愛(ài)提分七年級(jí)秋季 第14講-角的綜合計(jì)算(學(xué)生版)

高思愛(ài)提分演示（KJ)初中數(shù)學(xué)學(xué)生輔導(dǎo)講義[學(xué)生版]學(xué)員姓名初一1班 年級(jí)初一輔導(dǎo)科目初中數(shù)學(xué)學(xué)科教師車勝男上課時(shí)間01-1412:00:00-12:30:00 知識(shí)圖譜角度綜合計(jì)算知識(shí)精講一、角度綜合計(jì)算（一）時(shí)鐘問(wèn)題通過(guò)觀察我們可以發(fā)現(xiàn)，時(shí)鐘表盤上的刻度線分為12個(gè)大格，每個(gè)大格里有5個(gè)小格，一共60個(gè)小格。分鐘走過(guò)1個(gè)小格表示時(shí)間過(guò)了1分鐘；時(shí)針走過(guò)1個(gè)大格表示時(shí)間過(guò)了1個(gè)小時(shí)，同時(shí)分針走完一整圈。探究任意時(shí)刻時(shí)分時(shí)的兩針位置,設(shè)12時(shí)的刻度線為,作為角度起始線,時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)，則每分鐘轉(zhuǎn)；分針每分鐘轉(zhuǎn),在時(shí)分時(shí),分針與0度的夾角（分針轉(zhuǎn)過(guò)角度）是：；時(shí)表示時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)個(gè)大格，即時(shí)針與12時(shí)刻度起點(diǎn)線夾角為，此外時(shí)間每過(guò)1分鐘，時(shí)針也會(huì)有微小的轉(zhuǎn)動(dòng)，即分鐘時(shí)針轉(zhuǎn)，故時(shí)針實(shí)際與起始線的夾角（銳角）為：。故時(shí)分，時(shí)針和分針夾角的計(jì)算公式是：如，12：55時(shí)的兩針夾角：將代入上式，得夾角（二）角的和差倍分關(guān)系如圖所示，是直線上一點(diǎn)，是一條射線，平分，在內(nèi)．若，，則是多少度？首先梳理角之間的數(shù)量關(guān)系：1、由角度倍數(shù)關(guān)系可得：,2、由角平分線定義得，3、和互補(bǔ)4、唯一已知角可表示為已知條件數(shù)值不夠，考慮列方程求解，不妨設(shè)，則，用唯一的已知角度列式為：求得未知數(shù)后，不要忘記回歸所求角，算出最終結(jié)果準(zhǔn)確的分析出題目中已知和隱含的角度數(shù)量關(guān)系，熟練運(yùn)用方程思想是解題的關(guān)鍵。稍復(fù)雜些的角度計(jì)算通常不只有一種計(jì)算方法，根據(jù)所設(shè)未知角的不同，計(jì)算量會(huì)稍有差異。（三）角的轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題如圖∠AOB＝α，OC是一條射線，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC。將射線OC繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周．試用含α的代數(shù)式表示∠MON．①當(dāng)OC在∠AOB內(nèi)，如圖②當(dāng)OC在∠AOB外且OC從OA起轉(zhuǎn)動(dòng)<180°時(shí)，如圖③當(dāng)OC在∠AOB外且OC從OA起轉(zhuǎn)動(dòng)>180°、從OB起轉(zhuǎn)動(dòng)<180°時(shí)，如圖④當(dāng)OC在∠AOB外且OC從OB起轉(zhuǎn)動(dòng)超過(guò)180°時(shí)，如圖綜上，或由此題我們可以發(fā)現(xiàn)，如果題目中沒(méi)有明確的角度限制，通常需要畫(huà)圖進(jìn)行分類討論，尤其是轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題有可能出現(xiàn)180度的角，未知角是銳角還是鈍角、射線在角內(nèi)還是角外、多個(gè)角是否有重疊部分等往往作為分類討論的依據(jù)，最關(guān)鍵的還是要通過(guò)準(zhǔn)確分析角的和差倍分關(guān)系和利用角平分線定義等進(jìn)行推理和證明。與轉(zhuǎn)動(dòng)速度和時(shí)間有關(guān)的題目可以類比行程問(wèn)題分析。三點(diǎn)剖析一．考點(diǎn)：角度的計(jì)算

二．重難點(diǎn)：角的數(shù)量關(guān)系，角度的動(dòng)態(tài)問(wèn)題．

三．易錯(cuò)點(diǎn)：1．題目中隱含的角度數(shù)量關(guān)系；2．角的倍數(shù)或比例關(guān)系注意整體和部分．3．動(dòng)態(tài)問(wèn)題畫(huà)圖分析，注意考慮全面角的綜合計(jì)算例題例題1、鐘面上7點(diǎn)30分時(shí)，時(shí)針與分針的夾角的度數(shù)是________．例題2、鐘表上11點(diǎn)15分時(shí)，時(shí)針與分針的夾角為_(kāi)_______．例題3、8點(diǎn)30分時(shí)，鐘表的時(shí)針與分針的夾角為_(kāi)_______°．例題4、已知：如圖，，，求：的度數(shù)．例題5、如圖，直線、相交于點(diǎn)O，平分，．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，求的度數(shù)．例題6、如圖，OC在∠BOD內(nèi)．（1）如果∠AOC和∠BOD都是直角．①若∠BOC＝60°，則∠AOD的度數(shù)是________；②猜想∠BOC與∠AOD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如果∠AOC＝∠BOD＝x°，∠AOD＝y(tǒng)°，求∠BOC的度數(shù)．例題7、已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，是的平分線．（1）如圖1，若，則________；（2）如圖1，若，則________；（用含的式子表示）（3）將圖1中的繞頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，其它條件不變，（2）中的結(jié)論是否還成立？試說(shuō)明理由；（4）將圖1中的繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，其它條件不變，則________（用含的式子表示）例題8、已知O是直線AB上的一點(diǎn)，∠COD是直角，OE平分∠BOC．初步嘗試：（1）如圖1，若∠AOC＝30°，求∠DOE的度數(shù)；類比探究：（2）在圖1中，若∠AOC＝α，直接寫(xiě)出∠DOE的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；解決問(wèn)題：（3）如圖2時(shí)，O是直線AB上的一點(diǎn)，∠COD是直角，OE平分∠BOC，探究∠AOC和∠DOE的度數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫(xiě)出你的結(jié)論．例題9、以直線上點(diǎn)為端點(diǎn)作射線，使，將直角的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處．（1）如圖1，若直角的邊放在射線上，則________；（2）如圖2，將直角繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，使得平分，說(shuō)明所在射線是的平分線；（3）如圖3，將直角繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，使得．求的度數(shù)．隨練隨練1、9點(diǎn)20分，鐘表上時(shí)針與分針?biāo)傻拟g角是________度．隨練2、鐘面顯示的時(shí)間是6時(shí)30分，此時(shí)時(shí)針與分針的夾角是________．隨練3、如圖，O是直線AB上一點(diǎn)，OD平分∠AOC．（1）若∠AOC＝60°，請(qǐng)求出∠AOD和∠BOC的度數(shù)．（2）若∠AOD和∠DOE互余，且，請(qǐng)求出∠AOD和∠COE的度數(shù)．隨練4、如圖，直線與相交于點(diǎn)，是的平分線，，如果．求：（1）的度數(shù)；（2）的度數(shù)．隨練5、如圖，直線與相交于，是的平分線，，，．（1）求的度數(shù)；（2）求與是否相等？請(qǐng)說(shuō)明理由．隨練6、如圖，點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，是直角，平分．（1）若，求的度數(shù)；（2）將繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，且保持射線在直線上方，在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)?shù)亩葦?shù)是多少時(shí)，．隨練7、如圖1，O為直線AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作射線OC，∠AOC＝30°，將一直角三角板（∠M＝30°）的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊ON在射線OA上，另一邊OM與OC都在直線AB的上方．（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O以每秒3°的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周．如圖2，經(jīng)過(guò)t秒后，OM恰好平分∠BOC．①求t的值；②此時(shí)ON是否平分∠AOC？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）在（1）問(wèn)的基礎(chǔ)上，若三角板在轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，射線OC也繞O點(diǎn)以每秒6°的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，如圖3，那么經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間OC平分∠MON？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在（2）問(wèn)的基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間OC平分∠MOB？請(qǐng)畫(huà)圖并說(shuō)明理由．隨練8、如圖1，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作射線，使，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，一邊在射線上，另一邊在直線的下方．（1）如圖2，將圖1中的三角板繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使邊在的內(nèi)部，且恰好平分，此時(shí)________度；________度．（2）如圖3，繼續(xù)將圖2中的三角板繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使得在的內(nèi)部．試探究與之間滿足什么等量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）將圖1中的三角板繞點(diǎn)以每秒的速度沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，若直線恰好平分，則此時(shí)三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間是________秒．拓展拓展1、12點(diǎn)15分，時(shí)針與分針?biāo)鶌A的小于平角的角為（）A.90°B.67.5°C.82.5°D.60°拓展2、從12點(diǎn)整開(kāi)始到1點(diǎn)，經(jīng)過(guò)________分鐘，鐘表上時(shí)針和分針的夾角恰好為．拓展3、如圖，一副三角尺按不同的位置擺放，擺放位置中的圖形有（）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)拓展4、在一個(gè)平面內(nèi)，將一副三角板按如圖所示擺放．若，那么________度．拓展5、如圖，已知OD平分∠AOB，射線OC在∠AOD內(nèi)，∠BOC=2∠AOC，∠AOB=114°．求∠COD的度數(shù)．拓展6、如圖，已知，，是的3倍，求的度數(shù)．拓展7、如圖，，平分，且，求度數(shù)．拓展8、如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，∠AOM＝90°．（1）如圖1，若OC平分∠AOM，求∠AOD的度數(shù)；（2）如圖2，若∠BOC＝4∠NOB，且OM平分∠NOC，求∠MON的度數(shù)．拓展9、如圖，O是直線AB上一點(diǎn)，OC是任一條射線，OD，OE分別是，的平分線．（1）請(qǐng)寫(xiě)出圖中的補(bǔ)角和的余角；（2）當(dāng)時(shí)，求和的度數(shù)；（3）圖中有哪幾對(duì)互補(bǔ)的角？拓展10、如圖，OM是∠AOC的平分線，ON是∠BOC的平分線．（1）如圖1，當(dāng)∠AOB是直角，∠BOC＝60°時(shí)，∠MON的度數(shù)是多少？（2）如圖2，當(dāng)∠AOB＝α，∠BOC＝60°時(shí)，猜想∠MON與α的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，當(dāng)∠AOB＝α，∠BOC＝β時(shí)，猜想：∠MON與α、β有數(shù)量關(guān)系嗎？如果有，指出結(jié)論并說(shuō)明理由．拓展11、如圖（1），將兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)C疊放在一起，（1）若∠DCE＝35°，∠ACB＝________；若∠ACB＝140°，則∠DCE＝________；（2）猜想∠ACB與∠DCE的大小有何特殊關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖（2），若是兩個(gè)同樣的直角三角尺60°銳角的頂點(diǎn)A重合在一起，則∠DAB與∠CAE的大小又有何關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由．拓展12、如圖，已知，，平分，平分．（1）求的度數(shù)．（2）若將題干中的改為，其余條件不變，求的度數(shù)；（3）若將題干中的改為（為銳角），其余條件不變，求的度數(shù)．（4）從前面的結(jié)果中，你能得出什么結(jié)論？拓展13、已知點(diǎn)是上的一點(diǎn)，，平分．（1）當(dāng)點(diǎn)，，在直線的同側(cè)（如圖1所示）時(shí)，若，求和的度數(shù)，和有什么數(shù)量關(guān)系？（2）當(dāng)點(diǎn)，，在直線的異側(cè)（如圖2所示）時(shí)，若，那么（1）中和的數(shù)量關(guān)系的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)給出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由；（3）將圖2中的射線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到射線．設(shè)，若，則的度數(shù)是多少？（請(qǐng)用含的式子直接寫(xiě)出結(jié)果）拓展14、如圖1，點(diǎn)O為直線AB上的一點(diǎn)，過(guò)