愛提分七年級秋季 第07講-含參的一次方程(教師版)

高思愛提分演示（KJ)初中數(shù)學(xué)教師輔導(dǎo)講義[教師版]學(xué)員姓名初一1班 年級初一輔導(dǎo)科目初中數(shù)學(xué)學(xué)科教師車勝男上課時間01-1412:00:00-12:30:00 知識圖譜含參數(shù)的一次方程知識精講一．參數(shù)有的方程中除了未知數(shù)外，還會含有一些其他的字母，它們代表已經(jīng)確定的數(shù)字，只是我們不知道它們具體是多少，這種字母稱為“參數(shù)”，即“參與運算的數(shù)”．雖然都是字母，但未知數(shù)與參數(shù)各自的地位和含義是不相同的．比如方程，理論上來講，如果題目沒有說明，里面的每一個字母都可以當做未知數(shù)．但是一般情況下，當與同時出現(xiàn)在一個方程時，我們會約定俗成地認為，是未知數(shù)，是（已知數(shù)）參數(shù)．因此，我們通常會說關(guān)于的方程，這樣比較嚴謹，就不會出現(xiàn)糾結(jié)誰是未知數(shù)的問題．二．常數(shù)項含參數(shù)的一次方程對未知數(shù)系數(shù)不含參數(shù)，常數(shù)項含參數(shù)的方程，在運算中就把參數(shù)當成普通的數(shù)字來對待，帶著參數(shù)完成解方程的過程．如解關(guān)于的一元一次方程，則．小明在家做作業(yè)時,不小心吧墨水滴到了練習(xí)冊一道解方程題上,題目上一個數(shù)字被墨水污染了.這個方程是：,“▇”是被污染的數(shù)字,“▇”是哪個數(shù)呢?他很著急,想了一想,便翻看了書后答案,得知此方程的解是x=2.你能幫他補上被污染處“▇”的內(nèi)容嗎?把解代回方程：，此時被污染的數(shù)字就是這個新的方程的未知數(shù)，解方程即可三．系數(shù)含參的一次方程的解法解系數(shù)含參問題對于未知數(shù)系數(shù)含參數(shù)的方程，其方程的解與參數(shù)的取值有很大關(guān)系，需要對參數(shù)進行分類討論．求解一個系數(shù)含參數(shù)的一元一次方程，依然采用常規(guī)的五步法，其中去分母、去括號、移項、合并同類項這四步帶著參數(shù)一起運算即可，在最后一步未知數(shù)系數(shù)化為時要對參數(shù)進行討論．因為此時系數(shù)是否為會對方程的解有很大的影響方程的解的個數(shù)對關(guān)于的方程（為參數(shù)），有：（1）當時方程有唯一解；（2）當時，方程的解仍不能確定，需要對再進行分類討論：①當時，方程為，無解；②當時，方程為，任意數(shù)字均為方程的解．例：若關(guān)于的方程無解，求的值首先按常規(guī)方法解這個方程至合并同類項這一步：方程無解即方程是的形式，那么同解問題同解方程就是多個有相同解的方程，我們可以先將一個已知方程的解計算出來，再將這個解代入另一個含參數(shù)的方程中，計算參數(shù)例：已知關(guān)于的方程與的解相同，則的值為多少？先解方程，可得，根據(jù)同解的定義可得也是方程的解，于是把代入中即可求特殊解問題例：若關(guān)于的方程有整數(shù)解，求整數(shù)的值首先按常規(guī)方法解這個方程：要想解釋是整數(shù)，那么分子-17能被分母整除，即的值可以取到，求出相應(yīng)的值即可。做題時要注意題目中的限制，如：整數(shù)、正整數(shù)、負數(shù)……等四．絕對值方程型方程①當時，方程有兩個解．如，則；②當時，方程有唯一解．如，則；③當時，方程無解．如，則方程無解．型方程①當時，原方程等價于方程或．如方程，等價于或；②當時，原方程等價于方程．如方程，等價于；③當時，原方程無解．型方程我們已經(jīng)學(xué)過，一個數(shù)的絕對值的定義是：當時，；當時，．這個定義說明只要我們知道絕對值內(nèi)的數(shù)或代數(shù)式的正負，就可以按照定義去掉絕對值號了．所以我們可以先分類討論絕對值內(nèi)部部分的正負，然后化作一般方程求解．注意：最終的解一定要符合其所對應(yīng)的分類前提，否則就要舍去．例如，解關(guān)于x的方程：絕對值內(nèi)部為，我們對分類討論．①當時，，原方程化為，解得．但是由于不滿足的前提要求，所以舍去；②當時，，原方程化為，解得．檢驗滿足的前提要求，所以是原方程的解．三點剖析一．考點：解含參數(shù)的一元一次方程及絕對值方程．二．重難點：解含參數(shù)的一元一次方程及絕對值方程．三．易錯點：1．在解系數(shù)含參數(shù)的一次方程的過程中，忘記對參數(shù)進行討論；2．解這類絕對值方程時，直接去絕對值．參數(shù)的概念例題例題1、已知關(guān)于的方程，其中參數(shù)是__________，未知量是__________，常數(shù)項是__________．【答案】、、；；、、．【解析】根據(jù)參數(shù)的概念即可判斷隨練隨練1、若是方程的解，則的值是（）A.－4B.4C.－8D.8【答案】B【解析】根據(jù)題意，得，即，解得．常數(shù)項含參的一次方程例題例題1、小明在做解方程作業(yè)時，不小心將方程中的一個常數(shù)污染了看不清楚，被污染的方程是：■，怎么辦呢？小明想了一想便翻看了書后的答案，此方程的解是，于是很快補好了這個常數(shù)，你能補出這個常數(shù)是多少嗎？它應(yīng)是________．【答案】3【解析】設(shè)所求常數(shù)為，把代入方程得：，即，解得：例題2、如果是方程的根，那么的值是（）A.0B.2C.－2D.－6【答案】C【解析】∵是方程的根，∴代入得：，∴．例題3、若是方程的解，則的值是（）A.－4B.4C.－8D.8【答案】B【解析】根據(jù)題意，得，即，解得．例題4、下面是一個被墨水污染過的方程：，答案顯示此方程的解是，被墨水遮蓋的是一個常數(shù)，則這個常數(shù)是_______．【答案】-2【解析】設(shè)被墨水遮蓋的常數(shù)為m，則方程為，將代入方程得：m=﹣2例題5、已知關(guān)于x的方程2x＋2m＝5的解是x＝2，則m的值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】∵方程2x＋2m＝5的解是x＝2，∴2×2＋2m＝5，解得，．隨練隨練1、己知關(guān)于x的方程3a﹣x=+3的解為2，則a值是______．【答案】2【解析】∵關(guān)于x的方程3a﹣x=+3的解為2，∴3a﹣2=解得，a=2隨練2、若關(guān)于x的一元一次方程的解是x＝2，則a的值是（）A.2B.－2C.1D.－1【答案】B【解析】將x＝2代入方程可得：，解得：a＝－2．隨練3、關(guān)于x的方程x﹣2m=﹣3x+4與2﹣m=x的解互為相反數(shù)．求m的值．【答案】m=6【解析】x﹣2m=﹣3x+4，移項合并得：4x=2m+4，解得：x=m+1，根據(jù)題意得：m+1+2﹣m=0，解得：m=6．系數(shù)含參的一次方程例題例題1、若關(guān)于x的方程mx＋2＝2（m－x）的解是，則m＝________．【答案】2例題2、某書上有一道解方程的題：，□處在印刷時被油墨蓋住了，查后面的答案知這個方程的解是，那么□處應(yīng)該是數(shù)字（）A.7B.5C.2D.－2【答案】B【解析】把代入得：，解這個方程得：．例題3、已知關(guān)于的方程有正整數(shù)解，則整數(shù)的最大值是（）A.－8B.－2C.0D.10【答案】C【解析】解方程得：，∵關(guān)于的方程有正整數(shù)解，為整數(shù)，∴或－3或－1，解得：或－2或0，的最大值是0．例題4、已知x＝－3是方程k（x＋4）－2k－x＝5的解，則k值為（）A.2B.－2C.5D.3【答案】B【解析】把x＝－3代入方程k（x＋4）－2k－x＝5得：k（－3＋4）－2k＋3＝5，解得：k＝－2．例題5、已知關(guān)于x的方程a（2x﹣1）=3x﹣2無解，則a的值是____．【答案】【解析】原式可化為：（2a﹣3）x+2﹣a=0，∵方程無解，∴可得：2a﹣3=0，2﹣a≠0，故a的值為．例題6、當a取整數(shù)時，方程有正整數(shù)解．【答案】0【解析】去分母，得x﹣4﹣2（ax﹣1）=2，去括號，得x﹣4﹣2ax+2=2，移項、合并同類項，得（1﹣2a）x=4，因為這個方程的解是正整數(shù)，即x=，是正整數(shù)，所以1﹣2a等于4的正約數(shù)，即1﹣2a=1，2，4，當1﹣2a=1時，a=0；當1﹣2a=2時，a=﹣（舍去）；當1﹣2a=4時，a=﹣（舍去）．故a=0．故答案為：0．隨練隨練1、若關(guān)于x的方程ax－8＝3a＋4的解是x＝1，則a的值是（）A.－6B.－2C.6D.15【答案】A【解析】∵方程ax－8＝－3a＋4的解是x＝1，∴a－8＝3a＋4，解得：a＝－6．隨練2、已知關(guān)于x的方程：（1）若x＝－2是方程的解試求a的值；（2）若該方程無解試確定a的值；（3）試求當a為何整數(shù)時該方程的解也為整數(shù)，并求出方程的所有整數(shù)解．【答案】（1）0（2）1（3）－1，0，2，3；－1，－2，2，1【解析】（1）∴∴∵x＝－2是方程的解∴∴－a＋1＝1∴a＝0（2）由（1）知，∵方程無解∴∴a＝1（3）由題意知，該方程有解∴a≠1∴∵該方程的解為整數(shù)，且x為整數(shù)∴a－1為2的約數(shù)∴a－1＝±1或±2∴a＝0或2或－1或3整數(shù)解分別為－2，2，－1，1綜上所述：當a＝－1，0，2，3時，對應(yīng)整數(shù)解為－1，－2，2，1一元一次方程的同解問題例題例題1、若方程2x+1=1的解是關(guān)于x的方程1﹣2（x﹣a）=2的解，則a=（）A.﹣1B.1C.D.【答案】C【解析】∵2x+1=1，∴x=0，把x=0代入方程1﹣2（x﹣a）=2得：1﹣2（0﹣a）=2，解得：a=。例題2、如果關(guān)于x的方程2x＋1＝3和方程的解相同，那么k的值為________．【答案】7【解析】∵2x＋1＝3，∴x＝1．又∵，即，∴k＝7．例題3、已知關(guān)于x的方程4x+2m=3x+1與方程3x+2m=6x+1的解相同，則方程的解為________．【答案】x=0例題4、若以x為未知數(shù)的方程3x－2a＝0與2x＋3a－13＝0的根相同，則a＝________．【答案】3【解析】由題意得：，解得．例題5、若關(guān)于x的方程2x－a＝0與2x＋3a－16＝0的解相同，則這兩個方程的解為x＝________．【答案】2【解析】方程2x－a＝0，解得：，方程2x＋3a－16＝0，解得：，由題意得：，即a＝16－3a，解得：a＝4，則方程的解為x＝2例題6、已知方程x－2＝2x＋1的解與方程的解相同，則k的值是________．【答案】【解析】由x－2＝2x＋1解得x＝－3，由x－2＝2x＋1的解與方程的解相同，得，解得．隨練隨練1、若方程2（2x﹣1）=3x+1與方程m=x﹣1的解相同，則m的值為___．【答案】2【解析】由2（2x﹣1）=3x+1，解得x=3，把x=3代入m=x﹣1，得m=3﹣1=2，隨練2、已知方程與關(guān)于的方程有相同的解（為常數(shù)）．（1）試求的值；（2）根據(jù)所求的值，試求的值；（3）根據(jù)所求的值，當時，試求的值．【答案】（1）（2）3（3）當，時，；當，時，．【解析】（1），解得：，把代入方程得：，解得：；（2）當時，原式；（3），或，，或，當，時，；當，時，．含絕對值的一次方程例題例題1、方程|x+3|﹣|1﹣x|=x+1的解是（）A.x=3B.x=﹣5C.x=﹣1或3或5D.x=﹣5，或﹣1或3【答案】D【解析】當x＜﹣3時，方程整理得：﹣x﹣3﹣1+x=x+1，解得：x=﹣5；當﹣3≤x＜1時，方程整理得：x+3﹣1+x=x+1，解得：x=﹣1；當x≥1時，方程整理得：x+3+1﹣x=x+1，解得：x=3，則方程的解為x=﹣5，﹣1，3．例題2、適合的整數(shù)的值有（）A.4個B.5個C.7個D.9個【答案】A【解析】如圖，由此可得為－4，－2，0，2的時候取得整數(shù)，共四個值．例題3、若關(guān)于x的方程|2x－3|＋m＝0無解，|3x－4|＋n＝0只有一個解，|4x－5|＋k＝0有兩個解，則m，n，k的大小關(guān)系是（）A.m＞n＞kB.n＞k＞mC.k＞m＞nD.m＞k＞n【答案】A【解析】（1）∵|2x－3|＋m＝0無解，∴m＞0．（2）∵|3x－4|＋n＝0有一個解，∴n＝0．（3）∵|4x－5|＋k＝0有兩個解，∴k＜0．∴m＞n＞k．例題4、先閱讀下列解題過程，然后解答后面兩個問題．解方程：．解：當時，原方程可化為，解得；當時，原方程可化為，解得．所以原方程的解是或．（1）解方程：．（2）當為何值時，關(guān)于的方程，①無解；②只有一個解；③有兩個解．【答案】（1）或（2）①當時，方程無解；②當時，方程只有一個解；③當時，方程有兩個解【解析】（1）當時，原方程可化為：，解得；當時，原方程可化為：，解得．所以原方程的解是或；（2），當，即時，方程無解；當，即時，方程只有一個解；當，即時，方程有兩個解隨練隨練1、方程：|x+1|+|x﹣3|=4的整數(shù)解有（）個．A.4B.3C.5D.無數(shù)個【答案】C【解析】從三種情況考慮：第一種：當x≥3時，原方程就可化簡為：x+1+x﹣3=4，解得：x=3；第二種：當﹣1＜x＜3時，原方程就可化簡為：x+1﹣x+3=4，恒成立；第三種：當x≤﹣1時，原方程就可化簡為：﹣x﹣1+3﹣x=4，解得：x=﹣1；所以x的取值范圍是：﹣1≤x≤3，故方程的整數(shù)解為：﹣1，0，1，2，3．共5個．隨練2、同學(xué)們都知道，表示4與－2的差的絕對值，實際上也可理解為4與－2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間的距離；同理也可理解為與3兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間的距離．試探索：（1）的值．（2）若，求的值是多少？（3）同理表示數(shù)軸上有理數(shù)所對應(yīng)的點到4和－2所對應(yīng)的兩點距離之和，請你找出所有符合條件的整數(shù)，使得，寫出求解的過程．【答案】（1）6（2）－3或7（3）－2、－1、0、1、2、3、4；過程見解析【解析】（1）∵4與－2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間的距離是6，．（2）表示與2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間的距離是5，∵－3或7與2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間的距離是5，∴若，則x＝－3或7．（3）∵4與－2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間的距離是6，∴使得成立的整數(shù)是－2和4之間的所有整數(shù)（包括－2和4），∴這樣的整數(shù)是－2、－1、0、1、2、3、4．拓展拓展1、若是方程的解，則的值是（）A.3B.6C.5D.4【答案】D【解析】把代入方程得：，解得：．拓展2、已知關(guān)于的方程的解比關(guān)于的方程的解小1，則的值為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由方程，得；由方程，得；又方程的解比方程的解小1，，解得．拓展3、聰聰在對方程①去分母時，錯誤的得到了方程2（x＋3）－mx－1＝3（5－x）②，因而求得的解是，試求m的值，并求方程的正確解．【答案】m＝1；x＝2【解析】把代入方程②得：，解得：m＝1，把m＝1代入方程①得：，去分母得：2（x＋3）－x＋1＝3（5－x），去括號得：2x＋6－x＋1＝15－3x，移項合并得：4x＝8，解得：x＝2，則方程的正確解為x＝2．拓展4、解關(guān)于x的方程：．【答案】拓展5、若關(guān)于x的方程ax+5=x+1的解為正整數(shù)，則整數(shù)a=____________．【答案】0或﹣1或﹣3【解析】ax+5=x+1，ax﹣x=1﹣5，（a﹣1）x=﹣4，x=，∵關(guān)于x的方程ax+5=x+1的解為正整數(shù)，∴1﹣a=1或2或4，解得：a=0或﹣1或﹣3．拓展6、已知方程是關(guān)于的方程的解，則的值為________．【答案】2【解析】把代入方程得：，解得：．拓展7、已知關(guān)于x的方程的解x=1，求關(guān)于y的方程的解．【答案】y=【解析】∵關(guān)于x的方程的解x=1，∴，解得，a=3，則由，得，解得，y=．拓展8、已知：關(guān)于x的一元一次方程3mx﹣2m=1的解是x=﹣1，則m的值為（）A.﹣1B.5C.D.【答案】D【解析】把x=﹣1代入方程3mx﹣2m=1得：﹣3m﹣2m=1，解得：m=﹣，故選：D．拓展9、如果方程﹣8=﹣的解與方程4x﹣（3a+1）=6x+2a﹣1的解相同，求式子a﹣a2的值．【答案】﹣20．【解析】﹣8=﹣去分母得：2（x﹣4）﹣48=﹣3（x+2）去括號得：2x﹣8﹣48=﹣3x﹣6，移項得：2x+3x=﹣6+8+48，合并同類項得：5x=50，系數(shù)化為1得：x=10