線性sdof體系共振響應(yīng)的hh譜分析

線性sdof體系共振響應(yīng)的hh譜分析

結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)研究對(duì)線性sdo系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)反應(yīng)分析具有一定的理論和實(shí)際意義。結(jié)構(gòu)體系的強(qiáng)迫動(dòng)力響應(yīng)時(shí)程不僅包含結(jié)構(gòu)自身動(dòng)力特性方面的信息,而且也包含著體系輸入方面的信息。Hilbert變換是一種物理意義明確的積分變換形式,在某些情況下它能夠揭示時(shí)程或信號(hào)所蘊(yùn)含的物理機(jī)制。Feldman曾經(jīng)將Hilbert變換應(yīng)用于單自由度體系的動(dòng)力反應(yīng)分析方面,并且他也利用Hilbert變換對(duì)非線性單自由度體系的動(dòng)力特性進(jìn)行了識(shí)別,但是其研究存在著一定的局限性。希爾伯特-黃變換(Hilbert-HuangTransform,簡(jiǎn)稱HHT)是由Huang在經(jīng)典的Hilbert變換的基礎(chǔ)上提出的一種新的非平穩(wěn)信號(hào)的處理方法,其處理信號(hào)所得到的本征振動(dòng)模態(tài)與Hilbert譜與信號(hào)所描述系統(tǒng)的物理機(jī)制基本上一致。該方法在場(chǎng)地液化物理過程的識(shí)別與雙線性動(dòng)力響應(yīng)特征的研究中得到了初步的應(yīng)用。本文將通過利用HHT方法分析線性SDOF體系共振動(dòng)力響應(yīng)這一基本的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問題,一方面深入驗(yàn)證HHT方法所得結(jié)果的物理意義,另一方面也為該方法的進(jìn)一步應(yīng)用提供一定的思路?；诖?本文重點(diǎn)討論線性SDOF體系在簡(jiǎn)諧波、線性調(diào)頻波與正弦調(diào)頻波輸入下處于共振狀態(tài)時(shí),其動(dòng)力響應(yīng)的Hilbert譜與本征振動(dòng)模態(tài)的特征,并且將Hilbert譜、Morlet小波譜及Fourier幅值譜所蘊(yùn)含的物理意義及分辨率特性進(jìn)行了比較。所謂的“共振狀態(tài)”是指:(1)對(duì)于簡(jiǎn)諧波而言,其頻率與結(jié)構(gòu)的自振頻率相等;(2)對(duì)于線性調(diào)頻波和正弦調(diào)頻波而言,其瞬時(shí)頻率在規(guī)則的非平穩(wěn)變化過程中存在與結(jié)構(gòu)自振頻率相等的時(shí)刻。1強(qiáng)迫振動(dòng)反應(yīng)體系設(shè)線性單自由度振動(dòng)體系在輸入加速度ag(t)的作用下產(chǎn)生強(qiáng)迫振動(dòng)。體系的本構(gòu)關(guān)系為線性彈性,并且其剛度k、質(zhì)量m與阻尼c在振子振動(dòng)過程中保持不變。振子振動(dòng)過程中其輸出絕對(duì)加速度為aa(t)。1.1系統(tǒng)的振動(dòng)特性將體系的質(zhì)量m取為107kg,剛度k取為4×108N/m,則體系無阻尼自振頻率fc為1.007Hz;體系的輸入加速度ag(t)是幅值為2m/s2、頻率為1.007Hz的余弦波。將時(shí)間步長(zhǎng)取為0.001s,計(jì)算總的時(shí)間取為20.0s,采用線性加速度法可計(jì)算得出結(jié)構(gòu)的絕對(duì)加速度反應(yīng)aa(t),其波形與Fourier幅值譜如圖1(a)所示。從中可以看出體系的振動(dòng)達(dá)到了共振狀態(tài)。在圖1(a)所示aa(t)的Fourier幅值譜中可以清楚地看出在1Hz附近出現(xiàn)了一個(gè)譜值非常高的峰值點(diǎn),但從中卻無法分辨出aa(t)幅值隨時(shí)間逐漸增加的共振特性。aa(t)的Hilbert譜與Morlet小波譜分別如圖1(b)、圖1(c)所示。Hilbert譜與Morlet小波譜均是在時(shí)間-頻率平面上描述信號(hào)或時(shí)程能量的分布;在圖1(b)、圖1(c)中,橫軸表示時(shí)間,縱軸表示頻率,而不同時(shí)頻坐標(biāo)處顏色的深淺則描述了信號(hào)能量或幅值的大小。aa(t)的Hilbert譜為1.0Hz附近的一條極細(xì)的頻帶,其顏色隨時(shí)間的加深體現(xiàn)了體系的共振,它所蘊(yùn)含的信息與結(jié)構(gòu)共振現(xiàn)象所蘊(yùn)涵的物理機(jī)制是一致的,即在共振狀態(tài)下SDOF體系動(dòng)力響應(yīng)的頻率與其自振頻率相等,而其幅值越來越大,如圖1(a)所示。在Morlet小波譜中,能量也是集中在1.0Hz附近的頻帶上,其顏色也是隨時(shí)間而加深的,體現(xiàn)出了共振現(xiàn)象,但其帶寬卻隨著時(shí)間的持續(xù)而加大,這是沒有明確物理意義的。1.2furing幅值譜圖及自振特性分析將體系的質(zhì)量m取為107kg,剛度k取為1.6×109N/m,阻尼c取為0,則體系無阻尼自振頻率fc為2.013Hz。體系的輸入運(yùn)動(dòng)ag(t)為幅值為1m/s2、載波頻率為0.5Hz的線性調(diào)頻波:ag(t)=cos(πf1t2+2πf2t)ag(t)=cos(πf1t2+2πf2t)其瞬時(shí)頻率時(shí)程為:fi(t)=12πddt(πf1t2+2πf2t)=f1t+f2(Hz)fi(t)=12πddt(πf1t2+2πf2t)=f1t+f2(Ηz)其中,f1=0.1s-2,f2=0.5Hz?？梢钥闯?在15s處,輸入加速度波的瞬時(shí)頻率為2.0Hz,與體系的自振頻率大致相等。因此在15s左右,按照本文對(duì)線性調(diào)頻波輸入下“共振狀態(tài)”的定義,體系的振動(dòng)將會(huì)達(dá)到共振狀態(tài)。首先分析一下無阻尼的情形。在無阻尼條件下,體系輸出絕對(duì)加速度aa(t)及其Fourier幅值譜如圖2(a)所示。在采用線性加速度方法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的過程中,時(shí)間步長(zhǎng)取為0.001s,計(jì)算時(shí)間從0s取到160s,為了表示清楚,圖2(a)僅給出了aa(t)前40s的部分波形。從aa(t)的時(shí)程中可以看出,在13s左右由于輸入加速度的瞬時(shí)頻率越來越接近體系的自振頻率,體系動(dòng)力響應(yīng)的幅值開始增大,在大約18s左右增大到最大值之后,aa(t)的幅值基本保持在20m/s2,頻率保持在2.0Hz(體系的自振頻率)左右。因此在aa(t)的Fourier幅值譜中,2Hz附近的譜值明顯高于其他頻率處的譜值,但從中我們不容易直觀地識(shí)別出輸入線性調(diào)頻波對(duì)體系動(dòng)力響應(yīng)的直接貢獻(xiàn)。aa(t)的Hilbert譜與其前2個(gè)主要IMF分量c1(t)、c2(t)的波形分別如圖2(b)、圖3(a)所示;c1(t)與c2(t)的瞬時(shí)頻率時(shí)程fi1(t)、fi2(t)如圖3(b)所示,圖中虛線分別表示體系的自振頻率與輸入線性調(diào)頻波瞬時(shí)頻率的變化。其中c1(t)與c2(t)也就是體系強(qiáng)迫動(dòng)力響應(yīng)的本征振動(dòng)模態(tài)。從以上3圖中可以看出,在大約10s之前的初始階段,體系動(dòng)力響應(yīng)的幅值較小,而且包含2個(gè)主要的IMF分量。高頻分量c1(t)的頻率保持在2Hz左右,描述的是體系的自振特性對(duì)體系反應(yīng)的直接貢獻(xiàn),即體系動(dòng)力響應(yīng)的瞬態(tài)反應(yīng)部分;由于體系無阻尼,在該時(shí)段,此分量的幅值幾乎無衰減,如圖3(a)所示。低頻分量c2(t)的頻率呈線性增加趨勢(shì),在此階段,其描述的是輸入加速度ag(t)對(duì)體系反應(yīng)的直接影響,即ag(t)引起的體系動(dòng)力響應(yīng)中的穩(wěn)態(tài)反應(yīng)部分;在該階段前半段(0~5s),該分量的幅值逐漸增加,而在5s左右達(dá)到最大值后開始降低,在10s左右?guī)缀踅档蜑?,如圖3(a)所示。此外,在10s附近,由于c1(t)與c2(t)的幅值較低以及Gibbs現(xiàn)象,通過Hilbert變換計(jì)算得到的瞬時(shí)頻率fi1(t)與fi2(t)出現(xiàn)了較大的波動(dòng),如圖2(b)、圖3(b)所示。在大約10s~20s之間的時(shí)段內(nèi),輸入加速度ag(t)的瞬時(shí)頻率逐漸接近體系的共振頻率,在15s附近,ag(t)的瞬時(shí)頻率與體系自振頻率相等。體系動(dòng)力響應(yīng)的幅值越來越大,體系的振動(dòng)逐漸達(dá)到共振狀態(tài)。因此,在該時(shí)段,與體系的瞬態(tài)反應(yīng)相比,ag(t)引起的體系穩(wěn)態(tài)反應(yīng)成為體系動(dòng)力響應(yīng)aa(t)的主要成分,aa(t)的能量相對(duì)地集中在ag(t)的瞬時(shí)頻率附近,如圖2(b)所示,從中已無法識(shí)別出描述體系瞬態(tài)反應(yīng)的成分,而且由于Hilbert變換的Gibbs效應(yīng)及數(shù)值微分所造成的誤差,在這一階段,c1(t)與c2(t)的瞬時(shí)頻率時(shí)程出現(xiàn)了較大的波動(dòng),如圖3(b)所示。在此階段,c1(t)的幅值逐漸增加,并在大約18s處增加到最大值;其頻率在10s左右由2Hz下降到最小值后開始大體沿著ag(t)瞬時(shí)頻率的線性方向升高,逐漸達(dá)到2Hz;而且相比c2(t),其幅值非常高,因此,它描述了這一階段ag(t)引起的體系穩(wěn)態(tài)反應(yīng)部分。而c2(t)的頻率則偏離了原來線性增加的方向;其幅值基本保持為0,其瞬時(shí)頻率fi2(t)出現(xiàn)的較大波動(dòng)與其非常低的幅值有關(guān)。在大約20s之后,體系輸入加速度ag(t)的瞬時(shí)頻率逐漸增高,遠(yuǎn)離體系的自振頻率,體系不再處于共振狀態(tài)。但是,由于體系無阻尼,因此由前一階段體系共振所引起的這一階段體系的瞬態(tài)反應(yīng)無衰減,并且成為體系振動(dòng)的主要成分;與之相比,由于輸入加速度ag(t)的瞬時(shí)頻率逐漸遠(yuǎn)離體系的自振頻率,所以ag(t)所引起的體系穩(wěn)態(tài)反應(yīng)在體系動(dòng)力響應(yīng)aa(t)中所占比重較小。因此,在這一時(shí)間段內(nèi),首先,體系動(dòng)力響應(yīng)的能量集中在體系的自振頻率處,即2Hz處,而且與第一階段相比,該階段的譜值非常高,如圖2(b)所示;其次,Hilbert譜已識(shí)別不出ag(t)所引起的體系穩(wěn)態(tài)反應(yīng)。在這一階段中,aa(t)的IMF分量c1(t)的頻率與幅值幾乎保持不變,它描述了前一階段體系共振所引起的該階段體系的瞬態(tài)反應(yīng)。而在此階段中,分量c2(t)在大約20s~50s之間、60s~90s之間與100s~130s之間出現(xiàn)了一系列波包,這些波包有如下特點(diǎn):(1)在任一個(gè)波包內(nèi),振動(dòng)的幅度先升高后降低,而頻率則是先降低后升高,并且頻率的升高與降低基本上沿著線性方向;(2)隨著時(shí)間的延續(xù),波包的幅值下降,而且在初始階段下降得非?？?(3)波包的形狀有一定的相似性,這就導(dǎo)致了不同波包瞬時(shí)頻率的變化有一定的周期性;(4)20s~50s之間波包的前半部分與10s之前的波包在形狀上有一定的對(duì)稱性;(5)不同波包之間相隔大約10s,在此間隔內(nèi)c2(t)的幅值基本為0,這就使得在實(shí)際計(jì)算過程中出現(xiàn)了大量毫無意義的瞬時(shí)頻率的高頻峰值點(diǎn),事實(shí)上在這些間隔內(nèi),c2(t)瞬時(shí)頻率的值應(yīng)為0。在分量c2(t)中,這些波包的頻率與波形都呈現(xiàn)出一定的周期性,因此它們有可能蘊(yùn)涵著某種物理意義,但是尚需深入研究。從另一種角度來講,這些波包的幅值是非常小的,最大的幅值僅為c1(t)幅值的1/20,而且在20s之后,經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(EMD)并未分解出描述輸入線性調(diào)頻波對(duì)aa(t)直接影響的IMF分量來,因此,這些波包的出現(xiàn)也有可能是EMD方法本身的數(shù)值誤差造成的。下面分析一下有阻尼的情形。將體系阻尼比取為0.01,則體系有阻尼自振頻率約為2.013Hz。體系輸出絕對(duì)加速度反應(yīng)aa(t)及相應(yīng)的Fourier幅值譜如圖4(a)所示。從aa(t)的波形可以看出,在15s左右體系的振動(dòng)達(dá)到共振狀態(tài)之后,由于阻尼的存在,而且輸入運(yùn)動(dòng)的頻率逐漸遠(yuǎn)離體系自振頻率,體系動(dòng)力響應(yīng)的幅值開始呈指數(shù)下降;aa(t)的Fourier幅值譜仍然在2Hz附近有一個(gè)峰值點(diǎn),而且其帶寬較無阻尼情況有所增加,除此之外,從中很難明確地識(shí)別出其他信息。aa(t)的Hilbert譜與前2個(gè)主要IMF分量c1(t)、c2(t)如圖4(b)、圖5(a)所示;c1(t)與c2(t)的瞬時(shí)頻率時(shí)程fi1(t)、fi2(t)如圖5(b)所示,圖中虛線分別表示體系的自振頻率與輸入線性調(diào)頻波瞬時(shí)頻率的變化。由于體系存在小的阻尼,因此在最初的5s內(nèi),描述體系瞬態(tài)反應(yīng)的分量c1(t)的幅值呈指數(shù)衰減,其頻率保持在2.0Hz左右;描述輸入線性調(diào)頻波引起的體系穩(wěn)態(tài)反應(yīng)部分的分量c2(t)的頻率呈線性增加趨勢(shì),其幅值先增加后降低。在5s之后,由于體系瞬態(tài)反應(yīng)幾乎衰減為0,而且ag(t)所引起的體系動(dòng)力響應(yīng)中的穩(wěn)態(tài)反應(yīng)部分的幅值隨著ag(t)的瞬時(shí)頻率越來越逼近體系的自振頻率而逐漸增加,因此,在5s至大約18s這一時(shí)段內(nèi),體系的振動(dòng)主要來自輸入加速度ag(t)所引起的穩(wěn)態(tài)反應(yīng)部分。在圖4(b)所示的Hilbert譜中,在該時(shí)段,僅有一個(gè)主要分量,其頻率呈線性增加的趨勢(shì),與ag(t)的瞬時(shí)頻率一致。在這一階段中,c1(t)的頻率自2Hz下降到最低點(diǎn)后開始沿著ag(t)的瞬時(shí)頻率的發(fā)展方向線性增長(zhǎng),所以在該階段,c1(t)描述了輸入加速度所引起的體系穩(wěn)態(tài)反應(yīng),并且體系動(dòng)力響應(yīng)aa(t)的主要能量都集中在c1(t)上。由于ag(t)的瞬時(shí)頻率逐漸逼近體系的自振頻率,并在15s處等于體系的自振頻率,所以c1(t)的幅值越來越大,體系的振動(dòng)也逐漸達(dá)到共振狀態(tài)。在這一階段中,c2(t)的幅值基本上為0;由于計(jì)算上的誤差,此階段c2(t)的瞬時(shí)頻率時(shí)程fi2(t)出現(xiàn)了許多不規(guī)則的峰值點(diǎn),如圖5(b)所示,但是在這些時(shí)刻,由于c2(t)的幅值非常小,它們不會(huì)在圖4(b)所示的Hilbert譜中引起較大的誤差,從而導(dǎo)致Hilbert譜失去應(yīng)有的精度。在大約18s~45s這一時(shí)段內(nèi),從圖4(b)所示的Hilbert譜中可以明顯地識(shí)別出2個(gè)分量:描述體系瞬態(tài)反應(yīng)的分量c1(t)及分量c2(t)。c1(t)的瞬時(shí)頻率在2.0Hz附近波動(dòng),而且波動(dòng)幅度越來越大,這是由數(shù)值誤差引起的;由于體系存在著阻尼,所以c1(t)的幅值呈指數(shù)衰減,這使得前一階段體系共振產(chǎn)生的效應(yīng)越來越小。分量c2(t)的波形與瞬時(shí)頻率的變化類似于圖3(a)所示分量c2(t)在20s~50s之間的波包。在該階段,盡管描述體系瞬態(tài)反應(yīng)的分量c1(t)的幅值呈指數(shù)衰減,但其值仍然較大,輸入加速度ag(t)所引起的體系穩(wěn)態(tài)反應(yīng)在體系總的響應(yīng)中所占比重依然很低,因此,在該時(shí)段,在圖4(b)所示的Hilbert譜中我們依然無法識(shí)別出輸入線性調(diào)頻波對(duì)體系動(dòng)力響應(yīng)的直接貢獻(xiàn)。在45s之后,由于共振引起的體系瞬態(tài)反應(yīng)衰減到一個(gè)非常低的水平,這時(shí)輸入加速度ag(t)所引起的穩(wěn)態(tài)反應(yīng)部分在體系總的響應(yīng)中所占比重不容忽視,因此圖4(b)所示的Hilbert譜中的2個(gè)IMF分量分別改變了各自原有意義。c1(t)的瞬時(shí)頻率呈線性增長(zhǎng)趨勢(shì),與輸入波形瞬時(shí)頻率的變化相一致,它描述了輸入加速度ag(t)所引起的體系振動(dòng)中的穩(wěn)態(tài)反應(yīng)部分。由于ag(t)的瞬時(shí)頻率逐漸遠(yuǎn)離體系的自振頻率,所以c1(t)的幅值逐漸降低,在圖4(b)中即表現(xiàn)出其顏色越來越淺。分量c2(t)在此階段則描述了體系振動(dòng)中的瞬態(tài)反應(yīng)部分,其波形是上一階段c1(t)波形的延續(xù),其頻率保持在2.0Hz附近,其幅值呈指數(shù)衰減,并且在90s左右?guī)缀跛p為0,如圖4(b)所示。在此階段,當(dāng)描述ag(t)所引起的穩(wěn)態(tài)反應(yīng)的IMF分量出現(xiàn)之后,圖4(b)所示的Hilbert譜中并未出現(xiàn)類似于圖2(b)所示的Hilbert譜中的波包系列。通過以上討論可以看出,隨著阻尼比的加大,體系共振后,其動(dòng)力響應(yīng)的Hilbert譜中描述輸入引起的體系振動(dòng)中的穩(wěn)態(tài)反應(yīng)部分的IMF分量c1(t)出現(xiàn)得越早,分量c2(t)中的波包消失得也越早。最后,給出阻尼比ζ=0.0與ζ=0.01兩種情形下體系動(dòng)力響應(yīng)的Morlet小波譜,分別如圖6(a)、圖6(b)所示。通過圖6(a)與圖2(b)之間、圖6(b)與圖4(b)之間的比較可以看出,Morlet小波譜中并未出現(xiàn)類似于Hilbert譜中的波包系列,而且對(duì)于0阻尼情形,體系共振后,小波譜也識(shí)別不出輸入所引起的體系動(dòng)力響應(yīng)中的穩(wěn)態(tài)反應(yīng)部分,而對(duì)于有阻尼情形,體系共振后小波譜則也可以識(shí)別出體系的穩(wěn)態(tài)反應(yīng)。但是,從整體來說,小波譜的分辨率明顯低于Hilbert譜。Hilbert譜在0阻尼情形下出現(xiàn)的波包系列是否具備物理意義尚需深入研究。1.3體系的自振及幅值調(diào)制首先分析一下無阻尼情形。將體系的質(zhì)量m和剛度k分別取為107kg與4×108N/m,則體系無阻尼自振頻率fc為1.007Hz。體系的輸入運(yùn)動(dòng)為幅值為2m/s2、載波頻率為1.0Hz的正弦調(diào)頻波:ag(t)=2cos[sin(2πf1t)+2πf2t]ag(t)=2cos[sin(2πf1t)+2πf2t]其中,f1=0.5Hz,f2=1.0Hz。該輸入加速度的瞬時(shí)頻率的解析表達(dá)式為fi(t)=f1cos(2πf1t)+f2,即它在1Hz上下(即體系的自振頻率上下)作余弦波動(dòng),從中可以看出體系的振動(dòng)每隔一定的時(shí)間(T=1/f1=1.0s)就會(huì)達(dá)到共振狀態(tài)。0阻尼體系在此輸入下的絕對(duì)加速度反應(yīng)aa(t)及其Hilbert譜如圖7所示。aa(t)的波形類似于簡(jiǎn)諧波輸入下無阻尼體系共振狀態(tài)下動(dòng)力響應(yīng)的波形。這是因?yàn)槊扛?s,輸入加速度波的瞬時(shí)頻率就會(huì)與體系自振頻率相等,體系的振動(dòng)就會(huì)達(dá)到共振狀態(tài);而且體系無阻尼,由共振狀態(tài)所導(dǎo)致的體系瞬態(tài)反應(yīng)無衰減,如此累積下來,體系動(dòng)力響應(yīng)的幅度就會(huì)越來越大。由于aa(t)的波形類似于簡(jiǎn)諧波輸入下共振狀態(tài)的波形,因此其Hilbert譜在1Hz(體系的自振頻率)處有一個(gè)極窄的頻帶,該頻帶的產(chǎn)生是由數(shù)值誤差及譜的平滑作用造成的,從理論上應(yīng)該為1Hz處的一條直線,不存在帶寬。這條頻帶的顏色由淺逐漸加深,描述了體系的共振效應(yīng)。由于體系處于共振狀態(tài),因此從aa(t)的Hilbert譜中無法識(shí)別出輸入正弦調(diào)頻加速度波中其他瞬時(shí)頻率成分的影響。下面再來分析一下有阻尼情形。將體系的質(zhì)量、阻尼和剛度分別取為:m=1×107kg;c=1×107N·s/m;k=4×108N/m則體系的阻尼比、無阻尼自振頻率與有阻尼自振頻率分別為:ζ=0.08;fc=1.007Hz;fd=1.003Hz體系的輸入依然為上述正弦調(diào)頻加速度波。體系在此輸入下的絕對(duì)加速度反應(yīng)aa(t)及其Fourier幅值譜如圖8(a)所示;與圖7(a)所示無阻尼情形下體系動(dòng)力響應(yīng)的Fourier幅值譜相比,圖8(a)所示的Fourier幅值譜在0.5Hz處出現(xiàn)了一個(gè)譜值較大的諧波分量,描述了aa(t)波形中的幅值調(diào)制現(xiàn)象。aa(t)的Hilbert譜如圖8(b)所示。aa(t)的波形類似于簡(jiǎn)諧波輸入下有阻尼體系共振狀態(tài)下動(dòng)力響應(yīng)的波形,但是與它不同的是aa(t)的波形中出現(xiàn)了幅值的調(diào)制現(xiàn)象。這是因?yàn)樵诠舱駹顟B(tài)下,體系輸入簡(jiǎn)諧波的瞬時(shí)頻率一直保持為體系的自振頻率,而體系輸入正弦調(diào)頻波的瞬時(shí)頻率則在體系的自振頻率處作正弦波動(dòng),其波動(dòng)的頻率為f1(f1=0.5Hz),即輸入加速度的瞬時(shí)頻率并非一直等于體系的自振頻率,而是按照一定的周期在某些時(shí)刻使得體系達(dá)到共振狀態(tài),這就使得圖8(a)所示的波形出現(xiàn)了幅值調(diào)制現(xiàn)象。也正因?yàn)槿绱?在aa(t)的Hilbert譜中出現(xiàn)了頻率為0.5Hz的IMF分量,它即描述了aa(t)波形中出現(xiàn)的幅值調(diào)制。此外,由于體系的阻尼比較大,體系共振狀態(tài)所導(dǎo)致的體系瞬態(tài)反應(yīng)衰減較快,因此輸入正弦調(diào)頻加速度波中在1Hz附近的其他瞬時(shí)頻率分量對(duì)體系動(dòng)力響應(yīng)的直接貢獻(xiàn)(即它們所引起的體系的穩(wěn)態(tài)反應(yīng))在體系總反應(yīng)中所占比重相對(duì)無阻尼體系來講也是相當(dāng)大的,所以在aa(t)的Hilbert譜中,1Hz處的能量占優(yōu)的IMF分量的瞬時(shí)頻率在1Hz附近有一定的波動(dòng),其波動(dòng)的頻率為0.5Hz,與輸入波形瞬時(shí)頻率的波動(dòng)頻率相當(dāng),而且其波動(dòng)的形式也類似于正弦波;但是其波動(dòng)的幅度明顯低于輸入波形的瞬時(shí)頻率波動(dòng),這是因?yàn)榫嚯x1Hz越遠(yuǎn)瞬時(shí)頻率分量對(duì)體系動(dòng)力響應(yīng)的貢獻(xiàn)越小,Hilbert譜已無法識(shí)別出這些頻率分量對(duì)體系動(dòng)力響應(yīng)的貢獻(xiàn)。最后,分別給出圖7(a)與圖8(a)所示體系輸出絕對(duì)加速度反應(yīng)的Morlet小波譜,如圖9(a)、圖9(b)所示?？梢钥闯?圖7(b)與圖9(a)、圖8(b)與圖9(b)之間在能量分