小學(xué)奧數(shù)之容斥原理

容斥原理（一）【例題分析】例1.有長8厘米，寬6厘米的長方形與邊長5厘米的正方形。如圖放在桌面上，求這兩個(gè)圖形蓋住桌面的面積？

分析與解：陰影部分是直角三角形，是兩個(gè)圖形的重疊部分，它的面積是：

（平方厘米）

方法一：（平方厘米）

方法二：（平方厘米）

方法三：（平方厘米）

答：蓋住桌面的面積是67平方厘米。例2.六一班參加無線電小組和航模小組的共26人，其中參加無線電小組的有17人，參加航模小組的有14人，兩組都參加的有多少人？

分析與解：把17人和14人相加，是把兩組都參加的人算了兩次，所以減去總?cè)藬?shù)，就是兩組都參加的人數(shù)（人）。

也可以這樣解：（人）

或（人）

答：兩組都參加的有5人。例3.六一班有學(xué)生46人，其中會騎自行車的有19人，會游泳的有25人，既會騎車又會游泳的有7人，既不會騎自行車又不會游泳的有多少人？

分析與解：先求出46人中會騎車或會游泳的有多少人，從中減去會騎車或會游泳的人數(shù)，剩下的就是既不會騎車也不會游泳的人數(shù)。

（人）

（人）

答：既不會騎車又不會游泳的有9人。例4.某年級的課外小組分為美術(shù)、音樂、手工三個(gè)小組，參加美術(shù)小組有20人，參加音樂小組有24人，參加手工小組有31人，同時(shí)參加美術(shù)和音樂兩個(gè)小組有5人，同時(shí)參加音樂和手工兩個(gè)小組有6人，同時(shí)參加美術(shù)和手工兩個(gè)小組的有7人，三個(gè)小組都參加的有3人，這個(gè)年級參加課外小組的同學(xué)共有多少人？

分析與解：圖中的5、6、7人都是兩兩重疊的部分，圖中的3人是三個(gè)重疊的部分，要從三個(gè)組的總?cè)藬?shù)中減去重復(fù)多余的部分。

（人）

答：這個(gè)年級參加課外小組的有60人。例5.某班在短跑、投擲和跳遠(yuǎn)三項(xiàng)檢測中，有4人三項(xiàng)都未達(dá)到優(yōu)秀，其他人至少有一項(xiàng)是優(yōu)秀，下表是得優(yōu)秀的情況，請你算出全班人數(shù)。短跑投擲跳遠(yuǎn)跑跳跑投跳投三項(xiàng)19212091063

（人）

答：只有兩次達(dá)到優(yōu)秀的有11人。例2.在一個(gè)炎熱的夏日，幾個(gè)小朋友去冷飲店，每人至少要了一樣冷飲，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的沒有，只要汽水和雪碧的有1人；三樣都要的有1人。問：共有幾個(gè)小朋友去了冷飲店？

分析與解：根據(jù)題意畫圖。

方法一：（人）

方法二：（人）

答：共有10個(gè)小朋友去了冷飲店。例3.有28人參加田徑運(yùn)動(dòng)會，每人至少參加兩項(xiàng)比賽。已知有8人沒參加跑的項(xiàng)目，參加投擲項(xiàng)目的人數(shù)與參加跑和跳兩項(xiàng)的人數(shù)都是17人。問：只參加跑和投擲兩項(xiàng)的有多少人？

分析與解：“每人至少參加兩項(xiàng)比賽”說明沒有不參加的，也沒有參加一項(xiàng)比賽的，我們可以在下圖中參加一項(xiàng)的區(qū)域用0表示。

（人）

答：只參加跑和投擲兩項(xiàng)的有3人。例4.某校六年級二班有49人參加了數(shù)學(xué)、英語、語文學(xué)習(xí)小組，其中數(shù)學(xué)有30人參加，英語有20人參加，語文小組有10人。老師告訴同學(xué)既參加數(shù)學(xué)小組又參加語文小組的有3人，既參加數(shù)學(xué)又參加英語和既參加英語又參加語文的人數(shù)均為質(zhì)數(shù)，而三種全參加的只有1人，求既參加英語又參加數(shù)學(xué)小組的人數(shù)。

分析與解：根據(jù)已知條件畫出圖。

三圓蓋住的總體為49人，假設(shè)既參加數(shù)學(xué)又參加英語的有x人，既參加語文又參加英語的有y人，可以列出這樣的方程：

整理后得：

由于x、y均為質(zhì)數(shù)，因而這兩個(gè)質(zhì)數(shù)中必有一個(gè)偶質(zhì)數(shù)2，另一個(gè)質(zhì)數(shù)為7。

答：既參加英語又參加數(shù)學(xué)小組的為2人或7人。例5.某班同學(xué)參加升學(xué)考試，得滿分的人數(shù)如下：數(shù)學(xué)20人，語文20人，英語20人，數(shù)學(xué)、英語兩科滿分者8人，數(shù)學(xué)、語文兩科滿分者7人，語文、英語兩科滿分者9人，三科都沒得滿分者3人。問這個(gè)班最多多少人？最少多少人？

分析與解：根據(jù)題意畫圖。

設(shè)三科都得滿分者為x

全班人數(shù)

整理后：全班人數(shù)＝39＋x

39+x表示全班人數(shù)，當(dāng)x取最大值時(shí)，全班人數(shù)就最多，當(dāng)x取最小值時(shí)，全班人數(shù)就最少。x是數(shù)學(xué)、語文、英語三科都得滿分的同學(xué)，因而x中的人數(shù)一定不超過兩科得滿分的人數(shù)，即且，由此我們得到。另一方面x最小可能是0，即沒有三科都得滿分的。

當(dāng)x取最大值7時(shí)，全班有人，當(dāng)x取最小值0時(shí)，全班有39人。

答：這個(gè)班最多有46人，最少有39人?！灸M試題】（答題時(shí)間：30分鐘）1.六年級共有96人，兩種刊物每人至少訂其中一種，有的人訂《少年報(bào)》，有的人訂《數(shù)學(xué)報(bào)》，兩種刊物都訂的有多少人？2.小明和小龍兩家合住一套房子，門廳、廚房和廁所為公用，在登記住房面積時(shí)，兩家登記表如下表（單位：平方米）姓名居室門廳廚房廁所總面積小明14128438小龍20128444

他們住的一套房子共有多少平方米？3.某班45名同學(xué)參加體育測試，其中百米得優(yōu)者20人，跳遠(yuǎn)得優(yōu)者18人，又知百米、跳遠(yuǎn)都得優(yōu)者7人，跳高、百米得優(yōu)者6人，跳高、跳遠(yuǎn)均得優(yōu)者8人，跳高得優(yōu)者22人，全班只有1名同學(xué)各項(xiàng)都沒達(dá)優(yōu)秀，求三項(xiàng)都是優(yōu)秀的人數(shù)。4.某班四年級