【解析】海南省三亞華僑學校高三下學期開學測試數(shù)學試題

三亞華僑學校2019－2020學年第二學期高三年級開學摸底考試一、選擇題，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】試題分析：集合，集合，所以,故選D.考點：1、一元二次不等式；2、集合的運算.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用復數(shù)的運算法則計算得到答案.【詳解】.故選：A.【點睛】本題考查了復數(shù)的除法運算，屬于簡單題.：，，則為（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】直接利用全稱命題的否定定義得到答案.【詳解】命題：，，則為：，故選：【點睛】本題考查了全稱命題的否定，意在考查學生的推斷能力.圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的倍（縱坐標不變），再把所得圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的解析式為()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函數(shù)的圖象平移變換和伸縮變換的應用求出結(jié)果即可.【詳解】函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到的圖象，再把所得圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)f（x）＝的圖象.故選：A．【點睛】本題考查了函數(shù)圖象的平移和伸縮變換的應用，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎題．，都是實數(shù)，那么“”是“”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)和特殊值法依次判斷充分性和必要性得到答案.【詳解】當時，則，即；取，滿足，不滿足，故“”是“”的充分不必要條件.故選：B.【點睛】本題考查了充分不必要條件，意在考查學生的推斷能力.的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用特殊值及函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性進行排除，即可得到函數(shù)的圖象．【詳解】當x<0時，f（x）0．排除AC，f′（x），令g(x)g′（x），當x∈（0，2），g′（x）＞0，函數(shù)g(x)是增函數(shù)，當x∈（2，+∞），g′（x）＜0，函數(shù)g(x)是減函數(shù)，g(0)=，g(3)=3>0，g(4)=<0，存在，使得g()=0，且當x∈（0，），g(x)>0，即f′（x）＞0，函數(shù)f（x）是增函數(shù)，當x∈（，+∞），g(x)<0，即f′（x）＜0，函數(shù)f（x）是減函數(shù)，∴B不正確，故選D．【點睛】本題考查函數(shù)圖象的判斷，一般通過函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、對稱性、單調(diào)性、特殊點以及變化趨勢判斷．7.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，第九章“勾股”，講述了“勾股定理”及一些應用.直角三角形的兩直角邊與斜邊的長分別稱“勾”“股”“弦”，且“”.設是橢圓的左焦點，直線交橢圓于、兩點，若，恰好是的“勾”“股”，則此橢圓的離心率為()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】設是橢圓的右焦點，先證明四邊形是矩形，再分析得到，進一步化簡即得此橢圓的離心率.【詳解】如圖，設是橢圓的右焦點，因為線段與被點互相平分，且，所以四邊形是矩形.又，∴，∴是等邊三角形，由，∴，，∴，所以故選A【點睛】本題主要考查橢圓的定義及簡單幾何性質(zhì)，考查橢圓離心率的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計算能力.與曲線相切，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)，則函數(shù)的零點所在區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設切點為，根據(jù)切線方程得到，再利用零點存在定理結(jié)合函數(shù)單調(diào)性得到答案.【詳解】，，設切點為，則，解得，故，易知函數(shù)單調(diào)遞增，且，，故函數(shù)的零點在區(qū)間上.故選：A.【點睛】本題考查了函數(shù)的切線問題，零點問題，意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力，綜合應用能力.二.多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求，全部選對得5分，選對但不全的，得3分，有選錯的得0分）9.在下列函數(shù)中，最小正周期為的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】本題首先可以根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判斷出A正確，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判斷出B錯誤，最后根據(jù)周期的計算公式即可判斷出C正確以及D錯誤.【詳解】A項：因為函數(shù)的最小正周期為，所以函數(shù)的最小正周期為，A正確；B項：函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，在上不是周期函數(shù)，B錯誤；C項：，最小正周期為，C正確；D項：，最小正周期為，D錯誤，故選：AC.【點睛】本題考查三角函數(shù)周期的計算，考查對函數(shù)以及函數(shù)性質(zhì)的理解，考查根據(jù)三角函數(shù)解析式計算最小正周期，體現(xiàn)了基礎性，是簡單題.的右焦點與拋物線的焦點F重合，則（）A.雙曲線實軸長為2 B.雙曲線的離心率為3C.雙曲線的漸近線方程為 D.F到漸近線的距離為【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)拋物線焦點得到，得到雙曲線方程，再依次計算實軸長，離心率.，漸近線方程，點到直線的距離依次判斷每個選項得到答案.【詳解】拋物線的焦點，故，，故雙曲線方程為，雙曲線的實軸長為，A錯誤；雙曲線的離心率為，B錯誤；雙曲線的漸近線方程為，C正確；F到漸近線的距離為，D正確；故選：CD.【點睛】本題考查了拋物線方程焦點，雙曲線方程的離心率，漸近線，實軸長，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.,且如下結(jié)論正確的為（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】設，求導得到單調(diào)區(qū)間，畫出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象得到答案.【詳解】設，則，故時，，函數(shù)單調(diào)遞增，時，，函數(shù)單調(diào)遞減，時，，函數(shù)單調(diào)遞增，取，畫出函數(shù)圖象，如圖所示：根據(jù)圖象知：，，，故，.故選：BC.【點睛】本題考查了函數(shù)的零點問題，意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力，畫出圖象是解題的關(guān)鍵.是定義在上的函數(shù)，滿足，且對任意的，恒有，已知當時，，則有（）A.函數(shù)的最大值是1，最小值是B.函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為2C.函數(shù)在上遞減，在上遞增D.當時，【答案】AC【解析】【分析】首先可以根據(jù)判斷出函數(shù)是偶函數(shù)，然后根據(jù)判斷出函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，B錯誤，再然后根據(jù)當時即可得出當時最大值為、最小值為，A正確，再然后根據(jù)當時函數(shù)是增函數(shù)即可判斷出C正確，最后根據(jù)當時求出當時，D錯誤.【詳解】因為函數(shù)滿足，即，所以函數(shù)是偶函數(shù)，因為，所以函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，B錯誤，因為當時，，所以當時，函數(shù)是增函數(shù)，最大值為，最小值為，根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)可知當時最大值為、最小值為，根據(jù)函數(shù)是周期為的周期函數(shù)可知當時，最大值為，最小值為，A正確，因為當時，函數(shù)是增函數(shù)，所以當時，函數(shù)是減函數(shù)，所以根據(jù)函數(shù)周期為可知函數(shù)在上遞減，在上遞增，C正確，令，則，，故當，，令，則，，故當，，D錯誤，故選：AC.【點睛】本題考查函數(shù)的周期性以及奇偶性，考查根據(jù)函數(shù)的周期性以及奇偶性判斷函數(shù)單調(diào)性，考查根據(jù)函數(shù)的周期性以及奇偶性求出函數(shù)解析式，若函數(shù)滿足，則函數(shù)周期為，考查推理能力，體現(xiàn)了基礎性與綜合性，是中檔題.二.填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卷中的橫線上）.滿足，，則_______.【答案】【解析】【分析】將已知條件轉(zhuǎn)化為基本量a1，q的方程組，解方程組得到a1，q，進而可以得到an．【詳解】在正項等比數(shù)列中，，，得，解得，∴an＝＝3?3n﹣1＝3n.故答案為：3n【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式，主要考查計算能力，屬于基礎題．14.某校高一、高二、高三年級學生人數(shù)分別是、、，若采用分層抽樣的方法抽取人，參加學校舉行的社會主義核心價值觀知識競賽，則樣本中高三年級的人數(shù)是_______.【答案】14【解析】【分析】本題首先可根據(jù)題意得出三個年級的總?cè)藬?shù)，然后結(jié)合樣本總數(shù)為以及分層抽樣的相關(guān)性質(zhì)即可得出結(jié)果.【詳解】因為高一、高二、高三年級學生人數(shù)分別是、、，所以共有人，因為采用分層抽樣的方法抽取人，所以樣本中高三年級的人數(shù)是人，故答案為.【點睛】本題考查分層抽樣的相關(guān)性質(zhì)，考查根據(jù)分層抽樣確定樣本中滿足題意的對象的數(shù)目，考查計算能力，是簡單題.，滿足：，，則與的夾角＝___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)模長得到，再利用向量的夾角公式計算，得到答案.【詳解】，則，故，，故，，故.故答案為：.【點睛】本題考查了向量的模，向量的夾角，意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.，直線與圓交于，兩點，，則_________，分別過，兩點作直線的垂線交軸于，兩點，則_______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】，利用垂徑定理,可求得的值；平移線段至，根據(jù)的斜率得，在中可求.【詳解】解：由，可得圓心，半徑，設圓心到直線距離為，則，由垂徑定理可得，，解得，所以，直線的方程，其傾斜角或，當直線的傾斜角為時，過作于，垂足，則，.當直線的傾斜角為時，同理可求，故答案為：；.【點睛】本題考查利用垂徑定理求參數(shù)，解直角三角形求線段長度，考查運算求解能力；是基礎題.三.解答題（本大題共6個小題，共70分，解答應寫出文字說明.證明過程或演算步驟）.17.如圖，已知四棱錐中，四邊形為矩形，，，.（1）求證：平面；（2）設，求平面與平面所成的二面角的正弦值.【答案】（1）見證明；（2）【解析】【分析】（1）證明BC平面SDC，即可證得AD平面SDC，即可證得SCAD，利用SC2+SD2=DC2證得SCSD，問題得證．（2）以點O為原點，建立坐標系如圖，求得S(0,0,),C(0，,0),A(2，,0),B(2，,0)，利用即可求得E(2,,0)，求得，，利用空間向量夾角公式計算即可得解．【詳解】（1）證明：BCSD，BCCD則BC平面SDC,又則AD平面SDC，平面SDCSCAD又在△SDC中，SC=SD=2,DC=AB，故SC2+SD2=DC2則SCSD，又所以SC平面SAD（2）解：作SOCD于O，因BC平面SDC,所以平面ABCD平面SDC，故SO平面ABCD以點O為原點，建立坐標系如圖.則S(0,0,),C(0，,0),A(2，,0),B(2，,0)設E(2,y,0),因所以即E((2,,0)令，則，，令，則，所以所求二面角的正弦值為【點睛】本題主要考查了線面垂直的證明，還考查了面面垂直的性質(zhì)及轉(zhuǎn)化能力，考查空間思維能力及空間向量數(shù)乘的坐標運算，還考查了利用空間向量求二面角的正弦值，考查計算能力，屬于中檔題．的每一項都是正數(shù)，，且對所有的正整數(shù)恒成立.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）是以為首項4為公比的等比數(shù)列，計算得到答案.（2），利用錯位相減法計算得到答案.【詳解】（1）∵，所以是以為首項4為公比的等比數(shù)列，∵，∴，且的每一項都是正數(shù)，∴.（2），，，兩式相減得到：，化簡整理得.【點睛】本題考查了求數(shù)列的通項公式，錯位相減法求和，意在考查學生對于數(shù)列公式方法的綜合應用.19.（理）某學校高一年級學生某次身體素質(zhì)體能測試的原始成績采用百分制，已知所有這些學生的原始成績均分布在內(nèi)，發(fā)布成績使用等級制各等級劃分標準見下表，規(guī)定：三級為合格等級，為不合格等級.百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等級為了解該校高一年級學生身體素質(zhì)情況，從中抽取了名學生的原始成績作為樣本進行統(tǒng)計，按照的分組作出頻率分布直方圖如圖所示，樣本中分數(shù)在80分及以上的所有數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示.，

（1）求和頻率分布直方圖中的的值；

（2）根據(jù)樣本估計總體的思想，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率，若在該校高一學生任選3人，求至少有1人成績是合格等級的概率；（3）在選取的樣本中，從兩個等級的學生中隨機抽取了3名學生進行調(diào)研，記表示所抽取的名學生中為等級的學生人數(shù)，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望.【答案】（1）；，（2）（3）分布列見解析，期望【解析】【分析】1）根據(jù)莖葉圖得人數(shù)，再根據(jù)頻率分布直方圖得概率，最后根據(jù)頻數(shù)、總數(shù)與頻率關(guān)系得根據(jù)莖葉圖得人數(shù)，根據(jù)頻數(shù)、總數(shù)與頻率關(guān)系得概率，最后根據(jù)頻率分布直方圖求根據(jù)所有頻率和為1得概率，再根據(jù)頻率分布直方圖頻率求（2）先求無合格等級的事件概率，再根據(jù)對立事件求結(jié)果，（3）先確定隨機變量取法，再分別求對應概率，列表得分布列，最后根據(jù)數(shù)學期望公式求結(jié)果.【詳解】（1）；，（2）設至少有1人成績是合格等級的事件為（3）由題意可知等級的學生人數(shù)為人，等級的學生人數(shù)為3人，故的取值為，，，.所以的分布列為：【點睛】求解離散型隨機變量的數(shù)學期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，第二步是“探求概率”，第三步是“寫分布列”，第四步是“求期望值”.，其中，.若函數(shù)的最小正周期為.（1）求的值；（2）在中，若，，，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先化簡，然后利用周期求；（2）先利用求出，再利用正弦定理求出，利用余弦定理求出，從而求出答案.【詳解】（1）向量，，則，因為，所以，；（2）因為，且，所以，解得，又因為，且，所以，因為，即，解得，所以.【點睛】本題綜合向量考查了三角函數(shù)以及解三角形，屬于中檔題.此類問題綜合性較強，涉及知識點較多，需要學生對基礎知識熟練掌握且能靈活運用.為拋物線的焦點，過的動直線交拋物線于，兩點．當直線與軸垂直時，．（1）求拋物線的方程；（2）設直線的斜率為1且與拋物線的準線相交于點，拋物線上存在點使得直線，，的斜率成等差數(shù)列，求點的坐標．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由題意可得，即可求出拋物線的方程，（2）設直線的方程為，聯(lián)立消去，得，根據(jù)韋達定理結(jié)合直線，，的斜率成等差數(shù)列，即可求出點的坐標【詳解】解：（1）因為，在拋物線方程中，令，可得．于是當直線與軸垂直時，，解得．所以拋物線的方程為．（2）因為拋物線的準線方程為，所以．設直線的方程為，聯(lián)立消去，得．設，，，，則，．若點，滿足條件，則，即，因為點，，均在拋物線上，所以．代入化簡可得，將，代入，解得．將代入拋物線方程，可得．于是點為滿足題意的點．【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查數(shù)列與解析幾何的綜合，考查直線的斜率，屬于中檔題．．（1）當時，求函數(shù)的極小值；（2）當時，討論的單調(diào)性；（3）若函數(shù)在區(qū)