【新教材】高中數(shù)學人教B版必修第二冊學案6.1.1　向量的概念Word版含解析【高考】

第六章平面向量初步6.1平面向量及其線性運算6.1.1向量的概念素養(yǎng)目標·定方向課程標準學法解讀1.理解向量的概念，掌握向量的表示方法、記法．2．了解零向量及單位向量．3．掌握向量的相等與平行.通過對向量及有關概念的學習，培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象、直觀想象及邏輯推理素養(yǎng).必備知識·探新知知識點向量的定義與表示(1)定義：既有__大小__又有__方向__的量．(2)表示方法：①幾何表示法：用以A為始點，以B為終點作__有向線段__eq\o(AB,\s\up6(→))．②字母表示法：在印刷時，通常用__加粗__的__斜體小寫__字母如a，b，c、…表示向量，在書寫時，可寫成__帶箭頭__的小寫字母如eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))，eq\o(c,\s\up6(→))，…．(3)向量的模：向量的大小也稱為向量的長度或模，如a，eq\o(AB,\s\up6(→))的模分別記作|a|，|eq\o(AB,\s\up6(→))|．思考：(1)定義中的“大小”與“方向”分別描述了向量的哪方面的特性？只描述其中一個方面可以嗎？(2)由向量的幾何表示方法我們該如何準確地畫出向量？提示：(1)向量不僅有大小，而且有方向．大小是代數(shù)特征，方向是幾何特征．看一個量是否為向量，就要看它是否具備了大小和方向兩個要素，二者缺一不可．(2)要準確畫出向量，應先確定向量的起點，再確定向量的方向，最后根據向量的大小確定向量的終點．知識點特殊向量(1)零向量：__始點__和__終點__相同的向量稱為零向量，記作0．(2)單位向量：長度(或模)為__1__的向量稱為單位向量．(3)相等向量：大小__相等__且方向__相同__的向量稱為相等向量．向量a與b相等，記作a＝B．(4)平行向量或共線向量：方向__相同__或__相反__的非零向量稱為平行向量，也稱為共線向量．向量a平行于b，記作a∥B．規(guī)定__零__向量平行于任何向量．思考：(1)0與0相同嗎？0是不是沒有方向？(2)若a＝b，則兩向量在大小與方向上有何關系？(3)“向量平行”與“幾何中的平行”一樣嗎？提示：(1)0與0不同，0是一個實數(shù)，0是一個向量，且|0|＝0.0有方向，其方向是任意的．(2)若a＝b，意味著|a|＝|b|，且a與b的方向相同．(3)向量平行與幾何中的平行不同，向量平行包括基線重合的情況，故也稱向量共線．關鍵能力·攻重難題型探究題型向量的有關概念┃┃典例剖析__■典例1給出下列命題：(1)平行向量的方向一定相同；(2)向量的模一定是正數(shù)；(3)始點不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；(4)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則A、B、C、D四點必在同一直線上．其中正確的序號是__(3)__．[分析]從共線向量、單位向量、相反向量等的概念及特征進行逐一考察，注意各自的特例對命題的影響．[解析](1)錯誤．兩向量方向相同或相反都視為平行向量．(2)錯誤．|0|＝0.(3)正確．對于一個向量只要不改變其大小和方向，是可以任意移動的．(4)錯誤．共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))必須在同一直線上．故填(3)．規(guī)律方法：要充分理解與向量有關的概念，明白它們各自所表示的含義，搞清它們之間的區(qū)別是解決與向量概念有關問題的關鍵．┃┃對點訓練__■1．給出下列命題：(1)若|a|＝|b|，則a＝b；(2)兩相等向量若其起點相同，則終點也相同；(3)若a＝b，b＝c，則a＝c；(4)若四邊形ABCD是平行四邊形，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))．其中正確命題的序號是__(2)(3)__．[解析](1)該命題不正確，|a|＝|b|只是說明這兩向量的模相等，但其方向未必相同；(2)該命題正確，因兩相等向量的模相等，方向相同，故當它們的起點相同時，其終點必重合；(3)該命題正確，由向量相等的定義知，a與b的模相等，b與c的模相等，從而a與c的模相等；又a與b的方向相同，b與c的方向相同，從而a與c的方向也必相同，故a＝c；(4)該命題不正確，如圖所示，顯然有eq\o(AB,\s\up6(→))≠eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))≠eq\o(DA,\s\up6(→))．題型相等向量與共線向量┃┃典例剖析__■典例2如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形ABDE是矩形．(1)找出與向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量；(2)找出與向量eq\o(AB,\s\up6(→))共線的向量．[分析](1)找與向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量，就是找與eq\o(AB,\s\up6(→))長度相等且方向相同的向量．(2)找與eq\o(AB,\s\up6(→))共線的向量，就是找與eq\o(AB,\s\up6(→))方向相同或相反的向量．[解析](1)由四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形ABDE是矩形知，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(ED,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))的長度相等且方向相同，所以與向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量為eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(ED,\s\up6(→))．(2)由題圖可知eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(ED,\s\up6(→))，eq\o(EC,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))方向相同，eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))方向相反，所以與向量eq\o(AB,\s\up6(→))共線的向量有eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(ED,\s\up6(→))，eq\o(EC,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))．規(guī)律方法：1.尋找相等向量的方法：先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量，再確定哪些是同向且共線的．2．尋找共線向量的方法：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構造同向或反向的向量．3．共線向量與相等向量的關系：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等向量．若兩向量相等，則兩向量方向相同，模相等；若兩向量共線，則兩向量方向相同或相反．┃┃對點訓練__■2．如圖所示，點O為正方形ABCD對角線的交點，四邊形OAED、OCFB都是正方形．在圖中所示的向量中：(1)分別寫出與eq\o(AO,\s\up6(→))、eq\o(BO,\s\up6(→))相等的向量；(2)寫出與eq\o(AO,\s\up6(→))共線的向量；(3)寫出與eq\o(AO,\s\up6(→))的模相等的向量；(4)向量eq\o(AO,\s\up6(→))與eq\o(CO,\s\up6(→))是否相等？[解析](1)eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))，eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))．(2)與eq\o(AO,\s\up6(→))共線的向量為：eq\o(BF,\s\up6(→))，eq\o(CO,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))．(3)∵|eq\o(AO,\s\up6(→))|＝|eq\o(CO,\s\up6(→))|＝|eq\o(DO,\s\up6(→))|＝|eq\o(BO,\s\up6(→))|＝|eq\o(BF,\s\up6(→))|＝|eq\o(CF,\s\up6(→))|＝|eq\o(AE,\s\up6(→))|＝|eq\o(DE,\s\up6(→))|．∴與eq\o(AO,\s\up6(→))模相等的向量為：eq\o(CO,\s\up6(→))，eq\o(DO,\s\up6(→))，eq\o(BO,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))．(4)不相等．題型向量的表示與應用┃┃典例剖析__■典例3(1)如圖的方格由若干個邊長為1的小正方形并在一起組成，方格紙中有定點A，點C為小正方形的頂點，且|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(5)，畫出所有的向量eq\o(AC,\s\up6(→))；(2)如圖所示，在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，N，M分別是AD，BC上的點，且eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→)).求證：eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))．[分析](1)根據方向與大小確定終點即可．(2)利用向量相等證明四邊形ABCD，CNAM為平行四邊形，進而得到eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))．[解析](1)畫出所有的向量eq\o(AC,\s\up6(→))，如圖：(2)因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|，且AB∥CD，所以四邊形ABCD是平行四邊形．所以|eq\o(DA,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|，且DA∥CB．又因為eq\o(DA,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))的方向相同，所以eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))．同理可證四邊形CNAM是平行四邊形，所以eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(NA,\s\up6(→))．因為|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DA,\s\up6(→))|，|eq\o(CM,\s\up6(→))|＝|eq\o(NA,\s\up6(→))|，所以|eq\o(MB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DN,\s\up6(→))|，DN∥MB，即eq\o(DN,\s\up6(→))與eq\o(MB,\s\up6(→))的模相等且方向相同，所以eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))．易錯警示┃┃典例剖析__■典例4在□ABCD中，O是兩對角線AC，BD的交點，設點集S＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{eq\o(MN,\s\up6(→))|M，N∈S}，且M，N不重合，則集合T中元素的個數(shù)為__12__．[錯解]S＝{A，B，C，D，O}，S中任意兩點連成的有向線段有：eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→))；eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BO,\s\up6(→))；eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(CO,\s\up6(→))；eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DO,\s\up6(→))；eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))，共有20個元素．[辨析]求解時，若忽略對相等向量的考慮．[正解]在上面20個向量中，由平行四邊形的性質可知(如圖)，共有8對向量相等，即eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(C