接觸剛度的計算

3-2-3定義齒輪嚙合的接觸碰撞力為了保證仿真分析的真實性，齒輪之間的嚙合運動關系沒有被定義成理想化的幾何約束關系，而是被定義為基于接觸碰撞的力約束關系， 即齒輪之間只能通過接觸碰撞力（法向）和摩擦力（切向）相互約束，而不存在其他的約束關系。在ADAMS中有兩種接觸碰撞的計算模型，一種是基于Hertz理論的Impact函數(shù)模型，一中是基于恢復系數(shù)（Coefficientofrestitution）的泊松（POISSON）模型。兩種力模型都來自于法向接觸約束的懲罰函數(shù)。ADAMS/C++Solver使用懲罰因子來轉(zhuǎn)換所有的接觸約束。采用Impact函數(shù)來計算各嚙合齒輪輪齒之間的接觸碰撞力。Impact函數(shù)模型將實際中物體的碰撞過程等效為基于穿透深度的非線性彈簧一阻尼模型，其計算表達式為：x x1jMaxAKX—x$ xx x1-stepx5xAd5Cmax,x150x,0(3-1)x X(3-1)其中K——接觸剛度系數(shù)；x1--位移開關量，用于確定單側(cè)碰撞是否起作用;X 接觸物體之間的實測位移變量；d--阻尼達到最大時兩接觸物體的穿透深度；Cmax——最大接觸阻尼；X--穿透速度；n--非線性彈簧力指數(shù)。當xx1時，兩物體不發(fā)生接觸，接觸力為0,當x：：：X1時，兩物體接觸，接觸力大小與接觸剛度系數(shù)、非線性指數(shù)、阻尼系數(shù)以及兩物體距離的改變量即穿透量有關。由以上公式可知，Impact接觸力包括兩個部分：（1） 彈性分量K（X1-x）n，相當于一個非線性彈簧；（2）阻尼分量stepX,X1-d5Cmax5X150x，其方向與運動方向相反，為了避免阻尼分量突變而使得函數(shù)變得不連續(xù)，采用了階躍函數(shù) step（）來定義阻尼，step（）函數(shù)是利用三次多項式逼近海賽（Heacisde）階躍函數(shù)，具有連續(xù)的一階導數(shù)，但在起始點處二階導數(shù)不連續(xù)。在ADAMS中的表達形式為：step（x,Xo,ho5Xi5hi札(3-2)X::oX::Xi=<h0+（g_h0）（x—X。）*%_x。）丁E_2如_x。(3-2)X::oX::Xihi其中，X為自變量，當X小于Xo時，因變量的值為初始值h0,當X大于Xi時,因變量的值為終止值hi;當X在初始值和終止值之間變化時，因變量根據(jù)一定規(guī)律光滑過渡，避免出現(xiàn)數(shù)值過渡突變、微分值不連續(xù)。由此定義的碰撞阻尼系數(shù)，如圖3-5所示。cA圖3-5碰撞過程中的阻尼變化曲線（1）彈性分量計算cA圖3-5碰撞過程中的阻尼變化曲線（1）彈性分量計算物體接觸剛度系數(shù)與物體的材料屬性和接觸表面的幾何形狀有關，文獻［i］提供的接觸剛度計算式來計算各齒輪嚙合的齒廓面接觸剛度，-■/2K= 4 晶23兀（h+h2）［嘩+%在此根據(jù)計算式為:(3-3)其中，Ri,R2--相嚙合的兩齒廓面在嚙合點處的曲率半徑。對于漸開線齒輪，其工作過程中嚙合點在齒廓面上的位置是不斷變化的，其曲率半徑也是不斷變化的，主動輪齒廓面上嚙合點處的曲率半徑由小變大，從動輪尺闊面上嚙合點處的曲率半徑由大變小，因此以兩輪齒在節(jié)點處嚙合作為計算點，mz則Ri=2,sin）；i=1,2，m為模數(shù)，z為嚙合齒輪的齒數(shù)，〉為節(jié)圓壓力角，對于標準嚙合，節(jié)圓壓力角等于分度圓壓力角20°。加，h2――材料參數(shù)，定義為：h'A-U,2;i=i,2,u為泊松比，E為二E,彈性模量非線性指數(shù)n,根據(jù)Hertz理論，一般取1.5較合適⑵。(2)阻尼分量計算采用文獻［2］給出的非線性阻尼模型來計算輪齒嚙合接觸阻尼系數(shù)，該阻尼

模型認為物體表面接觸一碰撞過程中的能量損失是由接觸阻尼引起的， 在基于等效能量損失的基礎上給出接觸阻尼的計算式：(3-4)3K(1_e)2(3-4)-4U 其中，K--接觸剛度；e——彈性恢復系數(shù)，一般定義為碰撞前法向速度差值與碰撞后法向速度差值的比值。跟物體的材料、碰撞表面曲率半徑、碰撞速度、以及潤滑介質(zhì)的粘度有關，一般通過實驗測定。:--穿透深度，對應ADAMS取最大阻尼系數(shù)時的穿透深度，在此取、=0.1mm；n--非線性指數(shù)，一般取1.5⑵。u--碰撞速度，以相嚙合的兩個齒輪在節(jié)點處的線速度的差值代替。在齒廓面間的動態(tài)碰撞力的作用下，相嚙合的兩個齒輪在節(jié)點處的線速度是不等的，且隨時間變化，即碰撞速度也不是定值在阻尼分量中，彈性恢復系數(shù)和碰撞速度與實際的工況有關，其具體的取值在各仿真工況下確定。摩擦力計算接觸體之間的摩擦力采用庫侖摩擦模型，考慮靜摩擦和動摩擦，有潤滑時，取靜摩擦系數(shù)為0.08,動摩擦系數(shù)為0.05,無潤滑時，取靜摩擦系數(shù)為0.15,動摩擦系數(shù)為0.1o在ADAMS中摩擦力采用下面的函數(shù)表達式計算：F=-N*step(v,-Vs,-1,Vs,1)*step(ABS(v),Vs,Cst,Vtr,Cdy) (3-5)其中：n——法向力；v--表面相對滑移速度；Vs--最大靜摩擦對應的相對滑移速度;Cst--靜摩擦系數(shù)；Vtr--動摩擦對應的相對滑移速度；Cdy---動摩擦系數(shù);圖3-5摩擦系數(shù)與相對滑移速度的關系曲線4發(fā)射裝置動力學仿真ADAMS動力學分析算法及求解器的選擇ADAMS對動力學微分方程，根據(jù)機械系統(tǒng)特性，選擇不同的積分算法：對剛性系統(tǒng)，采用變系數(shù)的BDF（BackwardsDifferentiationFormulation）剛性積分程序，它是自動變階、變步長的預估校正法（PECE，Predict-Evaluate-Correct-Evaluate，并分別有Index3、SI2、SI1三種積分格式，在積分的每一步采用了修正的 Newton-Raphson迭代算法，對應的求解器有GSTIFF、WSTIFF、DSTIFF、CONSTANT_BDF;對高頻系統(tǒng)，采用坐標分塊法將微分一代數(shù)（DAE）方程簡化為常微分（ODE）方程，分別利用 ABAM（Adams-BashforthandAdams-Moulton）方法和龍格一庫塔（RKF45）方法求解，對應的求解器有ABAM求解器和RKF45求解器。BDF剛性積分法步驟（1）預估階段用Gear預估一校正算法可以有效地求解微分一代數(shù)方程。首先，根據(jù)當前時刻的系統(tǒng)狀態(tài)變量，用泰勒級數(shù)預估下一時刻系統(tǒng)的狀態(tài)矢量值：yn1-yy -!,2 （4-1）其中，時間步長h=tn1-仁。這種預估算法得到的新時刻的系統(tǒng)狀態(tài)矢量值通常不準確，可以用Geark+1階積分求解程序（或其他向后差分積分程序）來

校正校正k(4-2)yn1=-h-°yn1■〉iyn(4-2)其中，yni為y⑴在t=tni時的近似值；：。和內(nèi)Gear積分程序系統(tǒng)值。上式經(jīng)過整理，可表示為：-11 (4-3)校正階段 ：求解系統(tǒng)方程G,如G(y,y,t)=0,則方程成立，此時的y為方程的解，否則繼續(xù)。求解Newton-Raphson線性方程，得到，y，以更新y，使系統(tǒng)方程G更接近于0。J：y=G(y,y,tm)，其中J為系統(tǒng)的雅可比矩陣。采用Neeton-Raphson迭代，更新y:yk*=yk+Ayk重復以上步驟直到勺足夠小。(3)誤差控制階段預估計積分誤差并與誤差精度比較，如積分誤差過大，則舍棄此步。計算優(yōu)化的步長h和階數(shù)n。如達到仿真結束時間，則停止，否則t"At,重新進入第一步。4.1.2坐標縮減的微分方程求解過程步驟(1)坐標分離將坐標的約束方程進行矩陣的滿秩分解，可將系統(tǒng)的廣義坐標列陣 iqf分解成獨立坐標列陣3門和非獨立坐標列陣9只，即qd7。預估用Adams-Bashforth顯示公式，根據(jù)獨立坐標前幾個小時步長的值，預估tn1時刻的獨立坐標值日尹，P表示預估值。校正用Adams-Moulton隱示公式對上面的預估值，根據(jù)給定的收斂誤差限進行校正，以得到獨立坐標的校正值qi：C，C表示校正值。確定相關坐標確定獨立坐標的校正值后，可由相應公式計算出非獨立坐標和其他系統(tǒng)狀態(tài)變量值。積分誤差控制與上面預估一校正算法積分誤差控制過程相同，如果預估值與校正的差值小于給定的積分誤差限，接受該解，進行下一時刻的求解。否則減小積分步長