三角形的高中線與角平分線

八年級(jí)數(shù)學(xué)上分層優(yōu)化堂堂清十一章三角形11.1.2三角形的高、中線與角平分線（解析版）學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握三角形的高，中線及角平分線的概念.2.掌握三角形的高，中線及角平分線的畫法.3.掌握鈍角三角形的兩短邊上高的畫法.老師對(duì)你說：一、三角形的高從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡(jiǎn)稱三角形的高．三角形的高的數(shù)學(xué)語(yǔ)言：如圖，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC邊上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)；三角形高線中的一些注意點(diǎn)：（1）三角形的高是線段；（2）三角形有三條高，且相交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的垂心；（3）三角形的三條高：(ⅰ)銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，三條高的交點(diǎn)也在三角形內(nèi)部；(ⅱ)鈍角三角形有兩條高在三角形的外部，且三條高的交點(diǎn)在三角形的外部；(ⅲ)直角三角形三條高的交點(diǎn)是直角的頂點(diǎn).二、三角形的中線三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與它的對(duì)邊中點(diǎn)的連線叫三角形的中線．三角形的中線的數(shù)學(xué)語(yǔ)言：如圖二，AD是ΔABC的中線或AD是ΔABC的BC邊上的中線或BD＝CD＝BC.圖一圖二圖三三角形中線中的一些注意點(diǎn)：（1）三角形的中線是線段；(2)三角形三條中線全在三角形內(nèi)部；(3)三角形三條中線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫三角形的重心；(4)中線把三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形.三、三角形的角平分線三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.三角形的角平分線的數(shù)學(xué)語(yǔ)言：如下圖，AD是ΔABC的角平分線，或∠BAD＝∠CAD且點(diǎn)D在BC上.ABD注意：AD是ΔABC的角平分線∠BAD＝∠DAC＝∠BAC(或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC).ABDCC三角形角平分線中的一些注意點(diǎn)：（1）三角形的角平分線是線段；（2）一個(gè)三角形有三條角平分線，并且都在三角形的內(nèi)部；（3）三角形三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心；（4）可以用量角器或圓規(guī)畫三角形的角平分線.基礎(chǔ)提升教材核心知識(shí)點(diǎn)精練知識(shí)點(diǎn)1：三角形的高【例1-1】畫△ABC中AB邊上的高，下列畫法中正確的是(

)A. B.

C. D.【答案】C

【解析】【分析】

本題主要考查的是三角形的高線的有關(guān)知識(shí)，直接利用三角形的高線的畫法進(jìn)行求解即可．

【解答】

解：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線畫垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段，叫三角形的一條高線，

由此可知：△ABC中AB邊上的高畫法正確的是C選項(xiàng)，

故選C．

【例1-2】如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于點(diǎn)D，DE⊥BC于點(diǎn)E，則下列說法中正確的是(

)

A.DE是△ACE的高 B.BD是△ADE的高

C.AB是△BCD的高 D.DE是△BCD的高【答案】D

【解析】【分析】

本題主要考查三角形高線的意義，掌握“從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€，垂足和頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高”是解決問題的關(guān)鍵.對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析即可．

【解答】

解：A.DE是△ACE的高，不符合三角形高的定義，故此說法不正確；

B.BD是△ADE的高，不符合三角形高的定義，故此說法不正確；

C.AB是△BCD的高，不符合三角形高的定義，故此說法不正確；

D.DE是△BCD的高，符合三角形高的定義，故此說法正確．

故選D．

知識(shí)點(diǎn)2：三角形的中線【例2-1】如圖，在△ABC中，AD、AE分別是BC邊上的中線和高，AE=6，S△ABD=15，則CD=

．

【答案】5

【解析】【分析】

由三角形的面積公式可求得BD的長(zhǎng)，再由中線的定義可得CD=BD，從而得解．

本題主要考查三角形的面積以及三角形的高線，中線，解答的關(guān)鍵是由三角形的面積公式求得BD的長(zhǎng)．

【解答】

解：∵S△ABD=15，AE是BC邊上的高，

∴12BD?AE=15，

則12×6BD=15，

解得：BD=5，

∵AD是【例2-2】如圖，的周長(zhǎng)為，，邊上的中線，的周長(zhǎng)為，求的長(zhǎng)．

【答案】8【分析】設(shè)，，由是邊上的中線，得，結(jié)合的周長(zhǎng)為、的周長(zhǎng)為，聯(lián)立方程組，求解方程組即可．解：設(shè)，，是邊上的中線，，由題意得：，，即：，解得，的長(zhǎng)為8．【點(diǎn)撥】本題考查了中線的性質(zhì)，三角形周長(zhǎng)，二元一次方程組解決實(shí)際問題；解題的關(guān)鍵是通過中線得到線段之間的數(shù)量關(guān)系，并建立相關(guān)方程．知識(shí)點(diǎn)3：三角形的角平分線【例3-1】如圖，在中，，G為的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E、F為上的一點(diǎn)，于點(diǎn)H，

（1）的高線是___________；（2）是三角形_________的角平分線．【答案】【分析】根據(jù)三角形的高：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向底邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高；角平分線：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊交于一點(diǎn)，則這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)與所交的點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線，分別判斷即可．解：∵于點(diǎn)H，∴的高線是；∵，∴是三角形的角平分線，故答案為：，．【點(diǎn)撥】本題考查三角形的角平分線、高線，關(guān)鍵是掌握相應(yīng)的定義．【例3-2】如圖，AD是△ABC的角平分線，點(diǎn)P為AD上一點(diǎn)，PM//AC交AB于點(diǎn)M，PN//AB交AC于點(diǎn)N.求證：PA平分∠MPN．

【答案】證明：∵AD是△ABC的角平分線，

∴∠PAM=∠PAN，

∵PM//AC，PN//AB

∴∠APM=∠PAN，∠APN=∠PAM，

∴∠APM=∠APN，

∴PA平分∠MPN．

能力強(qiáng)化提升訓(xùn)練1.在△ABC中，AB＝BC，中線AD將這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分成15和12兩部分，則AC的長(zhǎng)為（

）A．7 B．11 C．7或11 D．8或10【答案】C【分析】設(shè)AB＝BC＝2x，AC＝y(tǒng)，則BD＝CD＝x，根據(jù)周長(zhǎng)分成兩部分可得分兩種情況討論即可，注意三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用．解：設(shè)AB＝BC＝2x，AC＝y(tǒng)，∵AD為BC邊上的中線，∴則BD＝CD＝x，∵中線AD將這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分成15和12兩部分，∴當(dāng)AB＋BD＝15，且AC＋CD＝12時(shí)，則2x＋x＝15，且y＋x＝12，由2x＋x＝15解得：x＝5，∴y＋5＝12，解得：y＝7，∴三邊長(zhǎng)分別為10，10，7（符合題意），∴AC＝7；當(dāng)AB＋BD＝12，且AC＋CD＝15時(shí)，則2x＋x＝12，且y＋x＝15，由2x＋x＝12解得：x＝4，∴y＋4＝15，解得：y＝11，∴三邊長(zhǎng)分別為8，8，11（符合題意），∴AC＝11，綜上所述：AC的長(zhǎng)為7或11，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的中線以及三角形三邊關(guān)系，注意要分兩種情況討論是正確解答本題的關(guān)鍵．如圖，，分別是的高，，，，求的長(zhǎng)．

【答案】．【分析】根據(jù)三角形的面積公式即可求得．解：，分別是的高，∴，∴，，，，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的面積公式的應(yīng)用；三角形的面積底高．3.如圖，A，B，C分別是線段、、的中點(diǎn)，若的面積是70，那么的面積是()

A．10 B．12 C．15 D．20【答案】A【分析】連接，，，根據(jù)三角形的中線將這個(gè)三角形的面積平均分成相等的兩份可知，的面積等于的面積，從而得到的面積等于的面積的兩倍，同理可求的面積與的面積也是的面積的兩倍，從而得解．解：如圖，連接，，，

、分別是線段，的中點(diǎn)，∴，，同理：，，的面積．，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的面積，三角形的中線的性質(zhì)，主要利用了等底等高的三角形的面積相等，作輔助線把三角形進(jìn)行分割是解題的關(guān)鍵．4.如圖，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分線，它們相交于點(diǎn)O，∠C=70°．

(1)∠AOB的度數(shù)為______；

(2)若∠ABC=60°，求∠DAE的度數(shù)．

【答案】解：(1)125°；

(2)∵在△ABC中，AD是高，∠C=70°，∠ABC=60°，

∴∠DAC=90°?∠C=90°?70°=20°，∠BAC=180°?∠ABC?∠C=50°

∵AE是∠BAC的角平分線，

∴∠CAE=12∠CAB=25°，

∴∠DAE=∠CAE?∠CAD=25°?20°=5°，

【解析】【分析】

(1)根據(jù)角平分線的定義得出∠OAB+∠OBA=12(∠BAC+∠ABC)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠BAC+∠ABC=180°?∠C=110°，進(jìn)而可求解；

(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠DAC，∠BAC，根據(jù)AE是∠BAC的角平分線，得出∠CAE=12∠CAB=25°，根據(jù)∠DAE=∠CAE?∠CAD，即可求解．

本題考查了三角形高線，角平分線，三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．

【解答】

解：(1)解：∵AE、BF是∠BAC、∠ABC的角平分線，

∴∠OAB+∠OBA=12(∠BAC+∠ABC)，

在△ABC中，∠C=70°，

∴∠BAC+∠ABC=180°?∠C=110°，

堂堂清填空題（每小題4分，共32分）1.下列圖形中，正確畫出AC邊上的高的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)高的定義即可求解．【詳解】解：根據(jù)銳角三角形和鈍角三角形的高線的畫法，可得D選項(xiàng)中，BE是△ABC中AC邊長(zhǎng)的高，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查高的作法，解題的關(guān)鍵是熟知高的定義．2.如圖，AD，AE，AF分別是△ABC的中線，角平分線，高，下列各式中錯(cuò)誤的是（

）A．BC=2CD B．∠BAE=C．∠AFB=90° D．AE=CE【答案】D【分析】根據(jù)三角形的高線，角平分線和中線解答即可；【詳解】解：A．∵AD是△ABC的中線∴BC=2CD，故選項(xiàng)正確，不符合題意；B．∵AE是△ABC的角平分線∴∠BAE=故選項(xiàng)正確，不符合題意；C．∵AF是△ABC的高，∴∠AFB=90°故選項(xiàng)正確，不符合題意；D．AE=CE不一定成立，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查三角形的高線，角平分線和中線，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的高線，角平分線和中線的定義進(jìn)行判斷即可．3.在數(shù)學(xué)實(shí)踐課上，小亮經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：在如圖所示的△ABC中，連接點(diǎn)A和BC上的一點(diǎn)D，線段AD等分△ABC的面積，則AD是△ABC的(

)A.高線

B.中線

C.角平分線

D.對(duì)角線【答案】B

【解析】解：∵線段AD等分△ABC的面積，

∴AD是△ABC的中線，

故選：B．

根據(jù)三角形的中線，高，角平分線的性質(zhì)可求解．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的中線，高，角平分線，理解等底等高的三角形的面積相等是解題的關(guān)鍵．4.如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D，E分別為邊BC，AD上的中點(diǎn)，且S△ABC=4?cm2，則A.2?cm2 B.1?c【答案】A

【解析】【分析】

本題考查的是三角形的中線，三角形的面積有關(guān)知識(shí)，首先根據(jù)E為AD的中點(diǎn)，可得BE、CE分別是△ABD、△ACD的中線，然后根據(jù)三角形的中線把三角形分成面積相同的兩部分，可得S△BDE=12S△ABD，S△CDE=12S△ACD，所以S△BEC=12S△ABC，據(jù)此求出S△BEC的值為多少即可．

【解答】

解：∵E為AD的中點(diǎn)，

∴BE、CE分別是△ABD、△ACD的中線，5.以下說法正確的有(

)?①三角形的中線、角平分線都是射線;?②三角形的三條高所在直線相交于一點(diǎn);?③三角形的三條角平分線在三角形內(nèi)部交于一點(diǎn);?④三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分;?⑤直角三角形的三條高相交于直角頂點(diǎn)．A.5個(gè) B.4個(gè) C.3個(gè) D.2個(gè)【答案】B

【解析】解：三角形的中線、角平分線都是線段，不是射線，故?①錯(cuò)誤，

三角形的三條高所在直線相交于一點(diǎn);②正確；

三角形的三條角平分線在三角形內(nèi)部交于一點(diǎn);③正確；

三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分;④正確；

直角三角形的三條高相交于直角頂點(diǎn).⑤正確．

故選B．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的高、中線、角平分線，根據(jù)三角形的高、中線、角平分線的定義及性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．6.如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是BC，AD，CE的中點(diǎn)，S△ABC=4cm2，則SA.2cm2 B.1cm2 C.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查三角形的中線，以及三角形的面積，根據(jù)三角形中線的概念和三角形面積公式得出各個(gè)三角形之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵.根據(jù)三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分分析即可．

【解答】

解：∵D是BC的中點(diǎn)，S△ABC=4cm2，

∴S△ABD=S△ACD=2cm2，

∵E是AD的中點(diǎn)，

∴S△BDE=12S△ABD7.如圖，在中，是邊上的中線，的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)多5cm，與的和為11cm，則的長(zhǎng)為（

）A．3 B．5 C．8 D．6【答案】C【分析】根據(jù)中線的定義知，結(jié)合三角形周長(zhǎng)公式知；又，易求的長(zhǎng)度．解：是邊上的中線，為的中點(diǎn)，．的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)多5cm，．又，．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的中線．三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對(duì)頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線．8.如圖，在△ABC中，AD是高，AE是角平分線，AF是中線，則下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A．BF＝CF B．∠C＋∠CAD＝90° C．∠BAF＝∠CAF D．S【答案】C【分析】根據(jù)三角形的角平分線、中線和高的概念判斷．【詳解】解：∵AF是△ABC的中線，∴BF=CF，A說法正確，不符合題意；∵AD是高，∴∠ADC=90°，∴∠C+∠CAD=90°，B說法正確，不符合題意；∵AE是角平分線，∴∠BAE=∠CAE，C說法錯(cuò)誤，符合題意；∵BF=CF，∴S△ABC=2S△ABF，D說法正確，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的角平分線、中線和高，掌握它們的概念是解題的關(guān)鍵．填空題（每小題4分，共20分）9.如圖所示，，是的兩條高，若，，則的長(zhǎng)為________cm．【答案】【分析】根據(jù)三角形的面積公式可得的面積，從而可得，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．解：，，的面積，，∵，，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的面積，熟練掌握面積法是解題的關(guān)鍵．10.如圖，為的中線，為的中線，若的面積為20，，則中邊上的高為___________．【答案】4【分析】根據(jù)中線的性質(zhì)可得，則，設(shè)中邊上的高為h，再根據(jù)三角形的面積公式求解即可．解：∵為的中線，，∴，∵為的中線，∴，設(shè)中邊上的高為h，∵，∴，解得：，故答案為：4．【點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的中線將三角形的面積分為相等的兩部分．11.如圖，AD是△ABC的中線，BE是△ABD的中線，EFBC于點(diǎn)F．若S△ABC=24，BD4，則EF長(zhǎng)為【答案】3【分析】因?yàn)镾△ABD=12S△ABC，S△BDE=12S△ABD；所以S△BDE=【詳解】解：∵AD是△ABC的中線，S△ABC=24，∴S△ABD=12同理，BE是△ABD的中線，S△BDE∵S△BDE=12∴12即1∴EF=3．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形的面積，三角形的中線特點(diǎn)。理解三角形高的定義，根據(jù)三角形的面積公式求解，是解題的關(guān)鍵．12.如圖，H若是△ABC三條高AD，BE，CF的交點(diǎn)，則△BHA中邊BH上的高是__________．AE【分析】根據(jù)三角形的高的概念即可得答案．解：∵H若是△ABC三條高AD，BE，CF的交點(diǎn)，∴BE⊥AC，即AE⊥BH，∴△BHA中邊BH上的高是AE，故答案為：AE【點(diǎn)撥】本題考查三角形的高的概念，從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呉咕€，頂點(diǎn)和垂足間的線段叫三角形的高．13.如圖，AD是△ABC的角分平線，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=50°，點(diǎn)F為邊AB上一點(diǎn)，當(dāng)△BDF為直角三角形時(shí)，則∠ADF的度數(shù)為____．20°或60°．【分析】分情況討論：①當(dāng)∠BFD=90°時(shí)，②當(dāng)∠BDF=90°時(shí)，根據(jù)角平分線和三角形高線的定義分別求解即可．解：如圖所示，當(dāng)∠BFD=90°時(shí)，∵AD是△ABC的角分平線，∠BAC=60°，∴∠BAD=30°，∴Rt△ADF中，∠ADF=60°；如圖，當(dāng)∠BDF=90°時(shí)，同理可得∠BAD=30°．∵CE是△ABC的高，∠BCE=50°，∴∠BFD=∠BCE=50°，∴∠ADF=∠BFD﹣∠BAD=20°，綜上所述：∠ADF的度數(shù)為20°或60°．故答案為：20°或60°．【點(diǎn)撥】本題考查角平分線和高線的定義，掌握分類討論的思想是解題的關(guān)鍵．解答題（共6小題，48分）14.（8分）如圖，已知，根據(jù)下列要求作圖并回答問題：

作邊上的高；過點(diǎn)D作直線的垂線，垂足為E；點(diǎn)B到直線的距離是線段_______的長(zhǎng)度，（不要求寫畫法，只需寫出結(jié)論即可）【答案】(1)見分析；(2)見分析；(3)【分析】（1）根據(jù)三角形高的定義畫出圖形即可．（2）根據(jù)垂線的定義畫出圖形即可．（3）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，判斷即可．（1）解：如圖，線段即為所求．

（2）如圖，線段即為所求．（3）到直線的距離是線段的長(zhǎng)度．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查作圖基本作圖，點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解三角形高的定義，垂線的定義，屬于中考常考題型．15.（6分）如圖，，分別是的高，，，，求的長(zhǎng)．

【答案】．【分析】根據(jù)三角形的面積公式即可求得．解：，分別是的高，∴，∴，，，，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的面積公式的應(yīng)用；三角形的面積底高．16.（8分）如圖，的中線相交于點(diǎn)F，圖中與面積相等是三角形有____個(gè)（不含）；若的面積是，求四邊形的面積．【答案】(1)3/三；(2)【分析】（1）利用三角形中線的性質(zhì)即可推導(dǎo)出，問題即可解答；（2）根據(jù)三角形的中線把三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形，用①，②，再用即可表示出，問題即可得解．解：（1）∵分別是的中線，∴，∴，，即，∴與面積相等的三角形共有3個(gè)故答案為：3（2）如圖，∵和是的兩條中線，∴，即①，②，①?②得：，∴．∴．∵【點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形的中線把三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形，是此類題目常用的方法，要熟練掌握并靈活運(yùn)用．17.（7分）如圖，是的角平分線．，交于點(diǎn)E，，交于點(diǎn)F，圖中與有什么關(guān)系？為什么？【答案】，理由見分析【分析】由角平分線的定義可得．由平行線的性質(zhì)可得，，最后等量代換即得出．解：．理由：∵是的角平分線，∴．∵，∴．∵，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查角平分線的定義，平行線的性質(zhì)．掌握角平分線分得的兩個(gè)角相等和兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，是解題關(guān)鍵．18.如圖，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分線，它們相交于點(diǎn)O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度數(shù)．解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，又∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°，∵AE、BF是角平分線，∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°，∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°，∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°，∴∠DAC＝30°，∠BOA＝120°．故∠DAE＝5°，∠BOA＝120°．19.（10分）如圖，在三角形ABC中．AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AB上，三角形BDE與四邊形ACDE的周長(zhǎng)相等．（1）求線段AE的長(zhǎng)；（2）圖中共有----------------條線段；（3）若圖中所有線段長(zhǎng)度的和是53cm，求BC+DE的值．解：（1）∵D是