線性代數(shù)(第三章)

PAGEPAGE17第三章線性方程組（P76）習題3．1引例與線性方程組（P79）1．寫出下列方程組的矩陣形式：（1）（2）（3）解：(1)(2)(3)習題3．2齊次線性方程組（P90）1．求下列齊次線性方程組的一個基礎解系和通解：（1）解：等價方程組:，分別取，得基礎解系：通解：（C1，C2為任意常數(shù)）（C1，C2為任意常數(shù)）（2）解：基礎解系：，通解：（C為任意常數(shù)）（3）解：等價方程組為：，分別取，得基礎解系：，通解：（C1，C2為任意常數(shù)）（4）解：等價方程組：，分別取，得基礎解系：通解：（C1，C2為任意常數(shù)）2．取何值時，方程組（1）只有零解；（2）有非零解，并求出其通解。解：（1）當時，即且時，方程組只有零解。（2）當時，即或時，方程組有非零解。當時，等價方程組：，取自由未知量得通解：當時，等價方程組，取自由未知量得通解：習題3.3非其次線性方程組（P97）1．求下列非齊次線性方程組的解：（1）解：對增廣矩陣施行初等行變換取，得通解：（2）解：對增廣矩陣施行初等行變換等價方程組：，取，得通解：2．取何值時，非齊次線性方程組（1）有唯一解；（2）無解；（3）有無窮多解。解：系數(shù)行列式（1）當且時，，方程組有唯一解。（2）當時，增廣矩陣。故無解。（3）當且時，，故有無窮多解。3．設證明該方程組有解的充分必要條件是在有解的情況下求其通解。解：方程組的增廣矩陣是：由此可見，方程組有解的充要條件是，而的充要條件是。當方程組有解時，由得等價方程組，取，得通解：4．設四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為2，已知為其四個解向量，且求其通解。解：設四元非齊次線性方程組為，對應的齊次線性方程組為。已知是的四個解向量，故有。而滿足即是的解。且不成比例，故線性無關。又。即的基礎解系由兩個線性無關的向量組成，故可作為其基礎解系，因此的通解為：5．設是的個解，證明：仍是的解，其中。證明：由于是的解，故有又，則所以，仍是的解復習題三（P99）1．設有線性方程組若，問（1）系數(shù)矩陣的秩是多少？（2）增廣矩陣的秩是多少？（3）該方程組是否有解？有多少解？（4）該方程組對應的齊次線性方程組是否有基礎解系？解：（1）（2）（3），該方程組有解。有無窮多解（4），所以該方程組對應的齊次線性方程組有基礎解系。2．確定的值，使方程組有唯一的解；（2）無解；（3）有無窮多解。解：當時，，方程組有唯一解。沒有無解的情況。當時，，有無窮多解。3．已知方陣為三階非零矩陣，且滿足，試求的值。解：設三階非零矩陣B按列分塊為，不妨設是其非零列，則由得：根據(jù)A為方陣時，方程組有非零解的充分必要條件是其系數(shù)行列式=0，所以。4．解下列方程組：（1）解：（1）得等價方程組，取，得通解：或取，代入等價方程組的對應齊次方程組，得到一個基礎解系：，并在等價方程組中令得一個特解：，故方程組的通解為，即（2）解（2），方程組無解。（3）解（3）得等價方程組：，取得：5．設齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為。證明：必有為該齊次線性方程組的一個非零解，其中為的代數(shù)余子式。解：因為系數(shù)矩陣A的秩為，所以至少有一個元素的代數(shù)余子式不為零，不妨設為的代數(shù)余子式，取代入方程組，由行列式的性質得，即為該齊次線性方程組的一個非零解。6．試證：含有個未知量個方程的線性方程組有解的必要條件是行列式，但這個條件不是充分的，試舉一例。證明：必要性：即證“方程組有解”因為方程組有解，所以（未知量個數(shù)），所以階行列式行列式為0不是該方程組有解的充分條件，反例：，但方程組無解。7．設三維列向量問取何值時（1）有的唯一線性表示式，并寫出該表示式；（2）可由線性表出，但表示式不唯一；（3）不能表示成的線性組合。解：設，對應的非齊次線性方程組的增廣矩陣為（1）能由唯一線性表示的充要條件，故當且時，得，故得唯一表示式：當時，，可由線性表出，但表示式不唯一當時，，即不能表示成的線性組合。8．設有線性方程組問：（1）為何值時，方程組無解？（2）為何值時，方程組有解？（3）有解時，求其解。解：對線性方程組的增廣矩陣進行初等變換。當或或時，方程組無解。當,及時，方程組有解.當,及時，方程組的增廣矩陣得等價方程組，令，得方程組的通解：9．設都是階方陣，且，證明：。解：設B按列分塊為,則即，設方程組的解空間的秩為因此,故有：10．設是非齊次線性方程組的一個特解，是其導出組的一個基礎解系，令試證該方程組的任一解可表示成如下形式：其中解：設是非齊次線性方程組的任一個解，則是對應齊次線性方程組的解，而是方程組的基礎解系，故有所以令．則得，其中11．設含個未知量的非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為是其個線性無關的解，試證它的任一解可表示為其