考慮層狀地基作用的多樁彈性理論分析

考慮層狀地基作用的多樁彈性理論分析

1poolos彈性理論在土壤沉積條件下，土壤通常會發(fā)生較大的傾斜位移，附近的樁基角受到水平側(cè)壓力和垂直摩擦擦力的結(jié)合，即“被動樁”問題。目前,用于分析被動樁性狀的彈性方法主要有基于Winkler假設(shè)的地基反力法和Poulos提出的彈性理論法。地基反力法通常將樁視為豎向置于彈性地基上的梁,采用相互獨(dú)立的土彈簧來模擬樁、土之間的相互作用,無法考慮土的連續(xù)性;Poulos彈性理論通過引入半空間中集中荷載作用下的Mindlin解充分考慮了土的連續(xù)性,能更好地反映樁與樁、樁與土以及土與土之間的耦合關(guān)系,比地基反力法更為嚴(yán)密、合理。彈性理論法是基于均質(zhì)土的Mindlin解推導(dǎo)的,為考慮土的層狀特性,Poulos提出了參考模量的概念,然而參考模量和土體自由位移的確定存在一定困難,故未能得到廣泛應(yīng)用。本文采用矩陣傳遞方法,將層狀地基中受集中荷載作用的Mindlin解引入到Poulos的彈性理論中,對其進(jìn)行改進(jìn)、完善,使之更加嚴(yán)密、合理,可用于堆載作用下的被動樁變形和受力性狀分析。2coolos彈性理論2.1樁周土體位移關(guān)系1973年,Poulos根據(jù)樁、土界面處應(yīng)力平衡和位移協(xié)調(diào)的原理,完整地提出了被動條件下單樁的彈性分析理論。將土體看作理想彈性材料,其變形模量為sE,泊松比為v,應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系滿足半空間中作用一水平力的Mindlin解答。設(shè)樁的樁徑為d,樁長為L,剛度為EpIp。如圖1所示,樁離散為n個樁段,共n+1個節(jié)點(diǎn),除位于樁頂和樁端處的兩個單元長δ/2之外,其他單元長度均為δ。樁、土之間的相互作用力僅考慮垂直于樁長方向的水平正應(yīng)力,各節(jié)點(diǎn)的“力-位移”關(guān)系可用以下差分方程表示:式中:{pρ}為樁節(jié)點(diǎn)的(n-1)階位移列向量;{p}為樁節(jié)點(diǎn)的(n-1)階水平向均布力列向量;{D}為與邊界條件有關(guān)的有限差分系數(shù)矩陣。為利用Cleser差分格式,須增加兩個虛擬節(jié)點(diǎn)0和n+2(圖1)。結(jié)合樁身水平力和樁頂彎矩的靜力平衡條件,可得樁身內(nèi)力分布或位移表達(dá)式:樁周土體的位移受到外部荷載和樁、土相互作用這兩個因素的影響,可用式(3)來描述:式中:{ρs}為節(jié)點(diǎn)處土的位移列向量;Es為節(jié)點(diǎn)處土的變形模量;[I]為土的側(cè)向位移影響系數(shù)矩陣,Iij相當(dāng)于在節(jié)點(diǎn)j處作用單位水平集中力時節(jié)點(diǎn)i處所產(chǎn)生的位移系數(shù),可由Mindlin解得到;{ρe}為由開挖臨空面、堆載超載等外部原因引起的土體側(cè)移,即不考慮樁存在時土的初始位移。當(dāng)土體變形處于彈性狀態(tài)時,近似認(rèn)為樁、土之間不產(chǎn)生相對滑移。根據(jù)樁、土在交界處的位移協(xié)調(diào)關(guān)系,即{ρp}={ρs},聯(lián)立式(1)和式(3)得式中:[II]為土體位移系數(shù)矩陣[I]的逆矩陣;KR為樁的柔度系數(shù)EpIp/(EsL4)。由于樁間土的繞流作用,樁所承擔(dān)的荷載即土抗力存在一極限值py,當(dāng)土抗力超過該值后,樁、土接觸面進(jìn)入塑性變形狀態(tài)。因此,在每次迭代計(jì)算之前先將各節(jié)點(diǎn)力ip與屈服壓力up比較,如果大于該值,則用相應(yīng)單元的撓曲微分方程替代位移協(xié)調(diào)方程,并將ip重置為up,超出部分ipup轉(zhuǎn)移到相鄰單元。反復(fù)進(jìn)行上述步驟,直到各節(jié)點(diǎn)計(jì)算壓力均不超過屈服值,從這個意義上來說,Poulos彈性理論實(shí)質(zhì)上是一種應(yīng)力-應(yīng)變服從理想彈塑性變形的塑性方法。2.2本構(gòu)模型的求解Poulos彈性理論是基于彈性均質(zhì)土假設(shè)之上的,而實(shí)際工程中地層分布要比這復(fù)雜得多,往往由眾多性質(zhì)各異的土體構(gòu)成。為了考慮上述特性,Poulos引入“參考模量”的概念并將其直接代入Mindlin解中求解位移系數(shù),這是一種近似計(jì)算,但為了得到令人滿意的分析結(jié)果,往往需要反復(fù)調(diào)整參考模量的取值。另外一種近似考慮土的層狀特性的方法就是利用換算模量和換算泊松比的關(guān)系將多層土轉(zhuǎn)化為均質(zhì)土,這可以使問題大大簡化,但也降低了計(jì)算精度,特別是在各土層的工程性質(zhì)差異較大的情況下。此外,Poulos彈性理論的初始位移{eρ}是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)分布公式得到,僅與樁徑有關(guān),是對極限位移的保守估計(jì),往往偏大,無法真實(shí)反映地面堆載大小與土體變形之間的相關(guān)關(guān)系。3共同樁、土體初始位移向量的改進(jìn)poolos彈性理論為了對堆載條件下被動樁的變形和受力性狀進(jìn)行更為精確、合理地分析,引入了層狀地基中作用有水平集中力和豎向荷載時的彈性力學(xué)理論,用于樁、土相互作用系數(shù)矩陣[II]和土體初始位移向量{eρ}的修正,從而建立層狀地基的改進(jìn)Poulos彈性理論解。3.1力p作用面為單因素界面的地基應(yīng)力和位移半空間內(nèi)作用一水平集中力的Mindlin解廣泛應(yīng)用于側(cè)向受荷樁的計(jì)算,但僅適用于均質(zhì)土層,對于多層土必須先換算為均質(zhì)土,其計(jì)算結(jié)果較為粗略。近年來,關(guān)于層狀彈性地基的受荷問題取得了突破性進(jìn)展,艾智勇等利用傳遞矩陣法和Hankel積分變換將傳統(tǒng)的Mindlin解推廣到層狀彈性體系中。本文以雙層地基為例,簡要介紹和推導(dǎo)層狀地基中受水平集中力作用的通解,并用于層狀土位移影響系數(shù)的計(jì)算。如圖2所示,在“軟土—硬土”雙層地基中,假設(shè)水平集中力P作用于底層,離地面h0。將力P的作用面作為一個分界面,將地基分為I,II,III3個區(qū)。上、下土層的變形模量、泊松比及厚度分別為E1,v1,h1和E2,v2,h2,其中h2→∞。在柱坐標(biāo)下地基中任一點(diǎn)的位移為u,v,w,應(yīng)力為σz,τzr,τzθ,并表示成以下級數(shù)形式:式中Jk(x)為k階第1類Bessel函數(shù)。根據(jù)邊界條件可求得參數(shù)A,B,C,D,F及H。假設(shè)上層土與下層土之間完全接觸,由邊界條件可知,應(yīng)力和位移的一般表達(dá)式(5)中除k=1外,其他各項(xiàng)均為0。令V1k=uk+vk,V2k=uk-vk,T1k=τzrk+τzθk,T2k=τzrk-τzθk,并記V1k和T1k的(k+1)階、V2k和T2k的(k-1)階、wk和σzk的k階Hankel積分變換分別為V1k,T1k,V2k,T2k,kw和σzk。在非對稱荷載作用下單層地基任一點(diǎn)的應(yīng)力及位移初始函數(shù)矩陣表示為利用傳遞矩陣對I~III區(qū)的應(yīng)力和位移分量進(jìn)行傳遞,有根據(jù)各區(qū)之間的接觸面條件,有根據(jù)層間關(guān)系從底層向上遞推得式中:當(dāng)2h→∞時,對于固定邊界有,由式(10)可唯一得到G(ξ,0)另外3個分量:對于力P作用面以上任一點(diǎn)的應(yīng)力和位移,可在z處按式(9)向上遞推得式中:[a]為傳遞系數(shù)矩陣。對于力P作用面以下的點(diǎn),同樣可從深度z向上遞推得式中:[b]和[c]為傳遞系數(shù)矩陣。利用Hankel變換將式(13)兩邊對ξ進(jìn)行積分反演,便可得到G(r,z)表達(dá)式為在式(15)中,令r=0,即可得出Z軸上任一點(diǎn)的水平位移。對于集中力作用于上層土的情況,其推導(dǎo)過程與上述情況是類似的,在此不再贅述。3.2變形系數(shù)矩陣前一節(jié)通過矩陣傳遞和Hankel積分變換推導(dǎo)出雙層地基中作用一水平集中力時在其他位置所產(chǎn)生的位移,該結(jié)果可用于計(jì)算層狀彈性地基的位移系數(shù)矩陣。在式(3)中,令[A]=[I]/Es,Aij即為當(dāng)在j節(jié)點(diǎn)作用一單位集中力時i節(jié)點(diǎn)處的位移,可由前節(jié)推導(dǎo)結(jié)果得到;Es為相應(yīng)位置土的變形模量。上述問題實(shí)際上已轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)力學(xué)中超靜定結(jié)構(gòu)的力法問題,其物理意義更為明確。令i節(jié)點(diǎn)集中力Pi=piδid,則各個節(jié)點(diǎn)力在i處所產(chǎn)生的位移之和為∑AijPj(j=1~n+1)。3.3無樁地基位移場的簡化為了建立層狀地基的Poulos彈性理論,還必須求解另外一個參數(shù),即自由場位移向量{ρe}。近年來,很多學(xué)者致力于層狀彈性力學(xué)問題的研究,特別是在路面力學(xué)領(lǐng)域取得長足發(fā)展,使任意荷載作用下多層地基中任一點(diǎn)的應(yīng)力和位移解得到了圓滿解決。由于非對稱荷載的推導(dǎo)和和實(shí)現(xiàn)非常復(fù)雜,一般將地面荷載簡化成在一圓域內(nèi)分布的軸對稱荷載。如圖3所示雙層地基,圓形荷載半徑為δ,荷載大小為p,上、下土層變形參數(shù)為E1,v1和E2,2v,上層土厚度為h。地基應(yīng)力場和位移場的推導(dǎo)過程與3.1節(jié)基本一致,在柱坐標(biāo)下位移解為其中式中:為m階第1類Bessel函數(shù);Γ(m+1)為Γ函數(shù),?,m,L,M,iA,iB,iC和iD為系數(shù),分別為對于圓形均布荷載,有J(m)=J(1)=J1(x),再根據(jù)ρe=U,即可通過式(16)求得無樁時樁位處土體的初始位移。式(15)和式(16)都涉及到無窮積分等數(shù)學(xué)問題,由于計(jì)算機(jī)無法精確計(jì)算0~∞的積分值,一般可取某一有限上限值xs來代替無窮極限,積分區(qū)間變?yōu)閇0,xs]。xs可取xs≥15δ/(z+h),然后采用高斯積分或復(fù)化高斯積分求解。此外,表達(dá)式還含有Bessel函數(shù)和指數(shù)函數(shù),數(shù)值計(jì)算時容易產(chǎn)生溢出現(xiàn)象和“病態(tài)”問題,在編制程序時必須采取相應(yīng)數(shù)學(xué)手段進(jìn)行處理。3.4節(jié)點(diǎn)力土體自由場極限土壓力在層狀土中,采用改進(jìn)彈性理論對堆載作用下被動樁變形和受力性狀進(jìn)行分析計(jì)算的過程與在均質(zhì)土中基本一致,當(dāng)只有一層土?xí)r該法即蛻化成Poulos方法,其計(jì)算步驟如下:(1)根據(jù)廣義Mindlin解(式(15)),求出當(dāng)在不同深度樁節(jié)點(diǎn)處作用一單位水平集中力時在其他節(jié)點(diǎn)所產(chǎn)生的位移,并形成位移系數(shù)矩陣[A];(2)由式(16)計(jì)算堆載條件下樁位處的土體自由場初始位移{ρe};(3)將[A]和{ρe}代入式(3)和式(4),求解各個樁段的均布側(cè)壓力向量{p}。將各節(jié)點(diǎn)力pi的計(jì)算值與相應(yīng)深度的極限土抗力pu進(jìn)行比較,如果pi>pu則將pi重置為相應(yīng)的極限土抗力pu,并將超出部分轉(zhuǎn)移到其他節(jié)點(diǎn)。對各個節(jié)點(diǎn)反復(fù)進(jìn)行上述復(fù)核,直到均不超過各節(jié)點(diǎn)的極限土壓力為止;(4)根據(jù)計(jì)算出的最終土抗力向量{p},進(jìn)一步求解被動樁的位移、剪力和彎矩。4計(jì)算與分析4.1基礎(chǔ)模量的確定為簡化計(jì)算,假設(shè)層狀土的上層為軟土、下層為硬土的半無限雙層地基。軟土厚度h=8.0m,重度γ1=18.0kN/m3,變形模量E1=6.0MPa,泊松比v1=0.3;硬土層重度γ2=20.0kN/m3,變形模量E2=20.0MPa,泊松比v2=0.3。被動樁直徑d=1.0m,長度L=20m,樁側(cè)極限抗力pu=10.5cu,該值僅與土的不排水條件下的凝聚力cu有關(guān),不隨深度變化。算例僅考慮單樁樁頂自由的工況。地面大面積堆載荷載p=160kPa,堆載直徑δ=8.0m,堆載邊緣與樁心的距離l=2.0m。4.2變形模量和彎矩分布圖4為“軟土—硬土”雙層地基中,按本文改進(jìn)彈性理論法和Poulos方法分別計(jì)算的單樁水平位移和彎矩分布情況,其中Poulos方法是按等代模量Eav=(E1h1+E2(L-h1))/L先將層狀土換算成均質(zhì)土來實(shí)現(xiàn)的,其中E1,h1為上層軟土的變形模量和厚度;E2為硬土的變形模量。層狀土經(jīng)過模量換算成均質(zhì)土后,土的變形模量介于原先軟土和硬土的變形模量之間,這意味著在原軟土深度內(nèi)土的變形能力減弱,而在硬土深度內(nèi)則因彈模的降低導(dǎo)致深層土體對樁的嵌固作用受到削弱,全樁表現(xiàn)出柔性樁的變形特征。計(jì)算結(jié)果表明,Poulos方法計(jì)算的樁頂處水平位移值比本文約小30%,而在底部則比本文大很多。從彎矩分布來看,Poulos方法的計(jì)算彎矩在樁身全長范圍內(nèi)僅分布有正彎矩,最大值要比本文算法高40%左右;根據(jù)本文改進(jìn)彈性理論的計(jì)算結(jié)果,被動樁在軟土層分布有正、負(fù)彎矩,這主要是因?yàn)橛餐翆訛楸粍訕短峁┝撕芎玫那豆套饔?使得軟土內(nèi)樁段在土的塑性流動等擠壓作用下產(chǎn)生彎矩負(fù)值。比較而言,采用改進(jìn)彈性理論法后,被動樁的力學(xué)特征更為合理,趨向于剛性樁的變形性狀?？梢?引入層狀彈性力學(xué)理論對傳統(tǒng)的Poulos彈性理論進(jìn)行改進(jìn),以用于計(jì)算堆載影響下多層地基等復(fù)雜條件下的被動樁變形和彎矩響應(yīng)是很有必要的,特別是在各土層的變形模量E、泊松比v等土性參數(shù)差異較大的情況下,采用層狀彈性理論顯得更為重要。從算例分析結(jié)果來看,本文的彈性理論改進(jìn)算法其思路是正確的,能夠更合理地描述被動樁的性狀,計(jì)算精度也得到提高。5poolos彈性理論的改進(jìn)和應(yīng)用(1