欠阻尼響應(2)臨界阻尼5=1Nt圖3-15二階系統(tǒng)單位斜坡臨界阻尼響應(3)過阻尼5>1圖3-16二階系統(tǒng)單位斜坡過阻尼響應3.4時域分析性能指標一、時域分析性能指標控制系統(tǒng)的性能指標常分為動態(tài)性能指標和穩(wěn)態(tài)性能指標，動態(tài)性能指標又可分為跟隨性能指標和抗擾性能指標。在控制工程基礎(chǔ)中所討論的系統(tǒng)動態(tài)性能指標，一般是指跟隨性能指標。各性能指標如圖31.上升時間t響應曲線從零時刻首次到達穩(wěn)態(tài)值的時間?；驈姆€(wěn)態(tài)值的10%上升到穩(wěn)態(tài)值的90%所需的時間。允許誤差允許誤差05200圖3-17時域分析性能指標2.峰值時間，響應曲線從零時刻上升到第一個峰值點所需要的時間。3.最大超調(diào)量M。響應曲線的最大峰值與穩(wěn)態(tài)值的差與穩(wěn)態(tài)值之比；單位階躍輸入時，即是響應曲線的最大峰值與穩(wěn)態(tài)值的差。通常用百分數(shù)表示。4.調(diào)整時間t.響應曲線達到并一直保持在允許誤差范圍內(nèi)的最短時間。響應曲線從零上升到穩(wěn)態(tài)值的50%所需要的時間。6.振蕩次數(shù)在調(diào)整時間t、內(nèi)響應曲線振蕩的次數(shù)。二、時域性能指標求取1.求取上升時間t系統(tǒng)的單位階躍響應為因為e-5≠0所以由于上升時間是輸出響應首次達到穩(wěn)態(tài)值的時間，故2.求取峰值時間峰值點為極值點，令因為e?5≠03.最大超調(diào)量M。M,=x。(t)-14.求取調(diào)整時間t10圖3-18漸近線以進入±5%的誤差范圍為例得,當阻尼比較小時，同理可證，進入±2%的誤差范圍，則有0當阻尼比5一定時，無阻尼自振角頻率，越大，則調(diào)整時間t、越短，系統(tǒng)響應越快。當ξ較大時，前面兩式的近似度降低。當允許有一定超調(diào)時，工程上一般選擇二階系統(tǒng)阻尼比5在0.5~1之間。當變小時，ζ愈小，則調(diào)整時間愈長；而當ζ變大時，ζ愈大，調(diào)整時間也愈例：下圖所示系統(tǒng)，施加8.9N階躍力后，記錄其時間響應如圖，試求該系統(tǒng)的質(zhì)量M、彈性剛度k和粘性阻尼系數(shù)D的數(shù)值。kMDewg圖3-19例圖拉氏變換，并整理得,得q=1.96(rad/s)∴3.5高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應一般的高階機電系統(tǒng)可以分解成若干一階慣性環(huán)節(jié)和二階振蕩環(huán)節(jié)的疊加。其瞬態(tài)響應即是由這些一階慣性環(huán)節(jié)和二階振蕩環(huán)節(jié)的響應函數(shù)疊加組成。對于一般單輸入——單輸出的線性定常系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)可表示為設(shè)輸入為單位階躍，則如果其極點互不相同，則上式可展開成經(jīng)拉氏反變換，得函數(shù)疊加組成的。當所有極點均具有負實部時，系統(tǒng)穩(wěn)定。一、高階系統(tǒng)的簡化1.距虛軸最近的閉環(huán)極點為主導極點。工程上當極點A距離虛軸大于5倍極點B離虛軸的距離時，分析系統(tǒng)時可忽略極點A。2.系統(tǒng)傳遞函數(shù)中，如果分子分母具有負實部的零、極點數(shù)值上相近，則可將該零點和極點一起消掉，稱之為偶極子相消。工程上認為某極點與對應的零點之間的間距小于它們本身到原點距離的士分之一時，即可認為是偶極子。例：已知某系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為試求系統(tǒng)近似的單位階躍響應。解：對高階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，首先需分解因式，如果能找到一個根，則多項式可以降低一階。首先我們找到該題分母有一個根s=-20,則利用下面長除法分解出一個因式一)s?+20s3一)80s3+1.6×103s2一)6.4×103s2+1.28×10?s對于得到的三階多項式，我們又找到一個根s2=-60,則可繼續(xù)利用長除法分解出一個因式。一)s3+60s2一)20s2+1.2×103s則系統(tǒng)傳遞函數(shù)為其零點、極點如下圖所示。根據(jù)前面敘述簡化高階系統(tǒng)的依據(jù)，該四階系統(tǒng)可簡化為這是一個二階系統(tǒng)，用二階系統(tǒng)的一套成熟的理論去分析該四階系統(tǒng)，將會得到近似的單位階躍響應結(jié)果為z.(t)≈1-e-sin(71.4t+圖3-20響應結(jié)果3.6系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念一、穩(wěn)定性概念1.單擺圖3-21單擺由單擺可得一般意義上的穩(wěn)定概念：即系統(tǒng)受擾動后能否恢復原來的狀態(tài)。2.閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題定義：若控制系統(tǒng)在任何足夠小的初始偏差的作用下，其過渡過程隨著時間的推移，逐漸衰減并趨于零，具有恢復原平衡狀態(tài)的性能，則稱該系統(tǒng)為穩(wěn)定；否則，稱該系統(tǒng)為不穩(wěn)定。二、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件圖3-22系統(tǒng)框圖考慮如圖3-22所示系統(tǒng)方框圖，N(s)到Xo(s)的傳遞函數(shù)：x設(shè)n(t)為單位脈沖函數(shù)，則N(s)=1因為上式的拉式反變換必然可以寫成如果系統(tǒng)穩(wěn)定，應有條件是：閉環(huán)特征方程式的根全部具有負實部。由于系統(tǒng)特征根即閉環(huán)極點，故也可以說充要條件為：極點全部在[s]平面的左半面。3.7代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)一、勞斯判據(jù)勞斯判據(jù)是基于方程式的根與系數(shù)的關(guān)系而建立的。設(shè)系統(tǒng)特征方程為sj,s?,…,s,為系統(tǒng)的特征根。復數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系：要使全部特征根均具有負實部，必須滿足：1.特征方程的各項系數(shù)a,≠0(i=0,1,2,…,n);2.特征方程的各項系數(shù)的符號都相同。a;一般取正值，則上述兩條件簡化為q>0。此為系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。其充要條件為：如果"勞斯陣列"中第一列所有項均為正，則系統(tǒng)穩(wěn)定。勞斯陣列：S?C?Cf:…:判別方法：(1)如果勞斯表中第一列的系數(shù)均為正值，則其特征方程式的根都在S的左半平面，相應的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。(2)如果勞斯表中第一列系數(shù)的符號有變化，其變化的次數(shù)等于該特征方程式的根在S的右半平面上的個數(shù)，相應的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。試應用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：s?+8s3+17s2+16s+5=0首先由方程系數(shù)可知滿足穩(wěn)定的必要條件。其次，排勞斯陣列ss3由于勞斯陣列第一列中系數(shù)符號全為正，所以控制系統(tǒng)穩(wěn)定。例2設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程式為試應用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：由方程系數(shù)可知已滿足穩(wěn)定的必要條件。排勞斯陣列第一列系數(shù)改變符號2次，閉環(huán)系統(tǒng)的根中有2個實部為正，控制系統(tǒng)不穩(wěn)對于特征方程階次低(n≤3)的系統(tǒng)，勞斯判據(jù)可簡化：二階系統(tǒng)特征式為ays2+as+a?,勞斯表為asas?a??a?a??a三階系統(tǒng)特征方程式：aos3+a1s2+a?s+a?=0列勞斯表：故系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是例3設(shè)某反饋控制系統(tǒng)如下圖所示，試計算使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。十K十圖3-23系統(tǒng)框圖解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為特征方程為故使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍為0<K<6。特殊情況一(第一列中有一元素為零)例：特征方程：s?+2s3+s+2s+1=0列勞斯表：一列系數(shù)數(shù)值符號改變2次，有，兩個根位于右半平面，系統(tǒng)不穩(wěn)定。特殊情況二(勞斯表中一行元素均為零):至少有三種情況：1.特征方程有一對實根，大小相等，符號相反2.有一對虛根3.有對稱于S平面原點的共軛復根。舉例：系統(tǒng)特征方程為：s?+2s?+8s?+12s3+20s2+16s+16=0列勞斯表：輔助方程：第一列沒改變符號，右半平面沒有根。所以，有一對共軛虛根。系統(tǒng)臨界穩(wěn)二、胡爾維茨判據(jù)系統(tǒng)特征方程：n×n行列式：系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：各階主子行列式均>0。即：試應用赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：由方程系數(shù)可知滿足穩(wěn)定的必要條件。各系數(shù)排成行列式由于A,=8>0故該系統(tǒng)穩(wěn)定。二、代數(shù)判據(jù)的不足：1.必須知道系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)2.定性——較難從量上判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定程度3.對含有延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)無效3.8穩(wěn)態(tài)誤差的基本概念"準確"是對控制系統(tǒng)提出的一個重要要求。對于實際系統(tǒng)來說，輸出量常常不能絕對精確地達到所期望的數(shù)值，期望的數(shù)值與實際輸出的差就是所謂的誤系統(tǒng)的輸出量通常由瞬態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量組成。誤差也由瞬態(tài)誤差和穩(wěn)態(tài)誤差兩部分組成。在過渡過程開始時，瞬態(tài)誤差是誤差的主要部分，但它隨時間而逐漸衰減，穩(wěn)態(tài)誤差逐漸成為誤差的主要部分。穩(wěn)態(tài)誤差分析是本章要討論的問題。一、系統(tǒng)的誤差e(1)與偏差ε(1)c(s)G(s)X;(s)圖3-24誤差和偏差的概念誤差是以系統(tǒng)的輸出端為基準來定義的：控制系統(tǒng)的理想輸出量與實際輸出量之差，稱為誤差e(t)。偏差是以系統(tǒng)的輸入端為基準來定義的：控制系統(tǒng)的量之差，稱為偏差ε(1)。E(s)和ε(s)間的關(guān)系：s(s)對控制系統(tǒng)的控制作用體現(xiàn)在，如X。(s)≠X。(s),則ε(s)≠0,ε(s)就起控制作用，力圖將X。(s)調(diào)節(jié)到X。(s)值；反之，當X。(s)=Xa(s),就有s(s)=0,而使s(s)不再對X。(s)進行調(diào)節(jié)。因此，當X。(s)=X。(s)時，有E(s)=X,(s)-X。(s)H(s)=X,(s)-Xo(s)故又由可得故求出偏差ε(s)后，即可求出誤差E(s)。二、系統(tǒng)的誤差e(t)與偏差ε(t)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差是指系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)后的誤差，因此，不討論過渡過程中的情況。只有穩(wěn)定的系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差的定義為其計算可利用拉式變換的終值定理進行：同理，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差：3.9輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差一、偏差傳遞函數(shù)X,(s)+X,(s)+c(s)X。(s)G(s)若考慮圖3-25所示控制系統(tǒng)，有偏差傳遞函數(shù)：由上述結(jié)論：由上式可知，穩(wěn)態(tài)偏差不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)有關(guān)，而且與輸入信號的特性有關(guān)。二、靜態(tài)誤差系數(shù)考慮圖3-25所示控制系統(tǒng)，有偏差傳遞函數(shù)：其開環(huán)傳遞函數(shù)必可以寫成下式：系統(tǒng)”。單位階躍輸入：靜態(tài)位置誤差系數(shù)：單位階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差：單位階躍輸入時，0型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差：I型以上系統(tǒng)：故單位階躍輸入：對I型以上系統(tǒng)e、=0可見，當系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中有積分環(huán)節(jié)存在時，系統(tǒng)階躍響應的穩(wěn)態(tài)值將是無差的。而沒有積分環(huán)節(jié)時，穩(wěn)態(tài)是有差的。為了減少誤差，應當適當提高放大倍數(shù)。但過大的K值，將影響系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。2.靜態(tài)速度誤差系數(shù)單位速度輸入：靜態(tài)速度誤差系數(shù)：單位速度輸入的穩(wěn)態(tài)誤差：單位速度輸入時，0型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差：I型系統(tǒng)：故單位速度輸入：上述結(jié)果說明，0型系統(tǒng)不能跟隨斜坡輸入，因為其穩(wěn)態(tài)偏差為無窮；I型系統(tǒng)可跟隨斜坡輸入，但存在穩(wěn)態(tài)偏差，同樣可增大K值來減少偏差；II型以上系統(tǒng)，對斜坡輸入響應的穩(wěn)態(tài)是無差的3.靜態(tài)加速度誤差系數(shù)單位加速度輸入：靜態(tài)加速度誤差系數(shù)：單位加速度輸入的穩(wěn)態(tài)誤差單位加速度輸入時，0型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差：I型系統(tǒng)：故單位加速度輸入：對Ⅱ型系統(tǒng)可見，輸入為加速度信號時，0、I型系統(tǒng)不能跟隨；I型為有差，要無差需要采用II型或以上。4.各類系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差各類系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差總結(jié)如下表所示。表3-1各類系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差系統(tǒng)類別型0II型00穩(wěn)態(tài)偏差與輸入信號的形式有關(guān)。在隨動系統(tǒng)中，一般稱階躍信號為位置信號，斜坡信號為速度信號，拋物線信號為加速度信號。由輸入“某種”信號而引起的穩(wěn)態(tài)偏差用一個系數(shù)來表示，就叫"某種"誤差系數(shù)。如輸入階躍信號而引起的偏差，就叫靜態(tài)位置誤差系數(shù)。它表示了穩(wěn)態(tài)的精度。該系數(shù)越大，表明系統(tǒng)精度越高。如大到o,則穩(wěn)態(tài)無差；如為0,則穩(wěn)態(tài)偏差，表示不能跟隨輸當增加系統(tǒng)型別時，系統(tǒng)的準確性將提高；但系統(tǒng)的穩(wěn)定性將變差。因為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)包含兩個以上積分環(huán)節(jié)時，要保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性是很難的。因此，III型或更高型的系統(tǒng)實現(xiàn)起來是不易的，實際應用中極少采用。增大K也可提高準確性，但同樣使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。因此穩(wěn)定與準確是有矛盾的，在進行控制系統(tǒng)設(shè)計時，需要統(tǒng)籌兼顧。另為減小誤差，是增大系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)K,還是提高系統(tǒng)的型別也需要視具體情況而定。例：求當x;(t)=1(t)時的穩(wěn)態(tài)誤差物理意義：常值輸入，積分環(huán)節(jié)前的信號必為零。例：求系統(tǒng)在單位階躍、斜坡、加速度輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差：圖3-27例圖解：I型系統(tǒng)，;單位加速度，e=o;故系統(tǒng)不能承受加速度輸入。3.10干擾引起的穩(wěn)態(tài)誤差終值定理同樣是計算干擾引起穩(wěn)態(tài)誤差的基本方法。系統(tǒng)在擾動作用下的穩(wěn)態(tài)偏差反映了系統(tǒng)的抗干擾能力，為便于分析，此時先不考慮給定輸入的作用，即X,(s)=0。對圖3-28所示系統(tǒng)，得干擾傳遞函數(shù)為Z(s)X。(s)G?(s)G?(s)圖3-28干擾引起誤差的系統(tǒng)根據(jù)終值定理，干擾引起穩(wěn)態(tài)偏差為則干擾引起穩(wěn)態(tài)誤差為求系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差應首先判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。當求兩個量同時作用時線性系統(tǒng)的偏差，可利用疊加原理，分別求出每個量作用情況下的偏差，然后相加求出。為多少?十1十1十十圖3-29例圖解：根據(jù)勞斯判據(jù)該系統(tǒng)穩(wěn)定。單位反饋系統(tǒng)的偏差即為誤差。Xo(s)十K十Ks(s+4)X,(s)圖3-30例圖一般而言，如果反饋控制系統(tǒng)對前向通道的擾動是一個階躍函數(shù)，則只要保證系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，在擾動作用點前有一個積分器，就可以消除階躍擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差。如下圖為穩(wěn)定系統(tǒng)，G1(s)中不包含純微分環(huán)節(jié)。5圖3-31階躍擾動消除方法同理，如果反饋控制系統(tǒng)對前向通道的擾動是一個斜坡函數(shù)，那么只要保證系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，在擾動作用點前有二個積分器，就可以消除斜坡擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差。如下圖為穩(wěn)定系統(tǒng)，G1(s)中不包含純微分環(huán)節(jié)。+十圖3-32斜坡擾動消除方法作為對比，如果將積分器1/s置于干擾點之后，如下圖所示。1+十SG(s)S圖3-33積分器后置系統(tǒng)當沒有積分器1/s時，當設(shè)置積分器1/s時，對比兩種情況可以看出，將積分器1/s置于干擾點之后對消除階躍擾動N引起的穩(wěn)態(tài)誤差沒有什么好處。+N(s)十K十圖3-34擾動點位置對系統(tǒng)的影響另外需要注意，當擾動作用點在前向通道時通過環(huán)節(jié)的調(diào)整可以減小其影響，例如前面提到的保證系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，在擾動作用點前設(shè)置積分器或在擾動作用點前加大放大器增益，可使擾動影響減小，但當擾動作用點在反饋通道時，則很難使擾動影響減小。擾動作用點在前向通道，擾動作用點在反饋通道，因此，在擾動作用點前加大放大器增益K,可使擾動影響減?。辉跀_動作用點后加大放大器增益K并不能使擾動影響減小。3.11減小系統(tǒng)誤差的途徑(1)反饋通道的精度對于減小系統(tǒng)誤差至關(guān)重要。反饋通道元部件的精度要高；避免在反饋通道引入干擾。(2)在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，對于輸入引起的誤差，增大系統(tǒng)開環(huán)放大倍數(shù)提高系統(tǒng)型次；對于干擾引起的誤差，在前向通道干擾點前加積分器，增大放大(3)既要求穩(wěn)態(tài)誤差小，又要求良好動態(tài)性能，只靠加大開環(huán)放大倍數(shù)或串入積分環(huán)節(jié)不能同時滿足要求時，可采用復合控制(順饋)方法對誤差進行補償。補償?shù)姆绞娇煞譃榘锤蓴_補償和按輸入補償。1.按干擾補償圖3-35按干擾補償系統(tǒng)令2.按輸入補償十+圖3-36按輸入補償系統(tǒng)控制工程基礎(chǔ)教案課題名稱(含教材章節(jié)):教學目的和要求：1、熟悉根軌跡基本概念；2、掌握繪制根軌跡的基本法則；3、了解廣義根軌跡；4、了解用根軌跡分析系統(tǒng)性能。教學重點：根軌跡基本概念，根軌跡方程，常規(guī)根軌跡的繪制及系統(tǒng)性能分析教學難點：根軌跡的繪制法則1.根軌跡的基本概念；2.繪制根軌跡的基本法則；3.利用根軌跡分析系統(tǒng)性能；4.廣義根軌跡。第四章根軌跡法反饋控制系統(tǒng)的動態(tài)性能，主要由系統(tǒng)的極點分布所征方程很困難，這就限制了時域分析法在二階以上的控制系統(tǒng)中的應用。1948年，伊凡思(W.R.Evans)根據(jù)反饋系統(tǒng)開、閉環(huán)傳遞函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，提出了直接由開環(huán)傳遞函數(shù)求閉環(huán)特征根的新方法，并且建立了一套法則，這就是在工程上獲得較廣泛應用的根軌跡法。一、根軌跡定義：根軌跡——系統(tǒng)中某一參數(shù)在全部范圍內(nèi)變化時，系統(tǒng)閉環(huán)特征根隨之變化的軌跡。十K圖4-1例圖開環(huán)傳遞函數(shù)：閉環(huán)傳遞函數(shù)：閉環(huán)特征方程：s2+2s+2K=0閉環(huán)特征根：s?=-1±√1-2K該例有2個開環(huán)極點0,-2;沒有開環(huán)零點。閉環(huán)特征根是K的函數(shù)，K由0-K取不同值：K=0,s=0,s?=-2;K=0.5,s=-1,s=-1;K=1,s=-1+j,s=-1-j;根軌跡直觀表達了K變化時閉環(huán)特征根所發(fā)生的變化。K圖4-2例題的根軌跡1.2階系統(tǒng)，2個閉環(huán)極點，2條根軌跡；2.以開環(huán)極點為出發(fā)點；3.根軌跡上的點與K值一一對應，是連續(xù)的；4.通過選擇開環(huán)增益K,可使閉環(huán)極點落在根軌跡的任何位置上；5.如果根軌跡上某一點滿足動態(tài)特性要求，可計算該點的K值實現(xiàn)設(shè)計要求。二、根軌跡方程及相角、幅值條件典型反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：特征方程(根軌跡方程):1+G(s)H(s)=0或G(s)H(s)=-1相角條件：幅值條件：開環(huán)傳遞函數(shù)可寫成下述形式：因此相角條件、幅值條件又可表示為,k=1,2,…4.2繪制根軌跡的基本法則1.根軌跡的起點與終點根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點，如果開環(huán)零點數(shù)m小于開環(huán)極點數(shù)n,則有n-m條根軌跡終止于無窮遠處。根軌跡起點：(s-p?)(s-p?)L(s-p,)=0根軌跡終點：(s-z?)(s-z?)L(s-zm)=0當n>m時，s→o時，2.根軌跡的分支數(shù)根軌跡s平面上的分支數(shù)等于閉環(huán)特征方程的階數(shù)n,也就是分支數(shù)與閉環(huán)極點的數(shù)目相同。這是因為n階特征方程對應n個特征根，當開環(huán)增益K由零變到無窮大時，這n個特征根隨K變化必然會出現(xiàn)n條根軌跡。3.根軌跡的對稱性因為開環(huán)極點，零點或閉環(huán)極點都是實數(shù)或者為成對的共軛復數(shù)，它們在s平面上的分布對稱于實軸，所以根軌跡也對稱于實軸。4.實軸上的根軌跡實軸上根軌跡區(qū)段的右側(cè)，開環(huán)零極點數(shù)目之和應為奇數(shù)。由于成對的共軛復根在實軸上產(chǎn)生的相角之和總是等于360°,不會影響實軸上根軌跡的位置，故上述結(jié)論由相角條件很容易得出。5.根軌跡的漸近線如果開環(huán)零點數(shù)m小于開環(huán)極點數(shù)n,則當K*→o時，趨向無窮遠處的根軌跡共有(n-m)條，這(n-m)條根軌跡趨向于無窮遠處的方位可由漸近線決定。設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為)有(n-m)條漸近線。當s很大時，上式可近似為由上兩式中項s"-m-1系數(shù)相等，得漸近線與實軸交點的坐標為即其分子是極點之和減去零點之和。漸近線與實軸正方向的夾角為式中k依次取0,±1,±2,…,一直到獲得(n-m)個傾角為止。例已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù),試繪制其漸近線。解：3個極點；沒有零點；3條漸近線，與實軸坐標為：根軌跡如下圖所示：P00?PPP00?PP圖4-3例題的根軌跡6.根軌跡的起始角與終止角根軌跡的起始角是指根軌跡起點處的切線與水平線正方向的夾角，為：5∠(p-p?)∠(P-z?)?Z圖4-4根軌跡的起始角與終止角根軌跡的終止角是指根軌跡終點處的切線與水平線正方向的夾角，為：7.分離點的坐標幾條根軌跡在s平面上相遇后又分開(或分開后又相遇)的點，稱為根軌跡的分離點(或會合點)。兩種計算方法：方法(1):因分離點(或會合點)是特征方程的重根，因此可用求重根的方法確定它們的位置。設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為分離點(或會合點)為重根，必然同時滿足方程由上兩式可得即根據(jù)該式，即可確定分離點(或會合點)的參數(shù)。得s2+12s+24=0解之，得s?=-2.54,s?=-9.46相應的增益為K?=1.07,K?=14.9。方法(2):設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為由系統(tǒng)閉環(huán)特征方程，得求極值即s2+12s+24=0相應的增益為K?=1.07,圖4-5例題根軌跡圖方法(3):分離點(或會合點)的坐標可由方程解出，其中p,為開環(huán)極點，z,為開環(huán)零點。例已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試求系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡的分離點坐標。解此方程得di在根軌跡上，是所求的分離點。d?不在根軌跡上，則舍棄。根軌跡如下圖所示：Pjm-Km-Kd0-10P2-j圖4-6例題根軌跡圖8.實軸上分離點的分離角恒為90°根軌跡離開分離點時，軌跡切線的傾角稱分離角。由相角條件可推出，當根軌跡從實軸二重極點上分離時，其右邊為偶數(shù)個零極點，因此該二重極點相角之和為士(2n+1)×180°,即實軸上分離點的分離角恒為士90°。同理，實軸上會合點的會合角也恒為士90。9.根軌跡與虛軸的交點根軌跡與虛軸相交，意味著閉環(huán)極點中有極點位于虛軸上，即閉環(huán)特征方程有純虛根±jo,系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。方法1:將s=jw代入特征方程中得1+G(jw)H(ja)=0或Re[1+G(ja)H(jo)]+Im[1+Gjaja,則可解出值及對應的臨界開環(huán)增益K*及K來。求根軌跡與虛軸的交點。解：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為D(s)=s(s+1)(s+2)+K?=s3+3s2+2令s=jw,代入上式得D(ja)=(jo)3+3(jo)2+2(ja即聯(lián)立得方法2根軌跡與虛軸交點坐標也可通過勞斯判據(jù)求出。仍以上例為例，其勞斯表為解得K*=6即為所求。10.系統(tǒng)閉環(huán)極點之和為常數(shù)(略，不做介紹)11.系統(tǒng)閉環(huán)極點之積(略，不做介紹)4.3廣義根軌跡一、參量根軌跡引入等效開環(huán)傳遞函數(shù)的概念等效開環(huán)傳遞函數(shù)注意：在此的等效意義是在特征方程相同，或者是閉環(huán)極點相同的前提下成立；而此時閉環(huán)零點是不同的。例：設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為其中開環(huán)增益可自行選定。試分析時間常數(shù)對系統(tǒng)性能的影響。要繪制參數(shù)根軌跡，首先要求出等效開環(huán)傳遞函數(shù)的極點。等效開環(huán)極點為：注：若分母多項式為高次時，無法解析求解等效開環(huán)極點，則運用根軌跡法求解。如本例，求解分母特征根的根軌跡方程為：在本例中，K可自行選定，選定不同K值，然后將W1(s)的零、極點畫在s平面上，繪制出k變化時的根軌跡。j-1σ0二、附加開環(huán)零點的作用1.附加適當?shù)拈_環(huán)零點可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性。設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為明不存在有限零點。令為不同的數(shù)值：2.附加開環(huán)零點的目的，除了改善系統(tǒng)穩(wěn)定性之外，還可以改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。結(jié)論：只有當附加零點相對原有系統(tǒng)開環(huán)極點的位置選配適當，才有可能使系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能同時得到明顯的改善。必要繪制相應的根軌跡，其相角條件為