基于GeoGebra的橢圓焦點(diǎn)三角形幾何性質(zhì)的教學(xué)探究 論文

2022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選基于GeoGebra的橢圓焦點(diǎn)三角形幾何性質(zhì)的教學(xué)探究摘要：本文圍繞焦點(diǎn)三角形的幾何性質(zhì)進(jìn)行分析教學(xué)探究過(guò)程，教學(xué)過(guò)程中利用GeoGebra軟件進(jìn)行輔助教學(xué)，具體闡述利用GeoGebra軟件在教學(xué)過(guò)程中進(jìn)行探究和驗(yàn)證的過(guò)程與操作方法。關(guān)鍵詞：GeoGebra軟件，焦點(diǎn)三角形，幾何性質(zhì)；引 言：數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)中提到“在‘互聯(lián)網(wǎng)+’時(shí)代，數(shù)學(xué)新課程教學(xué)要重視GeoGebra軟件能夠?qū)⒋鷶?shù)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為幾何語(yǔ)言，教學(xué)中我們通過(guò)使用GeoGebra軟生動(dòng)、形象的圖形動(dòng)態(tài)展示出來(lái)，從而更好地幫助學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。三角形是橢圓中比較?？嫉囊粋€(gè)知識(shí)點(diǎn)，研究和掌握橢圓中焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)很重要。本文將具體介紹橢圓焦點(diǎn)三角形幾何性質(zhì)教學(xué)中融合GeoGebra軟件的要點(diǎn)分析。一、橢圓焦點(diǎn)三角形幾何性質(zhì)的教學(xué)分析橢圓是高中數(shù)學(xué)新教材選擇性必修第一冊(cè)的內(nèi)容和解三角形的知識(shí)可以解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題。橢圓的定義為平面內(nèi)到定點(diǎn),的距離之和等于常數(shù)（大于

）的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡。設(shè)焦點(diǎn)為,的橢圓方程為12022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選x2 y2+

，a2 b2橢圓上一動(dòng)點(diǎn)P，連接P,,構(gòu)造，則結(jié)合橢圓的定義與正弦定理可得：焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為焦點(diǎn)三角形的面積為

C，S=1PFPF

sinDFPF1 2 1 2。21 2除了以上性質(zhì)結(jié)論外，焦點(diǎn)三角形還有以下特殊性質(zhì)（其中設(shè)DF1 2）：1.張角的最大值為（或C,D為短軸端點(diǎn)。2.定義橢圓上任意一點(diǎn)P(0,0)與其焦點(diǎn)的連線段為焦半徑。焦半徑大小分別為,-，焦半徑的最值分別為maxmin-c。3.焦點(diǎn)三角形的面積為Stanq；2為了更好地研究橢圓焦點(diǎn)三角形以上三點(diǎn)性質(zhì)結(jié)論，筆者采用結(jié)合GeoGebra軟件圖形變化中更好地理解橢圓焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)結(jié)論。二、橢圓焦點(diǎn)三角形性質(zhì)結(jié)論的可視化教學(xué)探究利用GeoGebra軟件進(jìn)行幾何圖形性質(zhì)結(jié)論探究時(shí)，可通過(guò)代數(shù)計(jì)算得到相關(guān)關(guān)系式，在利用軟件觀察動(dòng)態(tài)演示過(guò)程，從而驗(yàn)證和確定結(jié)論的準(zhǔn)確性。1.焦點(diǎn)三角形張角的可視化教學(xué)在實(shí)際教學(xué)中，利用GeoGebra軟件畫(huà)出橢圓和焦點(diǎn)三角形，通過(guò)度量工具度量張角的大小，通過(guò)變換橢圓上點(diǎn)的位置，觀察張角的變化規(guī)律。x2 y2GeoGebra軟件畫(huà)出焦點(diǎn)為,2+2a b

的橢圓及其焦點(diǎn)三角（見(jiàn)圖1其中P(0,0)是橢圓上任意一點(diǎn)參數(shù)a,b利用滑動(dòng)條進(jìn)22022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選只考慮點(diǎn)P在x軸上方的圖形上運(yùn)動(dòng)。圖1利用GeoGebra軟件畫(huà)出的橢圓及焦點(diǎn)三角形利用角度度量工具度量12，移動(dòng)點(diǎn)P(0,0)，觀察12變化，這里可以讓學(xué)生自己操作平板上或者是教室電腦中的GeoGebra軟件，每個(gè)人操作有所不同，最后可以讓學(xué)生歸納總結(jié)其中具有的規(guī)律不難看出當(dāng)點(diǎn)P(0,0)從A?C移動(dòng)的過(guò)程中（見(jiàn)圖2，12逐漸增大當(dāng)P到達(dá)C點(diǎn)時(shí)取最（見(jiàn)圖3當(dāng)點(diǎn)P(0,0)從C?B移動(dòng)的過(guò)程中（見(jiàn)圖逐漸減小。圖2點(diǎn)P(0,0)從A?C移動(dòng)的過(guò)程圖3當(dāng)P到達(dá)C點(diǎn)時(shí)取最大32022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選圖4 點(diǎn)P(0,0)從C?B移動(dòng)的過(guò)程同時(shí)，教師也可引導(dǎo)學(xué)生變換橢圓方程中的參數(shù)a,b，在不同的橢圓中進(jìn)行探討，并引導(dǎo)學(xué)生在利用GeoGebra軟件研究幾何圖形性質(zhì)的時(shí)候，可以考慮變換參數(shù)的取值，在變化中發(fā)現(xiàn)不變的規(guī)律。根據(jù)以上的操作實(shí)踐和觀察，我們可以初步得到猜想，張角的最大值為（或C,D為短軸端點(diǎn)。2.焦半徑的可視化教學(xué)在實(shí)踐觀察過(guò)程中，我們也不難發(fā)現(xiàn)和的變化規(guī)律，點(diǎn)P從A?C?B移動(dòng)的過(guò)程，逐漸增大，逐漸減小。以下就的變化規(guī)律進(jìn)行探究教學(xué)。a2準(zhǔn)線的距離之比為橢圓的離心率ec

-)e-也可以得到。筆者結(jié)合該結(jié)論，讓學(xué)生探究觀察焦半徑與a,e,之間的關(guān)系。通過(guò)線段長(zhǎng)度度量工具度量的長(zhǎng)度，線段長(zhǎng)度數(shù)值會(huì)顯示在線段邊上，同時(shí)通過(guò)代數(shù)計(jì)算a-的值，該值顯示在代數(shù)區(qū)，移動(dòng)P點(diǎn)，觀察與a-值的變化，可以發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)值P點(diǎn)的位置以及變化橢圓方程中參數(shù)a,b的取值，進(jìn)一步觀察實(shí)驗(yàn)結(jié)果。此項(xiàng)實(shí)驗(yàn)過(guò)程主要是讓學(xué)生42022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選自己動(dòng)手驗(yàn)證焦半徑的公式準(zhǔn)確性。圖5焦半徑長(zhǎng)度變化探究P極性。圖6焦半徑長(zhǎng)度公式驗(yàn)證52022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選為了進(jìn)一步確認(rèn)焦半徑公式，可以引導(dǎo)學(xué)生用代數(shù)方法直接證明。以下是證明過(guò)程：根據(jù)兩點(diǎn)之間距離公式可得2 2=

(0-c)

+y0，x2根據(jù)橢圓方程a2

y2+ 1+ 12y2=b2

a2-x2)，0 a2 0所以2 2PF2 2

x-c

+y=

a-cx-cx2? ?22 (0 ) 0

? a0÷

a0。è ?3.焦點(diǎn)三角形面積的可視化教學(xué)面積公式，然后通過(guò)軟件作圖進(jìn)行實(shí)驗(yàn)觀察驗(yàn)證（見(jiàn)圖圖7 焦點(diǎn)三角形設(shè)橢圓焦距為2c，以下是代數(shù)計(jì)算推導(dǎo)的過(guò)程：根據(jù)正弦定理可得根據(jù)余弦定理可得

S=1mnsinq，262022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選化簡(jiǎn)可得

4c2=m2-2mncosq-2mn(1+cosq)，=4a2-2mn(1+cosq)2mn= b ，2帶入S=1mnsinq可得2

1+cosqS=1mnsinqtanq.2 2在推導(dǎo)結(jié)論的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生利用GeoGebra軟件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。通過(guò)度量工具可以度量q，利用公式S=1FF結(jié)合計(jì)算功能可以計(jì)算焦點(diǎn)三2 12 0角形的面積S的值，同時(shí)計(jì)算b2tanq的值，進(jìn)行對(duì)比分析（見(jiàn)圖2圖8驗(yàn)證焦點(diǎn)三角形面積公式

p,p,p,=632 3=度量角，利用一般的角來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證會(huì)比較方便。為了進(jìn)一步驗(yàn)證一般性，教師可以引導(dǎo)學(xué)生改變橢圓方程進(jìn)行驗(yàn)證。72022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選2 2 2+ +探究，其中第一個(gè)橢圓方程為xy2+ +4 4 3x2圖+y22步學(xué)會(huì)GeoGebra軟件的操作，改變橢圓方程需要滑動(dòng)滑動(dòng)條，改變參數(shù)的取值。動(dòng)P點(diǎn)進(jìn)行觀察驗(yàn)證，每個(gè)小組將自己小組所得到的結(jié)論進(jìn)行總結(jié)并在課堂中進(jìn)行分習(xí)數(shù)學(xué)的信心。在GeoGebra軟件中改變橢圓方程比較方便，在動(dòng)態(tài)的變化過(guò)程中，展示的效果比中還有可能得到更多新的結(jié)論，這也更能促進(jìn)學(xué)生深入研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的積極性和信心。圖9改變橢圓方程第一個(gè)橢圓82022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選圖10改變橢圓方程第二個(gè)橢圓圖11改變橢圓方程第三個(gè)橢圓三、結(jié)語(yǔ)GeoGebra軟件進(jìn)行操作實(shí)驗(yàn)、分析、歸納、驗(yàn)證相關(guān)幾何性質(zhì)的結(jié)論，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，同時(shí)也增強(qiáng)了數(shù)92022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選效率，也為學(xué)生自主研究解析幾何圖形其他性質(zhì)打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。參考文獻(xiàn)[1]普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：人民教育出版社（2017年版）[2