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文檔簡介

§1向量的內積、長度及正交性

一、內積的定義及性質定義:n維向量的內積內積的性質:

二、向量的長度及性質定義:n維向量x的長度(或范數)長度的性質:

長度為1的向量叫單位向量;

任意一個非零向量x,此外向量的內積滿足Schwarz不等式:

于是對非零向量x,y,定義x與y的夾角

三、正交向量組的概念及求法

當[x,y]=0時,稱向量x與y正交;特別地,零向量與任何向量都正交.

一組兩兩正交的非零向量構成的向量組稱為正交向量組.定理:正交向量組必線性無關.

在實際應用中,常以正交向量組作為向量空間的基,叫做向量空間的正交基;

而由單位向量構成的正交基叫做規(guī)范正交基(或標準正交基).例:

已知R3中兩個正交向量構成R3的一個正交基.解:四、規(guī)范正交基的求法(1)先使用Schimidt正交化法正交化:(2)再單位化,取例

用施密特正交化方法,將向量組正交規(guī)范化.解:

先正交化,取續(xù)解:已正交化得再單位化得規(guī)范正交向量組五、正交矩陣與正交變換定義:

n階方陣A滿足AT

A=E(即A-1

=AT

),則稱A為正交矩陣(簡稱為正交陣

).

方陣A為正交矩陣的充要條件是A的列(行)向量都是單位向量且兩兩正交.正交矩陣的性質:設A,B為n階正交矩陣,則(1)

A-1

=AT

也為正交矩陣

,且|A|=1或-1.(2)

AB也為正交矩陣.定義:

若P為正交陣,則線性變換y=Px

稱為正交變換.正交變換的性質:(1)正交變換可逆,且其逆變換也是正交變換.(2)正交變換保持向量的內積及長度不變.例:判別矩陣A=是否為正交陣?解:只需驗證

AT

A是否等于E?由于所以A是正交矩陣.例:設實對稱陣A滿足

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