第四講 統(tǒng)計(jì)學(xué)中的相關(guān)分析

第四講

統(tǒng)計(jì)學(xué)中的相關(guān)分析

2023/10/152第一節(jié)相關(guān)分析的意義和種類

一、相關(guān)分析的意義現(xiàn)象總體各單位可以有若干個(gè)數(shù)量標(biāo)志，這些數(shù)量標(biāo)志之間都有一定的關(guān)系，有的關(guān)系密切一些，有的關(guān)系松散一些。一般地說(shuō)，如果總體中某個(gè)變量x的每一個(gè)數(shù)值，與總體中另一個(gè)變量y的數(shù)值有對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們則將其稱為二元總體。如果總體中某個(gè)變量x的每一個(gè)數(shù)值，與總體中另外若干個(gè)變量值有對(duì)應(yīng)關(guān)系，則可將其稱為多元總體。我們僅討論二元總體的情形。2023/10/153對(duì)于二元總體，我們將關(guān)注以下幾個(gè)問題：兩個(gè)變量是不是存在關(guān)系，關(guān)系的密切程度如何，如商品銷售額是否與它的價(jià)格有關(guān)系，關(guān)系密切到什么程度等。

如果存在關(guān)系，那么這種關(guān)系的表現(xiàn)形式是什么。兩個(gè)變量是同方向變動(dòng)，還是反方向變動(dòng)；是線性變動(dòng)，還是非線性變動(dòng)。

怎樣根據(jù)一個(gè)變量的變動(dòng)來(lái)估計(jì)另一個(gè)變量的變動(dòng)。例如，從全社會(huì)固定資產(chǎn)投資額的變動(dòng)來(lái)估計(jì)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的變動(dòng)，從居民收入的變動(dòng)來(lái)估計(jì)零售商品銷售額的變動(dòng)等。

相關(guān)分析就是研究?jī)蓚€(gè)或兩個(gè)以上變量之間相互關(guān)系的統(tǒng)計(jì)分析方法。本章將通過分析二元總體的相關(guān)關(guān)系，來(lái)提供相關(guān)分析的一般模式。社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象總體中的兩個(gè)變量往往表現(xiàn)為因素標(biāo)志和結(jié)果標(biāo)志的的相互關(guān)系，即自變量和因變量之間的因果關(guān)系。自變量和因變量之間的關(guān)系可以概括為兩種類型，即函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系。函數(shù)關(guān)系是指客觀現(xiàn)象存在的一種完全確定的相互依存關(guān)系，即自變量的每一個(gè)取值，因變量會(huì)有唯一確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng)。函數(shù)分析中的自變量和因變量有嚴(yán)格的區(qū)別，不能互換。相關(guān)關(guān)系是客觀現(xiàn)象存在的一種非確定的相互依存關(guān)系，即自變量的每一個(gè)取值，因變量由于受隨機(jī)因素影響，與其所對(duì)應(yīng)的數(shù)值是非確定性的。相關(guān)分析中的自變量和因變量沒有嚴(yán)格的區(qū)別，可以互換。社會(huì)經(jīng)濟(jì)的很多原發(fā)現(xiàn)象都是以相關(guān)關(guān)系表現(xiàn)出來(lái)的。相關(guān)關(guān)系不能用數(shù)學(xué)方程式表示，只能用相關(guān)表、相關(guān)圖及相關(guān)系數(shù)來(lái)分析。2023/10/154二、相關(guān)關(guān)系的概念

2023/10/155三、相關(guān)關(guān)系的種類

（一）單相關(guān)和復(fù)相關(guān)相關(guān)關(guān)系按影響因素的多少可分為單相關(guān)和復(fù)相關(guān)單相關(guān)就是結(jié)果標(biāo)志只受一個(gè)因素標(biāo)志影響的相關(guān)關(guān)系。即所謂二元總體的情形，有一個(gè)自變量和一個(gè)因變量。復(fù)相關(guān)就是結(jié)果標(biāo)志受兩個(gè)或兩個(gè)以上因素標(biāo)志影響的相關(guān)關(guān)系。即所謂多元總體的情形，一個(gè)因變量受多個(gè)自變量的影響。社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象大多是復(fù)相關(guān)關(guān)系。

相關(guān)關(guān)系按表現(xiàn)形態(tài)可分為線性相關(guān)和非線性相關(guān)，相關(guān)關(guān)系本身是一種在數(shù)量上不嚴(yán)格的依存關(guān)系。如果兩個(gè)變量所對(duì)應(yīng)的取值在直角坐標(biāo)系中近似于一條直線，則可將這兩個(gè)變量的關(guān)系稱為線性相關(guān)。如果兩個(gè)變量所對(duì)應(yīng)的取值在直角坐標(biāo)系中近似于一條曲線，則可將這兩個(gè)變量的關(guān)系稱為非線性相關(guān)?，F(xiàn)實(shí)生活中大多數(shù)現(xiàn)象都表現(xiàn)為非線性相關(guān)。有時(shí)非線性相關(guān)現(xiàn)象可以轉(zhuǎn)化為線性相關(guān)現(xiàn)象來(lái)分析。例如，股票的長(zhǎng)期K線圖呈現(xiàn)為曲線，但幾天或幾周的K線圖可視為直線。2023/10/156（二）線性相關(guān)和非線性相關(guān)2023/10/157（三）正相關(guān)和負(fù)相關(guān)相關(guān)關(guān)系按變動(dòng)方向可分為正相關(guān)和負(fù)相關(guān)如果相關(guān)關(guān)系表現(xiàn)為因素標(biāo)志和結(jié)果標(biāo)志的數(shù)值在變動(dòng)方向上保持一致，則稱為正相關(guān)。例如家庭收入增加，銀行儲(chǔ)蓄也會(huì)增加。如果相關(guān)關(guān)系表現(xiàn)為因素標(biāo)志和結(jié)果標(biāo)志的數(shù)值在變動(dòng)方向上相反，則稱為負(fù)相關(guān)。例如企業(yè)的生產(chǎn)規(guī)模越大，產(chǎn)品的單位成本就越低?，F(xiàn)象總體表現(xiàn)出來(lái)的正相關(guān)或負(fù)相關(guān)是有一定條件和范圍的。某種現(xiàn)象不會(huì)永遠(yuǎn)以正相關(guān)表現(xiàn)，也不會(huì)永遠(yuǎn)以負(fù)相關(guān)表現(xiàn)。例如，在一定的范圍內(nèi)，增加施肥量能提高農(nóng)作物的產(chǎn)量，但如果施肥過多，反而使莊稼只長(zhǎng)葉子，不長(zhǎng)果實(shí)，最后可能收獲量很少。2023/10/15第八章相關(guān)分析8四、相關(guān)分析的主要內(nèi)容

第一，判定相關(guān)關(guān)系呈現(xiàn)的形態(tài)、方向、以及相關(guān)關(guān)系的密切程度。判定的方法主要有繪制相關(guān)圖表和計(jì)算相關(guān)系數(shù)。第二，將相關(guān)關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系來(lái)分析，即將變量的相關(guān)關(guān)系擬合成一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式。如果現(xiàn)象呈現(xiàn)線性相關(guān)，我們就采用配合直線方程式的方法；如果現(xiàn)象呈現(xiàn)非線性相關(guān)，我們就采用配合曲線方程式的方法。第三，確定因變量估計(jì)值誤差的程度。用數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)代表變量之間的相關(guān)關(guān)系，必然會(huì)產(chǎn)生誤差，我們可計(jì)算這種估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差。估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差大，說(shuō)明數(shù)學(xué)表達(dá)式的代表性差。反之，估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差小，說(shuō)明數(shù)學(xué)表達(dá)式的代表性好，預(yù)測(cè)較為精確。相關(guān)分析的主要內(nèi)容有：2023/10/159第二節(jié)相關(guān)圖表和相關(guān)系數(shù)一、相關(guān)表的編制相關(guān)表可分為簡(jiǎn)單相關(guān)表和分組相關(guān)表。相關(guān)表屬于統(tǒng)計(jì)表的一種。（一）簡(jiǎn)單相關(guān)表簡(jiǎn)單相關(guān)表是資料未經(jīng)分組的相關(guān)表，它是直接將原始數(shù)據(jù)中的自變量與因變量一一對(duì)應(yīng)排列，并將變量值按從小到大排序形成的統(tǒng)計(jì)表。從表中可以直觀地看出：隨著產(chǎn)量的增加，單位成本有逐漸降低的趨勢(shì)，但不是與產(chǎn)量成等比例地降低，即產(chǎn)量與單位成本呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)關(guān)系。產(chǎn)量與單位成本這種變動(dòng)關(guān)系體現(xiàn)了產(chǎn)品生產(chǎn)的規(guī)模經(jīng)濟(jì)效果。2023/10/1510例8‐1某企業(yè)最近不斷擴(kuò)大產(chǎn)品生產(chǎn)規(guī)模，每次擴(kuò)大規(guī)模后產(chǎn)品產(chǎn)量與單位成本的相關(guān)資料如下表所示：某企業(yè)產(chǎn)品產(chǎn)量與單位成本資料

產(chǎn)量（萬(wàn)件）x

單位成本（元）y

10

16324050607672676563592023/10/1511分組相關(guān)表是將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行分組而編制的統(tǒng)計(jì)表，它適用于資料數(shù)量很大的情況。下表為某地132戶居民人均收入與人均支出的分組相關(guān)表：（二）分組相關(guān)表分組相關(guān)表的自變量分組可以是單項(xiàng)式的，也可以是組距式的。本例為組距式，人均年收入以組中值表示。某地人均收入與人均支出的樣本資料

人均年收入（千元）組中值x（千元）戶數(shù)（戶）人均年支出y（千元）1.0以下1.0～2.02.0～3.03.0～4.04.0～5.05.0以上915233736120.51.52.53.54.55.50.51.21.82.23.64.0從表中可以看出：人均收入與人均支出的關(guān)系是正相關(guān)關(guān)系。即人均收入越高，相應(yīng)的人均支出也越多。2023/10/1512二、相關(guān)圖的繪制相關(guān)圖又稱散點(diǎn)圖，它是將相關(guān)表中的觀察值在平面直角坐標(biāo)系中用坐標(biāo)點(diǎn)描繪出來(lái)的圖形。相關(guān)圖可以用來(lái)直觀地分析兩個(gè)變量相關(guān)的分布狀況。本例人均收入x與人均支出y呈現(xiàn)正相關(guān)關(guān)系，且相關(guān)程度較為密切。

下圖根據(jù)以上分組相關(guān)表資料繪制的：4321

??

??

?

?

0123456

01234562023/10/1513三、相關(guān)系數(shù)的計(jì)算和分析相關(guān)系數(shù)是測(cè)定變量之間相關(guān)密切程度的比較完善的指標(biāo)。單相關(guān)是最基本的相關(guān)關(guān)系，而測(cè)定單相關(guān)的相關(guān)系數(shù)是最基本的相關(guān)分析方法。

0123456（一）相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式剖析

計(jì)算公式為：2023/10/15第八章相關(guān)分析14

0123456式中：是x和y的協(xié)方差；是x的標(biāo)準(zhǔn)差；是y的標(biāo)準(zhǔn)差。

1．協(xié)方差的意義

協(xié)方差是一個(gè)積差平均數(shù)，可用來(lái)度量x和y的相關(guān)關(guān)系。協(xié)方差有兩個(gè)作用：一是它的數(shù)值有正有負(fù)，可表明兩個(gè)變量是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)。二是協(xié)方差數(shù)值的大小可表明兩個(gè)變量相關(guān)程度的大小。2023/10/1515

0123456協(xié)方差的正負(fù)號(hào)與相關(guān)方向的關(guān)系圖示：Ⅰ

ⅡⅢⅣ

當(dāng)相關(guān)點(diǎn)分布在Ⅰ和Ⅲ兩部分時(shí)，協(xié)方差表現(xiàn)為正數(shù)，說(shuō)明是正相關(guān)；當(dāng)相關(guān)點(diǎn)分布在Ⅱ和Ⅳ兩部分時(shí)，協(xié)方差表現(xiàn)為負(fù)數(shù)，說(shuō)明是負(fù)相關(guān)。從圖中可看出：2023/10/1516

0123456協(xié)方差數(shù)值的大小與與變量相關(guān)程度大小的關(guān)系

如果相關(guān)點(diǎn)呈散亂分布狀態(tài)，表明兩個(gè)變量的相關(guān)程度較低，這時(shí)因正負(fù)項(xiàng)相互抵消，所以絕對(duì)值很小，即協(xié)方差的絕對(duì)值很小，從而相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值也很小，表示x和y的相關(guān)程度較低。反之，若相關(guān)點(diǎn)的分布十分靠近某一直線，這時(shí)少有正負(fù)項(xiàng)抵消或沒有正負(fù)項(xiàng)抵消，則協(xié)方差的絕對(duì)值較大，表示x和y的相關(guān)程度密切。協(xié)方差是個(gè)隨機(jī)變量，可大可小，不能直接作為相關(guān)系數(shù)。2023/10/1517

01234562．標(biāo)準(zhǔn)差的作用

標(biāo)準(zhǔn)差和的作用在于對(duì)協(xié)方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理：

由于

≥０所以

2r+2

≥0，r≥-1;-2r+2≥0，r≤1;-1≤r≤1或∣

r∣≤1

當(dāng)x和y完全相關(guān)時(shí)，且2023/10/1518

0123456和

所以有：

即∣r∣=1，2023/10/1519

0123456（二）相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)

相關(guān)系數(shù)只適用于線性相關(guān)的現(xiàn)象，其性質(zhì)有如下幾點(diǎn)：1．當(dāng)＝1時(shí)，x和y為完全線性相關(guān)，即存在線性函數(shù)關(guān)系。

2．當(dāng)r>0時(shí)，表示x和y為正相關(guān)；當(dāng)r<

0時(shí)，為負(fù)相關(guān)。3．當(dāng)＝1時(shí)，即零相關(guān)，表示x和y沒有線性相關(guān)關(guān)系。零相關(guān)表示x和y不相關(guān)或存在非線性關(guān)系。4．當(dāng)0<<1時(shí)，表示x和y存在著一定的線性相關(guān)關(guān)系。<0.3稱為微弱相關(guān);<0.5稱為低度相關(guān);0.3≤<0.8稱為顯著相關(guān);0.5≤<1稱為高度相關(guān);0.8≤相關(guān)系數(shù)的的基本公式比較煩瑣，其簡(jiǎn)式計(jì)算方法有:

2023/10/1520

0123456（三）相關(guān)系數(shù)的簡(jiǎn)化計(jì)算公式

2023/10/1521

0123456例8‐2試根據(jù)下表資料，計(jì)算產(chǎn)品產(chǎn)量與單位成本的相關(guān)系數(shù)。產(chǎn)品產(chǎn)量與單位成本相關(guān)系數(shù)計(jì)算表

產(chǎn)量（萬(wàn)件）序號(hào)123456合計(jì)10163240506208單位成本（元）

76726765635940210025610241600250036009080577651844489422539693481271247601152214426003150354013346即產(chǎn)品產(chǎn)量與單位成本呈現(xiàn)高度負(fù)相關(guān)。2023/10/1522

0123456例8‐3試根據(jù)下表分組資料計(jì)算某地人均收入與人均支出的相關(guān)系數(shù)。

某地人均收入與人均支出的樣本資料

人均年收入（千元）組中值x（千元）戶數(shù)（戶）人均年支出y（千元）1.0以下1.0～2.02.0～3.03.0～4.04.0～5.05.0以上915233736120.51.52.53.54.55.50.51.21.82.23.64.0將上表資料計(jì)算如下（先利用表格計(jì)算）:合計(jì)

人均收入與人均支出相關(guān)系數(shù)計(jì)算表

0.51.52.53.54.55.50.51.21.82.23.64.013.3915233736121324.522.557.5129.5162.066.0442.04.518.041.481.4129.648.0322.92.327.0103.5284.9583.2264.01264.92.2533.75143.75453.25729.00363.001725.002.2521.6074.52179.08466.56192.00936.012023/10/1523

0123456然后可用簡(jiǎn)化公式計(jì)算如下:式中：計(jì)算結(jié)果表明該地居民人均收入與人均支出呈高度正相關(guān)關(guān)系?；貧w分析就是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)或兩個(gè)以上變量之間數(shù)量變化的一般關(guān)系進(jìn)行測(cè)定，確立一個(gè)相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，以便從一個(gè)已知量來(lái)推測(cè)另一個(gè)未知量，為估算預(yù)測(cè)提供基礎(chǔ)的一種重要方法。2023/10/1524第三節(jié)回歸分析一、回歸分析的意義相關(guān)分析是回歸分析的基礎(chǔ)，回歸分析是相關(guān)分析的深入。只有當(dāng)兩個(gè)變量具有顯著相關(guān)的情況下，進(jìn)行線性回歸分析才有意義。按自變量的個(gè)數(shù)分，有一元回歸分析和多元回歸分析。一元回歸方程中只有一個(gè)自變量，多元回歸方程中，有兩個(gè)或兩個(gè)以上自變量。按回歸線的形狀分，有線性回歸分析和非線性回歸分析。其中，線性回歸分析是最基本的。本章只介紹一元線性回歸分析，即直線回歸分析。2023/10/1525回歸分析的種類：2023/10/1526二、直線回歸方程（一）直線回歸方程的建立當(dāng)x和y呈現(xiàn)完全線性相關(guān)時(shí)，設(shè)，則可用一元線性方程式表示：若兩個(gè)變量之間存在著顯著的相關(guān)關(guān)系，可在其相關(guān)圖的散點(diǎn)中引出一條模擬的直線，我們稱這條直線為估計(jì)回歸線，配合回歸線的方程式稱回歸方程。即：式中：yc

表示y的估計(jì)值；a表示直線的起始值，在數(shù)學(xué)上稱為直線在縱軸上的截距；b表示自變量增加一個(gè)單位時(shí)因變量平均增加的值，數(shù)學(xué)上稱為斜率，這里被稱為回歸系數(shù)。a、b是兩個(gè)待定的參數(shù)。

最小二乘法的思路是：原始數(shù)據(jù)y與它的估計(jì)值yc之間存在離差，如果在求解出a、b的同時(shí)，能使這些離差的平方之和為最小，那么得到的回歸方程將是一條最能反映原始數(shù)據(jù)變化規(guī)律的理想直線。

2023/10/1527用最小二乘法來(lái)求解直線方程式參數(shù)a、b

設(shè)以Q表示y對(duì)于yc的離差平方和，則有分別對(duì)a、b求一階偏導(dǎo)，并令一階偏導(dǎo)等于0，有2023/10/1528整理后得解之可得最小二乘法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是為最小和2023/10/1529例8‐4根據(jù)下表資料擬合一直線方程，并估算產(chǎn)量為70萬(wàn)件時(shí)的單位成本。產(chǎn)品產(chǎn)量與單位成本資料及計(jì)算表

產(chǎn)量（萬(wàn)件）序號(hào)123456合計(jì)10163240506208單位成本（元）

767267656359402100256102416002500360090807601152214426003150354013346可計(jì)算如下：2023/10/1530得直線趨勢(shì)方程：當(dāng)產(chǎn)量為70萬(wàn)件時(shí)，可估算產(chǎn)品的單位成本為：回歸系數(shù)b的經(jīng)濟(jì)意義為：產(chǎn)品產(chǎn)量每增加1萬(wàn)件，單位成本平均來(lái)說(shuō)降低0.32元。注意：回歸系數(shù)b的正負(fù)號(hào)與同例的相關(guān)系數(shù)是相同的。

（元）注意：預(yù)測(cè)時(shí)只能給定自變量估算或預(yù)測(cè)因變量，不能給定因變量來(lái)估算或預(yù)測(cè)自變量。2023/10/1531例8‐5根據(jù)下表資料試擬合一直線方程，并估算人均收入為6000元時(shí)，人均支出為多少？可計(jì)算如下：合計(jì)

某地人均收入與人均支出資料及計(jì)算表

0.51.52.53.54.55.50.51.21.82.23.64.013.3915233736121324.522.557.5129.5162.066.0442.04.518.041.481.4129.648.0322.92.327.0103.5284.9583.2264.01264.92.2533.75143.75453.25729.00363.001725.00人均收入人均支出戶數(shù)2023/10/1532得直線趨勢(shì)方程：本例人均收入和人均支出的單位為千元，

a為y軸上的截距；

b的經(jīng)濟(jì)意義是人均收入每增加1000元，則當(dāng)年的人均支出將增加750元。彈性系數(shù)是因變量增長(zhǎng)率與自變量增長(zhǎng)率的比率，它表明自變量增長(zhǎng)１%時(shí)，因變量增長(zhǎng)百分之多少。2023/10/1533（二）彈性系數(shù)、相關(guān)系數(shù)和回歸系數(shù)的關(guān)系

1．彈性系數(shù)與回歸系數(shù)的關(guān)系式中，為彈性系數(shù)；就是直線回歸方程中的斜率，即回歸系數(shù)b。因此有2023/10/15第八章相關(guān)分析342．相關(guān)系數(shù)與回歸系數(shù)的關(guān)系因此有相關(guān)系數(shù)的基本公式為而回歸系數(shù)可表達(dá)為：注意：r和b在不等于0的情況下正負(fù)方向相同。2023/10/1535第一，回歸分析是研究?jī)蓚€(gè)變量之間的必須有因果關(guān)系，相關(guān)分析兩個(gè)變量之間不一定有因果關(guān)系。第二，回歸分析中因