含參不等式的解法及恒成立問題 論文

含參不等式的解法及恒成立問題摘不等式恒成立問題都是常見的問題,也是函數(shù)中的一個(gè)重點(diǎn)、難點(diǎn)。本文針對一些比較常見的含參數(shù)不等式的解法及恒成立類型問題,通過實(shí)例來說明常見不等一定的參考意義。關(guān)鍵詞：含參不等式、分類討論、恒成立引言：求解含參數(shù)的不等式集中了解不等式的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，常與分類討論、數(shù)形結(jié)合思想相結(jié)合，成為各類考試中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。一、含參變量不等式的解法1．含參變量的不等式的基本問題類型(1)分類討論思想，針對參變量在不同區(qū)域取值時(shí)，求得不等式的解集．(2)量分離，然后將問題化歸為函數(shù)在某范圍內(nèi)的最值問題求解．2.分類與分類原則集是全集”，即不遺漏．的，不出現(xiàn)重復(fù)；(5)如需多次分類，必須逐級進(jìn)行，不得越級．3、含參數(shù)的一元二次不等式的討論策略例1解關(guān)于x的不等式。式與不含參數(shù)的一元二次不等式的解題過程實(shí)質(zhì)是一樣的，結(jié)合二次函數(shù)的圖象、一元二次不等式分類討論。解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，原不等式的解集為。（2）當(dāng)a>0時(shí)，方程，△=4－4a。①若△>0，即0<a<1時(shí)，方程 的兩個(gè)解為，，所以原不等式的解集為。②若△=0，即a=1時(shí)，原不等式的解集為。③若△<0，即a>1時(shí)，原不等式的解集為R。④當(dāng)時(shí)，一定有△>0，方程 兩個(gè)解為，，且 。原不等式的解集為?？偨Y(jié)：對含參數(shù)的一元二次不等式的討論，一般可分為以下三種情形：（1）方程是否有解時(shí)需要對判別式“△”進(jìn)行討論。（2）當(dāng)含參數(shù)的一元二次不等大小，因此需要對解的大小進(jìn)行比較。（3）當(dāng)含參數(shù)的一元二次不等式的二次討論，有時(shí)還要對方程的解的大小進(jìn)行比較。4、含參數(shù)的絕對值不等式的討論方法例2解關(guān)于x的不等式。錯(cuò)解：。當(dāng)時(shí)，解得。當(dāng)時(shí)，解得。a作任何討論，陷入了解不等式的思維混亂狀態(tài)。解絕對值不等式的關(guān)鍵是去掉絕對值符號(hào)，由于aa進(jìn)行分類討論，特別注意解不等式時(shí)要考慮0≤a<4和a正確解法：當(dāng)a<0時(shí)，得。當(dāng)時(shí)，得①或②。由①解得。由②得 。

≥4兩種情況。此時(shí)分類可知，若，解得 。若，此不等式無解。綜上，當(dāng)a<0時(shí)，原不等式解集為R；當(dāng) 時(shí) ， 原 不 等 式 解 集 為<x<當(dāng) 時(shí)，原不等式解集為。求解。5、含參數(shù)的分式不等式的討論方法例3已知 ，解不等式。為整式不等式討論。解：原不等式化為①策略一：分式不等式的最基本形式是，對于任意一個(gè)分式不等式，應(yīng)當(dāng)首先用移項(xiàng)、通分轉(zhuǎn)化為最基本形式。（1）當(dāng)a=0時(shí)，原不等式為。在①中，分子中x的系數(shù)含有字母a，分類討論就從這里引起。（2）當(dāng)a≠0時(shí)，原不等式化為。 ②對于不等式②，分子中的系數(shù)a不能隨意約去，因?yàn)楦鶕?jù)不等式的性質(zhì)，若給不等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)負(fù)數(shù)，不等式的方向要改變。當(dāng)a>0時(shí)，原不等式等價(jià)于。由于，可解得。也可先確定兩根 ，然后直接寫出解集。當(dāng)a<0時(shí)，。由由。綜上，當(dāng)a=0時(shí)原不等式的解集為。當(dāng)a>0時(shí)，解集為當(dāng)a<0時(shí)，解集為 。雜問題分解為基本問題，就會(huì)理清思路，化繁為簡，快速解題。二、含參不等式恒成立問題1、例題剖析例1、已知函數(shù)f(x)＝ex－kx，x∈R.(1)若k＝e，試確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若k的取值范圍．例2、已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax＋x－1(a∈R)．(1)當(dāng)a≤f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)g(x)＝x2－2bx＋4，當(dāng)ax1∈(0,2)，存在f(x1)≥g(x2)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．中，a與零的比較成為分類討論的出發(fā)點(diǎn)．第(2)問中，注意等價(jià)轉(zhuǎn)換。例3、已知函數(shù)f(x)＝2x＋(x－a)|x－a|.(1)若f(0)≥1，求a的取值范圍；(2)求f(x)的最小值；(3)設(shè)函數(shù)h(x)＝f(x)，x∈(a，＋∞)，直接寫出(不需給出演算步驟)不等式h(x)≥1的解集．評注：解決含參變量恒成立的不等式問題的步驟是：①分離變量：即將參變量與主變量分開，分別分布在不等式兩側(cè)．h(a)≥f(x)恒成立，只需h(a)≤f(x)恒成立，只需h(a)≤[f(x)]min.形結(jié)合求解．2、解題的幾種策略策略1分離參數(shù)法x例1x的不等式4+x?1?a2+2a>0對x∈（0，+∞）恒成立，x則實(shí)數(shù)a的取值范圍為？x解問題等價(jià)于a2?2a+1<x+4x，對x∈（0，+∞）恒成立。設(shè)f（x）=x+4，x所以a2?2a+1<=4，所以a2?2a+1<4，解得?1<a<3，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（?1，3）。

4 4x≥2x?x評注數(shù)，先轉(zhuǎn)化為f（a）≥g（x）在區(qū)間D上的最大值（或最小值）問題。策略2更換主元法1例2、已知不等式lnx?

x2+bx+c≤0對任意x∈（0，+∞），b∈2（0，）3 恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍。（0，）2評注：當(dāng)字母參數(shù)的范圍已知時(shí)，求主元的范圍，均可變換主元。如已知K∈[m,n],若kx2+kx+1≥0恒成立，構(gòu)造關(guān)于K的一次函數(shù)fk的一元一次不等式f（k）≥0在K∈[m,n]上恒成立。策略3數(shù)形結(jié)合法2例3、設(shè)實(shí)數(shù)a≥1，使得不等式x|x?a|+3≥a對任意的實(shí)數(shù)x∈[1,2]恒成立，則滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍是？2和化歸，即把“f（x）<g（x）恒成立”轉(zhuǎn)化為“f（x）的圖象在g（x）的圖注意關(guān)鍵點(diǎn)、漸近線等關(guān)鍵位置。策略4先變主元，再分離參數(shù)x例a+b（x≠∈R.若對于任意的a∈[x1,2],不等式f（x）≤10在[1,1]上恒成立，則b的取值范圍是？2 4解關(guān)于a的一次函數(shù)1a+x+b，因x∈（1,1]時(shí)x>x 4的a∈[1,2]，不等式g（a）≤10恒成立，則g（2）≤10，即2+x+b≤10。2 x2 1因此不等式2+x+b≤10b≤10-（,1]上恒x 4 x 4成立，≤所以b 7。4≤（得到一次函數(shù)b≤10- 2（x x最終變成常見的恒成立問題。題都是常見的問題,也是函數(shù)中的一個(gè)重點(diǎn)、難點(diǎn)。教師需要總結(jié)分類，從而更中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。參考文獻(xiàn)[