第10講：向量的內(nèi)積與正交矩陣課件

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§1向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性

一、內(nèi)積的定義及性質(zhì)定義:n維向量的內(nèi)積內(nèi)積的性質(zhì):

二、向量的長(zhǎng)度及性質(zhì)定義:n維向量x的長(zhǎng)度(或范數(shù))長(zhǎng)度的性質(zhì)：

長(zhǎng)度為1的向量叫單位向量;

任意一個(gè)非零向量x,此外向量的內(nèi)積滿足Schwarz不等式:

于是對(duì)非零向量x,y,定義x與y的夾角

三、正交向量組的概念及求法

當(dāng)[x,y]=0時(shí),稱向量x與y正交;特別地,零向量與任何向量都正交.

一組兩兩正交的非零向量構(gòu)成的向量組稱為正交向量組．定理:正交向量組必線性無(wú)關(guān)．

在實(shí)際應(yīng)用中,常以正交向量組作為向量空間的基，叫做向量空間的正交基;

而由單位向量構(gòu)成的正交基叫做規(guī)范正交基(或標(biāo)準(zhǔn)正交基).例:

已知R3中兩個(gè)正交向量構(gòu)成R3的一個(gè)正交基.解：四、規(guī)范正交基的求法(1)先使用Schimidt正交化法正交化:（2）再單位化，取例

用施密特正交化方法，將向量組正交規(guī)范化.解:

先正交化，取續(xù)解:已正交化得再單位化得規(guī)范正交向量組五、正交矩陣與正交變換定義:

若

n階方陣A滿足AT

A=E(即A－1

=AT

),則稱A為正交矩陣(簡(jiǎn)稱為正交陣

方陣A為正交矩陣的充要條件是A的列（行）向量都是單位向量且兩兩正交．正交矩陣的性質(zhì):設(shè)A,B為n階正交矩陣,則(1)

A－1

=AT

也為正交矩陣

,且|A|=1或－1.(2)

AB也為正交矩陣.定義:

若P為正交陣,則線性變換y=Px

稱為正交變換.正交變換的性質(zhì):(1)正交變換可逆，且其逆變換也是正交變換.(2)正交變換保持向量的內(nèi)積及長(zhǎng)度不變．例：判別矩陣A=是否為正交陣？解：只需驗(yàn)證

A是否等于E？由于所以A是正交矩陣.例：設(shè)實(shí)對(duì)稱陣A滿足

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