附錄 矢量與張量運算

附錄矢量與張量運算1標(biāo)量﹑矢量與張量1.1基本概念在本書中所涉及的物理量可分為標(biāo)量、矢量和張量。我們非常熟悉標(biāo)量，它是在空間沒有取向的物理量，只有一個數(shù)就可以表示其狀態(tài)。例如質(zhì)量、壓強(qiáng)、密度、溫度等都是標(biāo)量。矢量則是在空間有一定取向的物理量，它既有大小、又有方向。在三維空間中，需要三個數(shù)來表示，即矢量有三個分量?？紤]直角坐標(biāo)右手系，三個坐標(biāo)軸分別以1、2和3表示，、2和3分別表示1、2和3方向的單位矢量。如果矢量a的三個分量分別為a1、、a2、a3，則可以表示為也可以用以下符號表示a=(a1,a2,a3)矢量a的大小以a表示a=(a12+a22+a32)1/2我們還會遇到張量的概念，可將標(biāo)量看作零階張量，矢量看作一階張量，在此將主要討論二階張量的定義。二階張量w有9個分量，用wij表示。張量w可用矩陣的形式來表示：w其中下標(biāo)相同的元素稱為對角元素，下標(biāo)不同的元素稱為非對角元素。若wij=wji，則稱為對稱張量。如果將行和列互相交換就組成張量w的轉(zhuǎn)置張量，記作wT,則wT=顯然，若w是對稱張量，則有w=wT。另外，如果wT=-w，w被稱為反對稱張量，同時有wij=-wji。任何一個二階張量都可以寫成兩部分之和，一部分為對稱張量，另一部分為反對稱張量。w=(w+wT)+(w-wT)單位張量是對角分量皆為1，非對角分量皆為0的張量是最簡單的對稱張量。張量對角分量之和稱為張量的跡trw=張量的跡是標(biāo)量，如果張量的跡為零，稱此張量為無跡張量。1.2基本運算1.2.1矢量加法與乘法運算在幾何上，矢量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。如圖附-1所示，減法為加法的逆運算。

圖附-1矢量加減法在解析上，矢量加法（減法）為對應(yīng)分量之和（差）。A+B=矢量的加法滿足下列運算規(guī)律：（1）

交換律A+B=B+A（2）

結(jié)合律（A+B）+C=A+（B+C）（3）

零矢量的特征A+0=0+A=A（4）

-A的特征A+（-A）=（-A）+A=0一標(biāo)量與一矢量的乘積仍為一矢量，其方向不變，只是大小作相應(yīng)改變。cA=c兩個矢量點乘，結(jié)果為一標(biāo)量，稱為標(biāo)量積，定義如下：=cos 其中為矢量A、B的夾角。單位矢量之間的標(biāo)量積有特別重要的意義，用下式表示稱為克羅內(nèi)克（kroneker）符號。因此，兩矢量點乘運算如下：即兩矢量點乘的結(jié)果為兩矢量對應(yīng)分量（值）乘積之和。顯然，點乘有交換律：兩個矢量叉乘，結(jié)果為一矢量，稱為矢量積，定義如下：C=AB矢量C的大小為C=ABsin，其中為矢量A、B的夾角，C的方向垂直于A、B兩矢量所決定的平面，指向由右手定則確定，如圖附-2所示。因此，矢量叉乘不滿足交換律，AB=-（BA）

圖附-2矢量叉乘單位矢量、的矢量積在方向上得分量為：由此引入交錯單位張量（altermatingunittensor）εijkεijk=因此，叉乘運算可表示為利用上述結(jié)果，標(biāo)量三重積的運算如下：介紹兩個十分有用的關(guān)系式利用上面的運算方法及關(guān)系式，可以證明以下幾個常用的矢量恒等式：=1.2.2矢量的微分運算矢量的微分運算符在直角坐標(biāo)系中定義為稱為哈密頓算符或那勃拉算符。應(yīng)該強(qiáng)調(diào)指出，這個算符是一個混合物，它必須遵守處理矢量的規(guī)則和偏微分規(guī)則這兩者。而且它只作為一個算符，不能單獨使用，必須作用于一個標(biāo)量或矢量來運算。哈密頓算符可以直接參加運算，要遵守如下規(guī)則：（1）

用“”代替“”；（2）

進(jìn)行通常的微分運算；（3）

進(jìn)行向量運算；（4）

整理成的形式；（5）

用“”代替。例：試證明證明：我們還會遇到一種特殊微分2A，稱為2=為拉普拉斯算符：算符2作用于矢量A2A=2即對各分量求導(dǎo)，并作矢量加和。1.2.3三階張量的加法與乘法首先，引入并矢的概念。由兩個矢量A和B組成的并矢量是一個二階張量，其分量是兩矢量的分量之積那么，對于單位矢量e1、e2、e3，由兩個組成的并矢量則有9個，分別是……利用單位并矢量，我們可以將張量寫成如下形式：1.2.3.1張量的減法兩個張量相加（減），前提必須是階數(shù)相同的張量，其和（差）仍為一張量，該張量的分量為兩張量對應(yīng)分量之和（差）。上述定義可以推廣到多個張量相加減，由定義可知，張量的加法服從交換律和結(jié)合律。1.2.3.2標(biāo)量與張量相乘一標(biāo)量與一張量相乘等于用該標(biāo)量去乘張量的每一個分量，其結(jié)果仍為一張量。sss1.2.3.2矢量和張量點乘一矢量對一張量的點積為一矢量也就是說矢量的第k個分量為用同樣的運算可以得到張量對矢量的點積，若為對稱張量，則有，否則。由上述定義可知，矢量和張量的點乘服從分配律AAA(A+B)=A+B1.2.3.4張量與張量點乘兩張量的點乘分為單乘和雙點乘兩種。兩張量單點乘的結(jié)果為一張量。由此可見，張量的單點乘服從分配律，不服從交換律兩張量雙點乘的結(jié)果的一標(biāo)量兩個并矢或并矢和矢量的單點積是指把它們相鄰的兩個矢量進(jìn)行縮并，如顯然，并矢單點積的次序是不可交換的，否則進(jìn)行縮并的兩個相鄰矢量就改變了。兩個并矢的雙點積是指把它們最鄰近的四個矢量兩兩縮并。由此，對單位并矢量和單位矢量有如下結(jié)果1.2.4幾個積分定理在后面場論的計算中，我們會遇到關(guān)于矢量與張量的積分運算。有3個十分重要的定理。在此只作內(nèi)容的表述，證明請參閱有關(guān)專著。1.2.4.1奧高散度定理該定理給出了一個計算體積分與面積分相互轉(zhuǎn)換的有效方法，設(shè)w是連續(xù)可微的矢性點函數(shù)。V是由光滑表面S所圍成的一個封閉空間區(qū)域，則有其中n為S的外法向單位向量，在直角坐標(biāo)系中，則定理可表示為即為奧—高公式對于標(biāo)量和張量，相應(yīng)有1.2.4.2斯托克斯旋度定理設(shè)S為一封閉的有向曲線l（不交叉的）所圍成的一雙側(cè)空間曲面，l的正向與曲面S的外法線正向符合右螺旋定則，w為連續(xù)可微的矢函數(shù)。則其中n為S面上任一點的外法向單位向量。在直角坐標(biāo)系中則上式可表示為即為斯托克斯公式。1.2.4.3三維萊布尼茲公式V是由曲面S所圍的封閉的運動空間，vS為任一面元的速度，則有2場論2.1場的定義如果對空間區(qū)域D的每個點，都對應(yīng)某個物理量的一個確定的值，則稱在D上確定了該物理量的一個場。若這個物理量是標(biāo)量，則稱所討論的場為標(biāo)量場，如溫度場、密度場、濃度場等。如是矢量，則稱為矢量場，如速度場、力場等。若是張量，則稱為張量場。連續(xù)介質(zhì)的應(yīng)力場就是一個張量場。前面提到過，標(biāo)量是零階張量，矢量是一階張量。所以認(rèn)真地講，標(biāo)量場和矢量場也屬于張量場。不過，我們這里的張量場專指二階張量場。如果場中的物理量在各點處的值不隨時間變化，即所述物理量只依賴于點的位置（或坐標(biāo)），則稱所給的場為穩(wěn)定場。否則，所述物理量不僅是位置的函數(shù)，而且隨時間變化，則稱之為不穩(wěn)定場。如果同一時刻場內(nèi)各點所述物理量的值都相等，則稱此場為均勻場。反之，稱此場為不均勻場。2.2場的基本運算為簡便起見，這里只討論穩(wěn)定場。2.2.1標(biāo)量場的梯度2.2.1.1方向梯度為了說明梯度的概念，先介紹標(biāo)量場的方向?qū)?shù)。定義標(biāo)量場所有點組成的曲面，為等值面或等位面。在不均勻的標(biāo)量場中，物理量沿各個方向的變化律是不相同的，方向?qū)?shù)就是描述場中該標(biāo)量函數(shù)沿某個方向變化速率大小的。

圖附-3方向?qū)?shù)如圖附-3所示,設(shè)M為場內(nèi)一點，自M出發(fā)引任一射線l，l的方向余璇為。M‘為l上鄰近M的一點，為M與M‘的距離，標(biāo)量場在點M沿l方向的導(dǎo)數(shù)定義為（假定下列極限存在）在直角坐標(biāo)系中，其中在時為零，將上列表示代入其中、、為單位矢量l0的方向余弦，也等于l0的分量。2.2.1.2梯度在標(biāo)量場中，由點M可以引無數(shù)條射線l,所以有無窮多個方向?qū)?shù)。顯然，只有沿等位面的法線方向有最大的變化律。于是我們定義標(biāo)量場在某點的梯度為矢量方向為該點等位面的法線方向n，大小為方向?qū)?shù)。記為這里n0為法線方向的單位矢量。梯度可描述物理量在空間分布上不均勻性的程度。在直角坐標(biāo)系中為n0的方向余弦。故方向?qū)?shù)和梯度的關(guān)系：以上只是針對空間某一點來講的，對于被研究區(qū)域里的各點來說，標(biāo)量場的最大變化率的大小和對應(yīng)的方向可能各不相同，這就說明本身又是一個矢量場。梯度的基本運算公式有：設(shè)u=u(x,y,z),v=v(x,y,z)▽c=0(c為常數(shù))▽(cu)=c▽u▽(uv)=▽u▽v▽(uv)=u▽v+v▽u▽()=(v▽u-u▽v)/v2▽F(u)=F/(u)▽u▽F(u,v)=2.2.2矢量場和散度2.2.2.1通量在流場中任取一光滑曲面，則就有流體流過曲面，見圖附4。在上任取一點M

圖附-4矢量穿過曲面及包含M點的一曲面元素d，n為曲面上過M點的單位法向量。定義矢量w通過d的通量：dQ=wnd式中wn為w在n方向上的分量。于是，沿著積分，就得到w通過曲面的通量：速度通量的物理含義為單位時間內(nèi)流出曲面的流體體積，即流出曲面的體積流量：Q=2.2.2.2散度去為包圍M點的一個微小閉曲面，所包圍空間為，該微分體積為。我們把閉合區(qū)面向M點無限縮小時，矢量場w在這個閉合曲面上的通量與該曲面所包含空間的體積之比的極限定義為矢量場w在該點的散度。記為divw，divw=速度散度代表單位體積流體流出表面積的體積流量，因此散度表示物理量是否有源以及源的強(qiáng)度。在直角坐標(biāo)系中，由奧—高公式：根據(jù)中值定理，中至少有一點P，使得：于是矢量場w在M點的散度。由此可見矢量場的散度是一個標(biāo)量場。散度的基本運算公式有：設(shè)a、b為矢量函數(shù),u為標(biāo)量函數(shù)，c為常矢量，d為常數(shù)。2.2.3矢量場的旋度2.2.3.1環(huán)量為了描述旋度的定義，首先引入環(huán)量的概念。在矢量場內(nèi)取任意一條有向閉合曲線l，把w沿l的線積分稱為矢量場w沿曲線l的環(huán)量。2.2.3.2旋度設(shè)M是矢量場w內(nèi)任意一點，為包圍M點的無限小的有向閉曲線。為所包圍的有向曲面。n與正方向符合右手螺旋定則，如圖附-5所示。

圖附-5旋度方向當(dāng)這個曲面保持在M以n為法向矢量而向M無限縮小時，矢量場w沿其邊界線的環(huán)量與它的面積之比的極限，稱為矢量場w在M對方向n的環(huán)量強(qiáng)度。記為rotnw根據(jù)斯托克斯公式由中值定理，在曲面上P，使得則于是其中為n的單位矢量n0的分量。令則從M點出發(fā)有無窮多個方向，矢量場w在M點對各個方向的環(huán)量強(qiáng)度也可能不同，但對于給定點M，R是一個確定的矢量。而且對應(yīng)于這個矢量方向，rotnw有最大值。由此，我們定義矢量場w的旋度為一矢量，它的方向在w具有最大環(huán)量強(qiáng)度的方向，大小就是這個環(huán)量強(qiáng)度，用rotnw表示，在直角坐標(biāo)系中一般講，矢量場的旋度為一矢量場。流體速度的旋度常稱為渦量。因此，旋度可代表物理量的有旋、無旋以及旋轉(zhuǎn)強(qiáng)度的性質(zhì)。旋度的基本運算公式有：設(shè)a、b為矢量函數(shù)，u為標(biāo)量函數(shù)，c為常矢量。2.2.4矢量場的梯度和張量場的散度前面我們定義了標(biāo)量場的梯度類似地，矢量場的梯度可用下式表示也可表示為由此可見，矢量場的梯度是一個張量，即由矢量場的梯度定義可知我們也曾定義矢量場的散度，即類似定義張量場的散度由此可見，張量場的散度是一個矢量，即2.2.5拉普拉斯運算2.2.5.1標(biāo)量場的拉普拉斯運算前面我們提到過拉普拉斯運算符。作用于標(biāo)量，即對矢量場再求散度。在直角坐標(biāo)系中可見，其結(jié)果為標(biāo)量。2.2.5.2矢量場的拉普拉斯運算矢量場w的梯度的散度稱為w的拉普拉斯運算。在直角坐標(biāo)系中可見，其結(jié)果為矢量?？梢宰C明，2.2.6隨體導(dǎo)數(shù)用歐拉方法來描述流體運動時，對時間的微分關(guān)系有下列算符公式隨體當(dāng)?shù)剡w移導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)該式反映了對t的全導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，式中為流體速度（或多元系中的質(zhì)量平均速度）。隨體導(dǎo)數(shù)算符作用于標(biāo)量上時，得到當(dāng)其作用于矢量時，即將算符作用于每一個分量上，然后作矢量加和。可以證明，在正交曲線坐標(biāo)系中，有下述一般式成立：也可寫成。2.2.7梯度、散度、旋度及拉普拉斯運算在柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的表達(dá)式2.2.7.1柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系的三條坐標(biāo)線不全是直線，但它們是互相正交的，屬于正交曲線坐標(biāo)系。直角坐標(biāo)與柱坐標(biāo)之間有如下關(guān)系直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)之間有如下關(guān)系同時，柱坐標(biāo)系三個單位矢量與直角坐標(biāo)系三個單位矢量之間的關(guān)系可用矩陣的方式表示出來，如下式所示或?qū)η蜃鴺?biāo)系類似有或以表示正交曲線坐標(biāo)，設(shè)空間兩點