關(guān)于反證法證明命題的再討論

關(guān)于反證法證明命題的再討論

數(shù)學(xué)任命的證明方法可以根據(jù)情況分為直接證書法和間接證書法。反證法是一種最常見的間接證明方法，并且它是數(shù)學(xué)中的一種很重要的證明方法。它不是采用直接的方法去證明命題的結(jié)論，而是先提出一個(gè)與命題結(jié)論相反的假設(shè)，然后再?gòu)倪@個(gè)假設(shè)出發(fā)利用已知條件步步有據(jù)的實(shí)行嚴(yán)密的邏輯推理，直至導(dǎo)出結(jié)論，從而斷言所提出的與結(jié)論相反的假設(shè)是不正確的，因而，命題的結(jié)論是正確的。1反證法的證象性反證法的證明方法之所以可靠，其邏輯依據(jù)就是邏輯學(xué)中的排中律。人們?cè)趯?shí)踐中得出這樣的規(guī)律：“S是P”和“S不是P”兩個(gè)相反判斷中，總有一個(gè)是真的，另一個(gè)是假的，不存在第三個(gè)判斷。這就是邏輯思維規(guī)律中的排中律。例如：對(duì)于實(shí)數(shù)a，它或者是有理數(shù)，或者不是有理數(shù)（即無(wú)理數(shù)），這類互相排斥的情況，對(duì)一個(gè)具體研究對(duì)象來(lái)說(shuō)，二者必居其一，僅居其一，根據(jù)這一原則，若通過(guò)論證，當(dāng)某一方面的性質(zhì)被推翻無(wú)疑時(shí)，則另一方面的性質(zhì)就確實(shí)成立了。反證法的具體步驟：（1）反設(shè)：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)；（2）歸謬：由反設(shè)出發(fā)，推出與公理、定義、已知定理或題設(shè)相矛盾的結(jié)果；（3）作出結(jié)論：證明了反設(shè)不能成立，從而肯定了原來(lái)求證的結(jié)論不得不成立。反證法證題的特征是通過(guò)導(dǎo)出矛盾，歸結(jié)為謬誤，而使命題得證。因此，反證法也叫歸謬法。例設(shè)a,b,c都是奇數(shù)，求證：方程ax2+bx+c=0沒(méi)有有理根。證明（1）假設(shè)方程ax2+bx+c=0不是沒(méi)有有理根，則必存在有理數(shù)q/p(p、q互素）是方程的根。(2）由q/p是方程ax2+bx+c=0的根，可得a(q/p)2+b(q/p)+c=0，即由于q、p互素，因此，q、p的奇偶性只有以下兩種可能：（?。﹒、p都是奇數(shù)；（ⅱ）q、p一奇一偶。在（ⅰ）的情況下，考查（1）式左端。因?yàn)閍,b,c都是奇數(shù)，所以aq2+bqp+cp2是奇數(shù)。于是與右端為零相矛盾，因而（ⅰ）的情況不成立。同樣，在（ⅱ）的情況下也將導(dǎo)致同樣的矛盾。由此可知，假設(shè)存在有理根不合理，所以，方程沒(méi)有有理根，命題獲證。2反證法的邏輯反證法的應(yīng)用是很廣泛的，但究竟怎樣的命題的證明才適于用反證法，卻很難回答。這是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)問(wèn)題。從邏輯上來(lái)說(shuō)，凡是能用直接證法證明的命題，其證明過(guò)程都可以改寫成某種反證法的形式。但我們只對(duì)那些用直接證法難以下手的問(wèn)題轉(zhuǎn)而采用反證法來(lái)證明。2.1．有兩個(gè)問(wèn)題例1當(dāng)p1p2=2(p1+p2）時(shí)，試證方程多于x2+p1x+q1=0和x2+p2x+q2=0中，至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根。分析：“至少有一個(gè)”就是“有一個(gè)”，“有兩個(gè)”，……，然而很容易理解它的反面是“一個(gè)都沒(méi)有”，屬于存在性問(wèn)題，宜用反證法。證明（略）。說(shuō)明：遇到存在性問(wèn)題，作出與命題結(jié)論相反的假設(shè)時(shí)要認(rèn)真弄清題意。例如，“至少有三張”就是“有三張”，“有四張”，……，它的反面是“至多有二張”。2.2是否可以用反證法求解例2試證適合xy+yz+zx=1的實(shí)數(shù)x、y、z必不能滿足x+y+z=xyz。分析：已知條件xy+yz+zx=1是一個(gè)有無(wú)數(shù)組解的不定方程，要證實(shí)這些解都不滿足另一方程，顯然較困難，但如果把結(jié)論的反面與假設(shè)聯(lián)列成一個(gè)方程組，則只要說(shuō)明所得方程組無(wú)實(shí)數(shù)解就可以了，故可考慮用反證法。證明（略）。說(shuō)明：命題的結(jié)論中涉及到否定論斷時(shí)，因?yàn)樵俜穸礊榭隙?，?duì)于肯定的結(jié)論一般較好處理，故宜用反證法。采用反證法可把否定性的斷言轉(zhuǎn)化為某種肯定性的斷言，從而找到推理的途徑。因?yàn)?，我們所掌握的絕大部分概念、公理、定理、法則、公式等等都是肯定性的斷言，而運(yùn)用肯定性的斷言去推理一個(gè)命題要比運(yùn)用否定性的斷言去推證一個(gè)命題更直觀、容易。2.3．4.2相關(guān)條件例3若a、b、c都是正實(shí)數(shù)，且方程ax2+bx+c=0有實(shí)根，試證：a、b、c中至少有一個(gè)數(shù)不小于4/9(a+b+c）。分析：如直接證明，則要推出a≥4/9(a+b+c），或b≥4/9(a+b+c），或c≥4/9(a+b+c），情況比較復(fù)雜，需討論方面很多，而它的反面情況簡(jiǎn)單，故考慮用反證法。證明假設(shè)a、b、c均小于4/9(a+b+c），即可推出5a<4(b+c）(1)另由已知條件有b2-4ac≥0。(4)1)若b不是a,b,c中最大的一個(gè)正數(shù)，不失一般性，可設(shè)a≥b。由(4)得4c≤b2/a≤b，∴4c≤b。而由(1)可知4c>5a-4b≥a≥b，∴4c〉b，兩者矛盾，可知假設(shè)不成立。2)若b是a,b,c中最大的一個(gè)正數(shù)，則b>a,a>c，由(2)知b<4(a-b）+4c<4c，∴（b-4c）(b-c）<0，即b2-5bc+4c2<0。∴b2<5bc-4c2?！遙2≥4ac,∴4ac<5bc-4c2。則4(a+c)<5b與(2)矛盾。由1)、2)可知,假設(shè)不成立,原命題正確。2.4acb、bcd、acb、ab、bcd、acd、acd、bcd、bcd、aa、bcd、aa、bcd、bcd、aa、cd例4在凸四邊形ABCD中,若AB+BD≤AC+CD,試證:AB≤AC。分析:假設(shè)AB>AC,則∠ACB>∠ABC,又∵ABCD是凸多邊形,∴∠BCD>∠ACB,∠ABC>∠DBC,則∠BCD>∠DBC,BD>CD?！郃B+BD>AC+CD,與已知條件矛盾。假設(shè)錯(cuò)誤,從而AB≤AC.說(shuō)明：本題實(shí)質(zhì)上是證明逆否命題，這是反證法應(yīng)用范圍的一種常見情況.2.5質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)不是無(wú)限例5試證:存在無(wú)窮多個(gè)質(zhì)數(shù)。證明:設(shè)質(zhì)數(shù)只有n個(gè):P1,P2,…,Pn.取正整數(shù)N=P1P2…Pn.+1,N不能被這n個(gè)質(zhì)數(shù)中的任一個(gè)整除，因用這n個(gè)質(zhì)數(shù)。的任一個(gè)去除N,余數(shù)都是1.因此,或者N本身就是質(zhì)數(shù)(顯然N不等于P1,P2,…,Pn.中任一個(gè)),或者N還含有除這n個(gè)質(zhì)數(shù)外的質(zhì)因數(shù)p,這些都與質(zhì)數(shù)僅有n個(gè)的反設(shè)是矛盾的,故質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)不能是有限的,即是無(wú)限的。說(shuō)明：對(duì)于這類命題,如果從正面去討論一個(gè)無(wú)限的對(duì)象具有某種性質(zhì)其工程經(jīng)