專題03圓（考點(diǎn)清單3考點(diǎn)8題型）

專題03圓（考點(diǎn)清單）考點(diǎn)一圓【考試題型1】理解圓的相關(guān)概念【解題方法】1）圓的概念（靜態(tài)）：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓.其中，固定的端點(diǎn)O叫做圓心.線段OA叫做半徑,一般用r表示.以點(diǎn)O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”.圓的概念（動(dòng)態(tài)）：圓心為O、半徑為r的圓可以看成是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)組成的圖形.2）弦的概念：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段（如圖AC）叫做弦.經(jīng)過(guò)圓心的弦（如圖中的AB）叫做直徑.⌒3）弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧的概念：⌒圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧．以A、B為端點(diǎn)的弧記作AB，讀作“圓弧AB”或“弧AB”.⌒圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成的兩條弧，每一條弧都叫做半圓.⌒⌒小于半圓的?。ㄈ鐖D中的AB）叫做劣弧⌒大于半圓的?。ㄓ萌齻€(gè)字母表示，如圖中的ACB）叫做優(yōu)弧.4）同心圓的概念：圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓.等圓的概念：能夠互相重合的兩個(gè)圓叫做等圓.5）等弧的概念：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧.【典例1】（2023秋·河北保定·九年級(jí)統(tǒng)考期末）下列說(shuō)法：（1）長(zhǎng)度相等的弧是等弧；（2）相等的圓周角所對(duì)的弧相等；（3）劣弧一定比優(yōu)弧短；（4）直徑是圓中最長(zhǎng)的弦．其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】利用等弧的定義、圓周角定理、弧的定義及弦的定義分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【詳解】解：（1）長(zhǎng)度相等的弧不一定是等弧，弧的度數(shù)必須相同，故錯(cuò)誤；（2）同圓或等圓中相等的圓心角所對(duì)的弧相等，故錯(cuò)誤；（3）同圓或等圓中劣弧一定比優(yōu)弧短，故錯(cuò)誤；（4）直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，正確，綜上所述，四個(gè)說(shuō)法中正確的只有1個(gè)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查圓中有關(guān)定義，能夠熟練掌握?qǐng)A的有關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)11】（2022春·山東聊城·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列說(shuō)法：①直徑是弦；②弦是直徑；③半徑相等的兩個(gè)半圓是等弧；④長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧；⑤半圓是弧，但弧不一定是半圓．正確的說(shuō)法有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】利用圓的有關(guān)定義及性質(zhì)分別進(jìn)行判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【詳解】①直徑是弦，正確，符合題意；②弦不一定是直徑，錯(cuò)誤，不符合題意；③半徑相等的兩個(gè)半圓是等弧，正確，符合題意；④能夠完全重合的兩條弧是等弧，原命題錯(cuò)誤，不符合題意；⑤半圓是弧，但弧不一定是半圓，正確，符合題意；正確的有3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)及圓的有關(guān)定義，解題的關(guān)鍵是了解圓的有關(guān)概念，難度不大．【專訓(xùn)12】（2022秋·河北邢臺(tái)·九年級(jí)金華中學(xué)?？计谥校┫铝姓f(shuō)法正確的是（

）A．過(guò)圓心的線段是直徑 B．面積相等的圓是等圓C．兩個(gè)半圓是等弧 D．相等的圓心角所對(duì)的弧相等【答案】B【分析】根據(jù)圓的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：A.過(guò)圓心且兩個(gè)端點(diǎn)在圓上的線段是直徑，故該選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；B.面積相等的圓，則半徑相等，是等圓，故該選項(xiàng)說(shuō)法正確；C.同圓或等圓中兩個(gè)半圓是等弧，故該選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；D.同圓或等圓中相等的圓心角所對(duì)的弧相等，故說(shuō)法說(shuō)法錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的基本知識(shí)，熟知圓的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)13】（2020秋·廣東惠州·九年級(jí)惠州市惠陽(yáng)區(qū)第一中學(xué)?？计谥校┫铝信袛嗾_的個(gè)數(shù)有（

）①直徑是圓中最大的弦；②長(zhǎng)度相等的兩條弧一定是等?。虎郯霃较嗟鹊膬蓚€(gè)圓是等圓；④弧分優(yōu)弧和劣弧；⑤同一條弦所對(duì)的兩條弧一定是等弧．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【詳解】①直徑是圓中最大的弦；故①正確，②同圓或等圓中長(zhǎng)度相等的兩條弧一定是等??；故②不正確③半徑相等的兩個(gè)圓是等圓；故③正確④弧分優(yōu)弧、劣弧和半圓，故④不正確⑤同一條弦所對(duì)的兩條弧可位于弦的兩側(cè)，故不一定相等，則⑤不正確．綜上所述，正確的有①③故選B【點(diǎn)睛】本題考查了圓相關(guān)概念，掌握弦與弧的關(guān)系以及相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．【考試題型2】圓的周長(zhǎng)與面積問(wèn)題【解題方法】若圓的半徑為r,則圓的周長(zhǎng)=2πr，圓的面積=πr2【典例2】（2022秋·山東煙臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）東漢初年，我國(guó)的《周髀算經(jīng)》里就有“徑一周三”的古率，提出了圓的直徑與周長(zhǎng)之間存在一定的比例關(guān)系．將圖中的半圓弧形鐵絲MN向右水平拉直（保持M端不動(dòng)）．根據(jù)該古率，與拉直后鐵絲N端的位置最接近的是（

）A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C D．點(diǎn)D【答案】A【分析】根據(jù)“徑一周三”的古率計(jì)算出半圓的周長(zhǎng)即可．【詳解】解：∵半圓的直徑是1，∴由“徑一周三”知圓的周長(zhǎng)，∴半圓的周長(zhǎng)為32∴拉直后鐵絲N端的位置最接近的是點(diǎn)A，故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了閱讀與推理，解答此題的關(guān)鍵是讀懂題意．【專訓(xùn)21】如果一個(gè)圓的半徑由1厘米增加到2厘米．那么這個(gè)圓的周長(zhǎng)增加了（

）A．厘米 B．2π厘米 C．8π厘米 D．4π厘米【答案】B【分析】圓的周長(zhǎng)計(jì)算公式是C=2πR，如果半徑增加n厘米，根據(jù)周長(zhǎng)的計(jì)算公式可知周長(zhǎng)增加2nπ，列式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：（21）×2×π=2π（厘米）．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查圓的周長(zhǎng)的計(jì)算，在圓中，如果是圓的半徑增加n,則其周長(zhǎng)增加2nπ，周長(zhǎng)增加的值與原來(lái)圓的半徑大小無(wú)關(guān)．【專訓(xùn)22】（2021秋·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，小明順著大半圓從A地到B地，小紅順著兩個(gè)小半圓從A地到B地，設(shè)小明，小紅走過(guò)的路程分別為a，b，則a與b的大小關(guān)系是（

）A．a(chǎn)=b B．a(chǎn)<b C．a(chǎn)>b D．不能確定【答案】A【分析】根據(jù)圖形，得兩個(gè)小半圓的直徑之和等于大半圓的直徑之和，則根據(jù)圓周長(zhǎng)公式，得二人所走的路程相等．【詳解】解：設(shè)小明走的半圓的半徑是R．則小明所走的路程是πR．設(shè)小紅所走的兩個(gè)半圓的半徑分別是r1與r則r1小紅所走的路程是πr∴a=b，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)，注意計(jì)算兩個(gè)小半圓的直徑之和是大于半圓的直徑．【專訓(xùn)23】（2020秋·河南信陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一塊直徑為a＋b的圓形鋼板，從中挖去直徑分別為a與b的兩個(gè)圓，則剩余陰影部分面積為(

)A．a(chǎn)b2 B．πa-b24 C．【答案】C【分析】用大圓的面積減去兩小圓面積即可.【詳解】陰影部分面積為π(a+b故選C.【點(diǎn)睛】此題主要考查整式的乘法公式，解題的關(guān)鍵是熟知圓的面積求法.【專訓(xùn)24】（2022秋·湖南永州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）某公園計(jì)劃砌一個(gè)形狀如圖（1）所示的噴水池，后來(lái)有人建議改為圖（2）的形狀，且外圓的直徑不變，噴水池邊沿的寬度、高度不變，你認(rèn)為砌噴水池的邊沿（

）A．圖（1）需要的材料多 B．圖（2）需要的材料多C．圖（1）、圖（2）需要的材料一樣多 D．無(wú)法確定【答案】C【分析】根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式，將每個(gè)圓的周長(zhǎng)計(jì)算出來(lái)，找到和周長(zhǎng)L的關(guān)系即可．【詳解】設(shè)大圓的直徑是D，圖（2）中三個(gè)小圓的直徑分別為：d1,d2,d3,∴d1+d2+d3=D根據(jù)圓周長(zhǎng)公式，得圖（1）中，需要2πD；圖（2）中，需要πD+πd1+πd2+πd3=πD+π(d1+d2+d3)=2πD故選：C．【點(diǎn)睛】注意：第二個(gè)圖中，計(jì)算三個(gè)小圓的周長(zhǎng)時(shí)候，提取π，所有的直徑之和是大圓的直徑．考點(diǎn)二點(diǎn)和圓的位置關(guān)系【考試題型3】判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系【解題方法】設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP=d，則有：1）d＜r<=>點(diǎn)P在⊙O內(nèi)2）d=r<=>點(diǎn)P在⊙O上3）d＞r<=>點(diǎn)P在⊙O外【典例3】（2022秋·江蘇蘇州·九年級(jí)期中）已知⊙O的半徑為3，平面內(nèi)有一點(diǎn)到圓心O的距離為5，則此點(diǎn)可能是（

）A．P點(diǎn) B．Q點(diǎn) C．M點(diǎn) D．N點(diǎn)【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)到圓心O的距離大于半徑，可判定出點(diǎn)在圓外，即可得到答案．【詳解】解：∵平面內(nèi)有一點(diǎn)到圓心O的距離為5，5>3．∴該點(diǎn)在圓外，∴點(diǎn)N符合要求．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，當(dāng)點(diǎn)到圓心的距離小于半徑的長(zhǎng)時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)；當(dāng)點(diǎn)到圓心的距離等于半徑的長(zhǎng)時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)點(diǎn)到圓心的距離大于半徑的長(zhǎng)時(shí)，點(diǎn)在圓外．【專訓(xùn)31】在數(shù)軸上，點(diǎn)A所表示的實(shí)數(shù)為3，點(diǎn)B所表示的實(shí)數(shù)為a，⊙A的半徑為2，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．當(dāng)a＜5時(shí)，點(diǎn)B在⊙A內(nèi) B．當(dāng)1＜a＜5時(shí)，點(diǎn)B在⊙A內(nèi)C．當(dāng)a＜1時(shí)，點(diǎn)B在⊙A外 D．當(dāng)a＞5時(shí)，點(diǎn)B在⊙A外【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)軸以及圓的半徑可得當(dāng)d=r時(shí)，⊙A與數(shù)軸交于兩點(diǎn)：1、5，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離與半徑比較即可求得點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而逐項(xiàng)分析判斷即可【詳解】解：∵圓心A在數(shù)軸上的坐標(biāo)為3，圓的半徑為2，∴當(dāng)d=r時(shí)，⊙A與數(shù)軸交于兩點(diǎn)：1、5，故當(dāng)a=1、5時(shí)點(diǎn)B在⊙A上；當(dāng)d＜r即當(dāng)1＜a＜5時(shí)，點(diǎn)B在⊙A內(nèi)；當(dāng)d＞r即當(dāng)a＜1或a＞5時(shí)，點(diǎn)B在⊙A外．由以上結(jié)論可知選項(xiàng)B、C、D正確，選項(xiàng)A錯(cuò)誤．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)32】（2013秋·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）矩形ABCD中，AB＝8，BC=35，點(diǎn)P在邊AB上，且BP＝3AP，如果圓P是以點(diǎn)P為圓心，PD為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（A．點(diǎn)B、C均在圓P外； B．點(diǎn)B在圓P外、點(diǎn)C在圓P內(nèi)；C．點(diǎn)B在圓P內(nèi)、點(diǎn)C在圓P外； D．點(diǎn)B、C均在圓P內(nèi)．【答案】C【詳解】∵AB=8，點(diǎn)P在邊AB上，且BP=3AP∴AP=2，∴根據(jù)勾股定理得出，r=PD=(35)PC=PB2∵PB=6＜r，PC=9＞r∴點(diǎn)B在圓P內(nèi)、點(diǎn)C在圓P外,故選C．【點(diǎn)睛】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定，難度系數(shù)中等，此題應(yīng)根據(jù)點(diǎn)與圓心之間的距離和圓的半徑的大小關(guān)系作出判斷【專訓(xùn)33】（2022秋·江蘇蘇州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm．若以點(diǎn)B為圓心，以4cm長(zhǎng)為半徑作OB，則下列選項(xiàng)中的各點(diǎn)在⊙B外的是（

）A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C D．點(diǎn)D【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理求出BD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出點(diǎn)A，C，D與⊙B的位置關(guān)系．【詳解】解：連接BD，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∵∠B＝90°，∴BD=AB∵AB＝3＜4，BD＝5＞4，BC＝4，∴點(diǎn)D在⊙B外，點(diǎn)C在⊙B上，點(diǎn)A在⊙B內(nèi)．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，矩形的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有：①如果點(diǎn)P在圓外，那么d＞r；②如果點(diǎn)P在圓上，那么d＝r；③如果點(diǎn)P在圓內(nèi)，那么d＜r．反之也成立．【考試題型4】利用點(diǎn)和圓的位置關(guān)系求半徑【解題方法】同上【典例4】（2022秋·河南駐馬店·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4．以點(diǎn)A為圓心，r為半徑作圓，當(dāng)點(diǎn)C在⊙A內(nèi)且點(diǎn)B在⊙A外時(shí)，r的值可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】先利用勾股定理可得AC=3，再根據(jù)“點(diǎn)C在⊙A內(nèi)且點(diǎn)B在⊙A外”可得3<r<5，由此即可得出答案．【詳解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4，∴AC=A∵點(diǎn)C在⊙A內(nèi)且點(diǎn)B在⊙A外，∴AC<r<AB，即3<r<5，觀察四個(gè)選項(xiàng)可知，只有選項(xiàng)C符合，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，熟練掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解題關(guān)鍵．【專訓(xùn)41】（2022秋·福建福州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知OA=4，以O(shè)為圓心，r為半徑作⊙O．若使點(diǎn)A在⊙O內(nèi)，則r的值可以是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)A與⊙O的位置關(guān)系確定點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑大小即可．【詳解】∵已知OA＝4，以O(shè)為圓心，r為半徑作⊙O．若使點(diǎn)A在⊙O內(nèi)，∴點(diǎn)A到圓心的距離應(yīng)該小于圓的半徑，∴圓的半徑應(yīng)該大于4．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是了解圓的位置關(guān)系與點(diǎn)與圓心的距離及半徑的大小關(guān)系，難度不大．【專訓(xùn)42】（2022秋·黑龍江綏化·九年級(jí)統(tǒng)考期末）一個(gè)點(diǎn)到圓的最大距離為11cm，最小距離為5cm，則圓的半徑為(

)A．16cm或6cm B．3cm或8cm C．3cm D．8cm【答案】B【分析】最大距離與最小距離的和是直徑；當(dāng)點(diǎn)P在圓外時(shí)，點(diǎn)到圓的最大距離與最小距離的差是直徑，由此得解．【詳解】當(dāng)點(diǎn)P在圓內(nèi)時(shí)，最近點(diǎn)的距離為5cm，最遠(yuǎn)點(diǎn)的距離為11cm，則直徑是16cm，因而半徑是8cm；當(dāng)點(diǎn)P在圓外時(shí)，最近點(diǎn)的距離為5cm，最遠(yuǎn)點(diǎn)的距離為11cm，則直徑是6cm，因而半徑是3cm；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，利用線段的和差得出直徑是解題關(guān)鍵，分類討論，以防遺漏．【專訓(xùn)43】（2022秋·江蘇南通·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在數(shù)軸上，點(diǎn)A所表示的實(shí)數(shù)為4，點(diǎn)B所表示的實(shí)數(shù)為b，⊙A的半徑為2，要使點(diǎn)B在⊙A內(nèi)時(shí)，實(shí)數(shù)b的取值范圍是（）A．b>2 B．b>6 C．b<2或b>6 D．2<b<6【答案】D【分析】要使點(diǎn)B在⊙A內(nèi)，則AB<2，即b-4<2【詳解】解：要使點(diǎn)B在⊙A內(nèi)，則AB<2，即b-4解得2<b<6，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過(guò)來(lái)已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．考點(diǎn)三垂徑定理【考試題型5】利用垂徑定理求值【解題方法】見(jiàn)弦常作弦心距，連接半徑，構(gòu)造直角三角形用勾股定理求解【典例5】（2022秋·山西忻州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知⊙O的直徑CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，且AB=8cm，則AC的長(zhǎng)為（A．25cm B．C．25cm或45cm D【答案】C【分析】先畫(huà)好一個(gè)圓，標(biāo)上直徑CD，已知AB的長(zhǎng)為8cm，可知分為兩種情況，第一種情況AB與OD相交，第二種情況AB與OC相交，利用勾股定理即可求出兩種情況下的AC的長(zhǎng)；【詳解】連接AC，AO，∵圓O的直徑CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=12AB=12×8=4cm，OD=OC當(dāng)C點(diǎn)位置如圖1所示時(shí)，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM=OA2∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴AC=AM2當(dāng)C點(diǎn)位置如圖2所示時(shí)，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5?3=2cm，在Rt△AMC中，AC=AM2故選C．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理和勾股定理，根據(jù)題意正確畫(huà)出圖形進(jìn)行分類討論，熟練運(yùn)用垂徑定理是解決本題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)51】（2022秋·遼寧大連·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，AB⊥CD于E，AB＝8，OD＝5，則CE的長(zhǎng)為（

）A．4 B．2 C．2 D．1【答案】B【分析】連接OA，如圖，先根據(jù)垂徑定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股定理計(jì)算出OE＝3，然后計(jì)算OC﹣OE即可．【詳解】解：連接OA，如圖，∵AB⊥CD，∴AE＝BE=12AB＝在Rt△OAE中，OE=OA∴CE＝OC﹣OE＝5﹣3＝2．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。部疾榱斯垂啥ɡ?，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)52】（2022秋·黑龍江綏化·九年級(jí)?？计谀c(diǎn)P是⊙O內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的最長(zhǎng)弦的長(zhǎng)為10cm，最短弦的長(zhǎng)為6cm，則OP的長(zhǎng)為（A．3cm B．4cm C．5cm【答案】B【分析】根據(jù)直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，知該圓的直徑是10cm；最短弦即是過(guò)點(diǎn)P且垂直于過(guò)點(diǎn)P的直徑的弦；根據(jù)垂徑定理即可求得CP的長(zhǎng)，再進(jìn)一步根據(jù)勾股定理，可以求得OP的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖所示，CD⊥AB于點(diǎn)P．根據(jù)題意，得AB=10cm，CD=6cm．∴OC=5，CP=3∵CD⊥AB，∴CP=12CD=3cm根據(jù)勾股定理，得OP=OC2故選B．【點(diǎn)睛】此題綜合運(yùn)用了垂徑定理和勾股定理．正確理解圓中，過(guò)一點(diǎn)的最長(zhǎng)的弦和最短的弦．【專訓(xùn)53】（2022秋·云南曲靖·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為點(diǎn)E，連接AC，∠CAB=22.5°，AB=12，則CD的長(zhǎng)為（）A．32 B．6 C．62 D．63【答案】C【分析】連接OC，求出∠COB=45°，根據(jù)垂徑定理求出CD=2CE，根據(jù)勾股定理求出CE即可．【詳解】解：連接OC，則OC=12AB=12×12=6∵OA=OC，∠CAB=22.5°，∴∠CAB=∠ACO=22.5°，∴∠COB=∠CAB+∠ACO=45°，∵AB⊥CD，AB為直徑，∴CD=2CE，∠CEO=90°，∴∠OCE=∠COB=45°，∴OE=CE，∵CE2+OE2=OC2，∴2CE2=62，解得：CE=32，即CD=2CE=62，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的外角性質(zhì)，垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)，能求出CE=OE是解此題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)54】（2022秋·安徽滁州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在⊙O中，AE是直徑，半徑OC垂直于弦AB于D，連接BE，若AB=27，CD=1，則BE的長(zhǎng)是()A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根據(jù)垂徑定理求出AD,根據(jù)勾股定理列式求出半徑，根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算即可．【詳解】解：∵半徑OC垂直于弦AB，∴AD=DB=12AB=7在Rt△AOD中，OA2=(OCCD)2+AD2,即OA2=(OA1)2+(7)2，解得，OA=4∴OD=OCCD=3，∵AO=OE,AD=DB,∴BE=2OD=6故選B【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直徑平分這條弦是解題的關(guān)鍵【專訓(xùn)55】（2022秋·浙江紹興·九年級(jí)校聯(lián)考期中）圓的半徑為13cm，兩弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，則兩弦AB和CD的距離是（

）A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm【答案】D【分析】分AB、CD在圓心的同側(cè)和異側(cè)兩種情況，根據(jù)垂徑定理和勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】第一種情況：兩弦在圓心的一側(cè)時(shí)，∵CD=10cm，OE⊥CD，∴DE=1∵圓的半徑為13cm，∴OD=13cm，∴利用勾股定理可得：OE=O同理可求OF=5cm，∴EF=OEOF=12cm5cm=7cm；第二種情況：只是EF=OE+OF=17cm．其它和第一種一樣；綜上分析可知，兩弦之間的距離為7cm或17cm，故D正確．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理及勾股定理的應(yīng)用，靈活運(yùn)用定理、注意分AB、CD在圓心的同側(cè)和異側(cè)兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．【考試題型6】垂徑定理推論【解題方法】垂徑定理及其推論實(shí)質(zhì)是指一條直線滿足：（1）過(guò)圓心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所對(duì)的優(yōu)?。?）平分弦所對(duì)的劣弧五個(gè)條件中的兩個(gè)，那么可推出其中三個(gè)，解題過(guò)程中應(yīng)靈活運(yùn)用該定理。

【口訣】垂徑定理五條件，一個(gè)垂直三平分；一條直線過(guò)圓心，知二明三把理明；平分弦時(shí)要謹(jǐn)慎，此弦不可為直徑；兩條直徑都平分，哪能啥時(shí)都垂直?！镜淅?】（2022秋·福建廈門·九年級(jí)廈門市蓮花中學(xué)校考期中）如圖，BC為⊙O直徑，交弦AD于點(diǎn)E，若E點(diǎn)為AD中點(diǎn)，則說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．AD⊥BC B．AB=BD C．AC=CD D．OE=BE【答案】D【分析】根據(jù)垂徑定理的推論和垂徑定理進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：如圖，連接AB,BD，∵BC為⊙O直徑，E點(diǎn)為AD中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴AB=BD，∴AB=BD，AC=CD故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用垂徑定理及推論進(jìn)行證明推導(dǎo)．【專訓(xùn)61】（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)寧波市第十五中學(xué)?？计谥校┤鐖D，⊙O的半徑為5，C是弦AB的中點(diǎn)，OC＝3，則AB的長(zhǎng)是（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】根據(jù)垂徑定理得AB=2BC，∠OCB=90°，利用勾股定理求出BC即可得到答案．【詳解】解：∵C是弦AB的中點(diǎn)，∴AB=2BC，∠OCB=90°，∵OC2+BC2=OB2，∴BC=O∴AB=8，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了圓的垂徑定理的推論，勾股定理，熟記圓的垂徑定理推論是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)62】（2022秋·遼寧營(yíng)口·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC=42°，點(diǎn)D是弦AC的中點(diǎn)，則∠DOC的度數(shù)是（

）．A．48° B．45° C．42° D．36°【答案】A【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠OCA=∠BAC=42°，由垂徑定理得OD⊥AC，求出∠ODC=90°，即可求出答案．【詳解】解：∵OA=OC,∠BAC=42°，∴∠OCA=∠BAC=42°，∵點(diǎn)D是弦AC的中點(diǎn)，∴OD⊥AC，∴∠ODC=90°，∴∠DOC=90°-42°=48°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．【考試題型7】利用垂徑定理解決實(shí)際生活問(wèn)題【解題方法】見(jiàn)弦常作弦心距，連接半徑，構(gòu)造直角三角形用勾股定理求解【典例7】（2022秋·山東濱州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）往直徑為52cm的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬AB=48cm，則水的最大深度為（

）A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，連接OA，根據(jù)垂徑定理即可求得AD的長(zhǎng)，又由⊙O的直徑為52cm，求得OA的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理，即可求得OD的長(zhǎng)，進(jìn)而求得油的最大深度DE的長(zhǎng)．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，連接OA，由垂徑定理得：AD=1∵⊙O的直徑為52cm，∴OA=OE=26cm，在RtΔAOD中，由勾股定理得：OD=O∴DE=OE-OD=26-10=16cm，∴油的最大深度為16cm，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理的知識(shí)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意輔助線的作法，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解決．【專訓(xùn)71】（2022秋·浙江·九年級(jí)期末）筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了筒車的工作原理，如圖1，筒車盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2，已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB長(zhǎng)為6米，⊙O半徑長(zhǎng)為4米．若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，則點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離是（

）A．1米 B．4-7米 C．2米 D．4+【答案】B【分析】連接OC交AB于D，根據(jù)圓的性質(zhì)和垂徑定理可知OC⊥AB，AD=BD=3，根據(jù)勾股定理求得OD的長(zhǎng)，由CD=OC﹣OD即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意和圓的性質(zhì)知點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，連接OC交AB于D，則OC⊥AB，AD=BD=12AB=3在Rt△OAD中，OA=4，AD=3，∴OD=OA2-AD2∴CD=OC﹣OD=4﹣7，即點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離是（4﹣7）米，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查圓的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解答的關(guān)鍵．【專訓(xùn)72】（2022秋·浙江金華·九年級(jí)校考期中）把球放在長(zhǎng)方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知EF=CD=4，則球的半徑長(zhǎng)是（

）A．2 B． C．3 D．4【答案】B【分析】取EF的中點(diǎn)M，作MN⊥AD于點(diǎn)M，取MN上的球心O，連接OF，設(shè)OF=x，則OM=4x，MF=2，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的長(zhǎng)即可．【詳解】如圖：EF的中點(diǎn)M，作MN⊥AD于點(diǎn)M，取MN上的球心O，連接OF，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴四邊形CDMN是矩形，∴MN=CD=4，設(shè)OF=x，則ON=OF，∴OM=MNON=4x，MF=2，在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2，即：（4x）2+22=x2，解得：，故選B．【點(diǎn)睛】本題主考查垂徑定理及勾股定理的知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)73】（2022秋·重慶·九年級(jí)重慶一中校考期中）如圖所示，一圓弧形拱門，其中路面AB=2，CD垂直平分AB且CD=3A．53 B．2 C．83 D【答案】A【分析】根據(jù)拱高得出CD過(guò)圓心，且CD⊥AB，根據(jù)垂徑定理得出AD=BD=12AB=1，設(shè)OA=r，【詳解】解：如圖，取圓弧形的圓心為O，連接OA，設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=OA=r，∵拱高CD=∴OD=3-r，OD⊥AB，∵AB=2，∴AD=BD=12∵OA2∴r2＝解得：r=5∴該拱門的半徑為53故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，掌握垂徑定理，勾股定理是解題關(guān)鍵．【考試題型8】確定圓心的位置【解題方法】任意兩條中垂線的交點(diǎn)即為圓心.【典例8】（2022秋·北京·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在5×5的正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)，那么這條圓弧所在圓的圓心是（

）A．點(diǎn)P B．點(diǎn)Q C．點(diǎn)R D．點(diǎn)M【答案】B【分析】根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過(guò)圓心，分別作AB，BC的垂直平分線即可得到答案．【詳解】解：作AB的垂直平分線，作BC的垂直平分線，如圖，它們都經(jīng)過(guò)Q，所以點(diǎn)Q為這條圓弧所在圓的圓心．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過(guò)圓心．這也常用來(lái)確定圓心的方法．【專訓(xùn)81】（2022秋·北京海淀·九年級(jí)北京交通大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）如圖，A，B，C是正方形網(wǎng)格中的三個(gè)格點(diǎn)，則ABC是（

）A．優(yōu)弧 B．劣弧 C．半圓 D．無(wú)法判斷【答案】B【分析】根據(jù)三點(diǎn)確定一個(gè)圓，圓心的確定方法：任意兩點(diǎn)中