第十七屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽試卷（小高組A卷）

第1頁（共1頁）第十七屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽試卷（小高組A卷）一、填空題（每小題3分，共80分）1．（3分）算式10﹣10.5÷[5.2×14.6﹣（9.2×5.2+5.4×3.7﹣4.6×1.5）]得值為．2．（3分）箱子里已有若干個紅球和黑球，放入一些黑球后，紅球占全部球數(shù)的四分之一；再放入一些紅球后，紅球的數(shù)量是黑球的三分之二．若放入的黑球和紅球數(shù)量相同，則原來箱子里紅球與黑球數(shù)量之比為．3．（3分）有兩個體積之比為5：8的圓柱，它們的側(cè)面的展開圖為相同的長方形，如果把該長方形的長和寬同時增加6．其面積增加了114．那么這個長方形的面積．4．（3分）甲、乙兩個糧庫原來各存有整袋的糧食，如果從甲糧庫調(diào)90袋到乙糧庫，則乙糧庫存糧的袋數(shù)是甲糧庫的2倍．如果從乙糧庫調(diào)若干袋到甲糧庫，則甲糧庫存糧的袋數(shù)是乙糧庫的6倍．那么甲糧庫原來最少存有袋糧食．5．（3分）現(xiàn)有211名同學(xué)和四種不同的巧克力．每種巧克力的數(shù)量都超過633顆．規(guī)定每名同學(xué)最多拿三顆巧克力，也可以不拿．若按照巧克力的種類和數(shù)量都是否相同分組，則人數(shù)最多的一組至少有名同學(xué)．6．（3分）張兵1953年出生，在今年之前的某一年，他的年齡是9的倍數(shù)并且是這一年的各位數(shù)字之和．那么這一年他歲．7．（3分）如圖是一個五棱柱的平面展開圖．圖中的正方形邊長都為2．按圖所示數(shù)據(jù)，這個五棱柱的體積等于．8．（3分）在乘法算式?＝中，漢字代表非零數(shù)字，不同漢字代表不同數(shù)字，那么所代表的四位數(shù)最小是．二、解答下列各題（每題10分，共40分，要求寫出簡要過程）9．如圖ABCD是平行四邊形，E為AB延長線上一點，K為AD延長線上一點．連接BK，DE相交于一點O，問：四邊形ADOB與四邊形ECKO的面積是否相等？請說明理由．10．能否用500個如圖所示的1×2的小長方形形成一個5×200的大長方形，使得5×200的長方形的每一行、每一列都有偶數(shù)個星？請說明理由．11．將一個2n位數(shù)的前n位數(shù)和后n位數(shù)各當(dāng)成一個n位數(shù)．如果這兩個n位數(shù)之和的平方正好等于這個2n位數(shù)．則稱這個2n位數(shù)為卡不列克（Kabulek）怪?jǐn)?shù)，例如，（30+25）2＝3025，所以3025是一個拉布列克怪?jǐn)?shù)．請問在四位數(shù)中有哪些卡不列克怪?jǐn)?shù)？12．已知98個互不相同的質(zhì)數(shù)p1，p2…p98，記N＝p+p+…p，問：N被3除的余數(shù)是多少．三、解答下列各題（每小題0分，共30分，要求寫出詳細(xì)過程）13．小華和小張在一個圓形跑道上勻速跑步，兩人同時同地出發(fā)，小華順時針跑，每72秒跑一圈；小張逆時針跑，每80秒跑一圈．在跑道上劃定以起點為中心的圓弧區(qū)間，那么兩人同時在規(guī)定的區(qū)間內(nèi)所持續(xù)的時間為多少秒？14．把一個棱長為整數(shù)的長方體的表面都涂上紅色，然后切割成棱長為1的小立方體．其中，兩面有紅色的小立方塊有40塊，一面有紅色的小立方塊有66塊，那么這個長方體的體積是多少？

第十七屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽試卷（小高組A卷）參考答案與試題解析一、填空題（每小題3分，共80分）1．（3分）算式10﹣10.5÷[5.2×14.6﹣（9.2×5.2+5.4×3.7﹣4.6×1.5）]得值為9.3．【分析】10﹣10.5÷[5.2×14.6﹣（9.2×5.2+5.4×3.7﹣4.6×1.5）]先去掉小括號變成10﹣10.5÷[5.2×14.6﹣9.2×5.2﹣5.4×3.7+4.6×1.5]，利用乘法的分配律變成10﹣10.5÷[5.2×（14.6﹣9.2）﹣5.4×3.7+4.6×1.5]，再利用乘法的分配律變成5.2×5.4﹣5.4×3.7+4.6×1.5，再次利用乘法的分配律進行簡算．【解答】解：10﹣10.5÷[5.2×14.6﹣（9.2×5.2+5.4×3.7﹣4.6×1.5）]，＝10﹣10.5÷[5.2×14.6﹣9.2×5.2﹣5.4×3.7+4.6×1.5]，＝10﹣10.5÷[5.2×（14.6﹣9.2）﹣5.4×3.7+4.6×1.5]，＝10﹣10.5÷[5.2×5.4﹣5.4×3.7+4.6×1.5]，＝10﹣10.5÷[5.4×（5.2﹣3.7）+4.6×1.5]，＝10﹣10.5÷[5.4×1.5+4.6×1.5]，＝10﹣10.5÷[1.5×（5.4+4.6）]，＝10﹣10.5÷15，＝10﹣0.7，＝9.3．故答案為：9.3．2．（3分）箱子里已有若干個紅球和黑球，放入一些黑球后，紅球占全部球數(shù)的四分之一；再放入一些紅球后，紅球的數(shù)量是黑球的三分之二．若放入的黑球和紅球數(shù)量相同，則原來箱子里紅球與黑球數(shù)量之比為1：2．【分析】我們設(shè)出設(shè)紅球有a個，黑球b個，放入的黑紅球都是x個．根據(jù)“放入一些黑球后，紅球占全部球數(shù)的四分之一；再放入一些紅球后，紅球的數(shù)量是黑球的三分之二．若放入的黑球和紅球數(shù)量相同”列出兩個方程進行解答即可．【解答】解：設(shè)紅球有a個，黑球b個，放入的黑紅球都是x個．＝，x+a+b＝4a，x＝3a﹣b，＝，3a+3x＝2b+2x，x＝2b﹣3a，把x＝3a﹣b代入進行計算，3a﹣b＝2b﹣3a，3b＝6a，a：b＝1：2，原來箱子里紅球與黑球數(shù)量之比為1：2．故答案為：1：2．3．（3分）有兩個體積之比為5：8的圓柱，它們的側(cè)面的展開圖為相同的長方形，如果把該長方形的長和寬同時增加6．其面積增加了114．那么這個長方形的面積40．【分析】側(cè)面的展開圖為相同的長方形，說明這個長方形是橫著圍成一個長方體，和豎著圍成一個長方體，體積比為5：8，如圖，陰影部分的面積是114，則（a+b）的和為（114﹣6×6）÷6＝13，根據(jù)體積比為5：8可知：，化簡為，再化簡為，而a+b＝13，所以a、b分別為8和5，而積為5×8＝40，據(jù)此解答即可．【解答】解：設(shè)長方形的長和寬分別為a和b，則a+b＝（114﹣6×6）÷6＝13，根據(jù)體積比為5：8可知：，化簡為，再化簡為，而a+b＝13，所以a、b分別為8和5，而積為5×8＝40，答：這個長方形的面積為40．故答案為：40．4．（3分）甲、乙兩個糧庫原來各存有整袋的糧食，如果從甲糧庫調(diào)90袋到乙糧庫，則乙糧庫存糧的袋數(shù)是甲糧庫的2倍．如果從乙糧庫調(diào)若干袋到甲糧庫，則甲糧庫存糧的袋數(shù)是乙糧庫的6倍．那么甲糧庫原來最少存有153袋糧食．【分析】兩個關(guān)系式為：（甲庫存糧﹣90）×2＝乙?guī)齑婕Z+90；甲庫存糧+若干袋糧＝（乙?guī)齑婕Z﹣若干袋糧）×6，進而得到相應(yīng)的最小整數(shù)解即可．【解答】解：設(shè)甲庫原來存糧a袋，乙?guī)煸瓉泶婕Zb袋，依題意可得2（a﹣90）＝b+90（1）；再設(shè)乙?guī)煺{(diào)c袋到甲庫，則甲庫存糧是乙?guī)斓?倍，即a+c＝6（b﹣c）（2）；由（1）式得b＝2a﹣270（3），將（3）代入（2），并整理得11a﹣7c＝1620，由于c＝＝a﹣232+又a、c是正整數(shù)，從而有≥1，即a≥148；并且7整除4（a+1），又因為4與7互質(zhì)，所以7整除a+1，a+1最小為154，則a最小是153．答：甲庫原來最少存糧153袋．故答案為：153．5．（3分）現(xiàn)有211名同學(xué)和四種不同的巧克力．每種巧克力的數(shù)量都超過633顆．規(guī)定每名同學(xué)最多拿三顆巧克力，也可以不拿．若按照巧克力的種類和數(shù)量都是否相同分組，則人數(shù)最多的一組至少有7名同學(xué)．【分析】每一名學(xué)生可以拿：括號內(nèi)為該情況發(fā)生有幾種情況．1，一個不拿（1種情況）；2，拿四種糖果中任意一個（4種情況）；3．拿兩個，都是同種糖果（4種情況）；4．拿兩個且不同的糖果，隨機的（6種情況）；5．拿三個，都相同（4種情況）；6．拿三個，兩個相同（12種情況）；7．拿三個都不同的糖果（4種情況）；所以一個同學(xué)所取的不同種類共有1+4+4+6+4+12+4＝35種情況；因為每一種糖都超過633顆，所以第五種情況能夠出現(xiàn)，3×211＝633，足夠分．所以其他六種情況也能夠發(fā)生．所以，要讓最多的那組人數(shù)最少就是：211÷35＝6…1（余數(shù)1）；即最多的一組最少為6+1＝7人．【解答】解：根據(jù)題干分析可得：一個同學(xué)所取的不同種類共有1+4+4+6+4+12+4＝35；這35種情況可以看做35個抽屜，211÷35＝6…1；所以6+1＝7（人），答：人數(shù)最多的一組至少有7人．故答案為：7．6．（3分）張兵1953年出生，在今年之前的某一年，他的年齡是9的倍數(shù)并且是這一年的各位數(shù)字之和．那么這一年他18歲．【分析】根據(jù)題意，設(shè)那一年是19AB年，那么他這一年的年齡是1900+10A+B﹣1953歲，也是1+9+A+B歲，又因為他的年齡是9的倍數(shù)，那么1+9+A+B是9的倍數(shù)，然后列出方程進一步解答即可．【解答】解：設(shè)那一年是19AB年；根據(jù)題意可得：1900+10A+B﹣1953＝1+9+A+B，10A+B﹣53＝10+A+B，9A＝63，A＝7；因為他的年齡是9的倍數(shù)，那么1+9+A+B是9的倍數(shù)；1+9+7+B＝17+B是9的倍數(shù)；那么B＝1時，17+1＝18是9的倍數(shù)；所以，在1971年，他的年齡是9的倍數(shù)并且是這一年的各位數(shù)字之和；這一年他的年齡是：1971﹣1953＝18（歲）．答：這一年他18歲．故答案為：18．7．（3分）如圖是一個五棱柱的平面展開圖．圖中的正方形邊長都為2．按圖所示數(shù)據(jù)，這個五棱柱的體積等于7．【分析】如圖，兩個五邊形是折成的五棱柱的底，其面積是正方形的面積減去一個直角三角形的面積，正方形的邊長是2，三角形的底和高都是1，據(jù)此可求出這個五邊形的面積，也就是五棱柱的底面積，五棱柱的高是2，根據(jù)直棱的體積＝底面積×高，即可求出這個五棱柱的體積．【解答】解：（2×2﹣×1×1）×2＝（4﹣0.5）×2＝3.5×2＝7；故答案為：78．（3分）在乘法算式?＝中，漢字代表非零數(shù)字，不同漢字代表不同數(shù)字，那么所代表的四位數(shù)最小是4396．【分析】根據(jù)題意，由整數(shù)乘法的計算方法進行推算即可．【解答】解：有9個漢字，沒有0，所以9個漢字對應(yīng)1～9，9個數(shù)字；要求最小，那么“花”和“草”我們只能取1和2；根據(jù)兩個數(shù)和一定，差越小積越大，我們選擇“花”為1，“草”是2；“春”字只能取3或者4；，，中，個位的三個數(shù)字，至少有2個是5、6、7、8、9這五個人數(shù)字中的2個；一個數(shù)與5相乘的末尾不是0就是5，因此不能有5；又因為6×7＝42，個位是2，有重復(fù)不可以；依次判斷，只能是6×9＝54，或者7×8＝56，或者7×9＝63；當(dāng)是7×8＝56時，有28×157＝4396，這時最小．故答案為：4396．二、解答下列各題（每題10分，共40分，要求寫出簡要過程）9．如圖ABCD是平行四邊形，E為AB延長線上一點，K為AD延長線上一點．連接BK，DE相交于一點O，問：四邊形ADOB與四邊形ECKO的面積是否相等？請說明理由．【分析】如圖，連結(jié)AC，根據(jù)平行四邊形的特征及三角形的面積公式可知△DCE的面積等于△DCA的面積，△AKC的面積等于△AKB的面積，四邊形ECKO的面積+△ODK的面積＝四邊形EDKC的面積＝△DCE的面積+△DCK的面積＝△ADC的面積+△CD的面積K＝△ACK的面積，又由四邊形ABOD的面積+△ODK的面積＝四邊形ECKO的面積+△ODK的面積，從而得出四邊形ADOB與四邊形ECKO的面積相等．【解答】解：如圖，連結(jié)AC因為AB∥CD，所以S△DCE＝S△DCA（同底等高）S四邊形ABOD+S△ODK＝S△ABK，S四邊形ECKO+S△ODK＝S四邊形EDKC＝S△DCE+S△DCK＝S△ADC+S△CDK＝S△ACK，又因為DC∥AB，所以△AKC＝S△AKB所以S四邊形ABOD+S△ODK＝S四邊形ECKO+S△ODK即S四邊形ABOD＝S四邊形ECKO；故答案為：相等10．能否用500個如圖所示的1×2的小長方形形成一個5×200的大長方形，使得5×200的長方形的每一行、每一列都有偶數(shù)個星？請說明理由．【分析】500個小長方形就有500個小星星，500個星星平均分成5行，每行就有100個，是偶數(shù)；500÷200＝2（個）…100（個）；再把余下的100個平均分給50列，每列分2個，這50列每列就是2+2＝4（個），剩下的150列每列是2個，都是偶數(shù)，由此可解．【解答】解：可以使5×200的長方形的每一行、每一列都有偶數(shù)個星，因為；500個小長方形就有500個小星星，500÷5＝100（個），每行100個是偶數(shù)；500÷200＝2（個）…100（個）；再把余下的100個平均分給50列，每列分2個，這50列每列就是2+2＝4（個），剩下的150列每列是2個，都是偶數(shù)；所以可以使5×200的長方形的每一行、每一列都有偶數(shù)個星．11．將一個2n位數(shù)的前n位數(shù)和后n位數(shù)各當(dāng)成一個n位數(shù)．如果這兩個n位數(shù)之和的平方正好等于這個2n位數(shù)．則稱這個2n位數(shù)為卡不列克（Kabulek）怪?jǐn)?shù)，例如，（30+25）2＝3025，所以3025是一個拉布列克怪?jǐn)?shù)．請問在四位數(shù)中有哪些卡不列克怪?jǐn)?shù)？【分析】設(shè)該數(shù)的前兩位為x，后兩位為y．于是有（x+y）2＝100x+y＝x+y+99x，即：（x+y）（x+y﹣1）＝99x，從而看出x+y與x+y﹣1中有一個是9的倍數(shù)，另一個是11的倍數(shù)（當(dāng)然依照位數(shù)不同，也可能是別的因數(shù)），從而找出滿足條件的三個數(shù)：45，55和99，然后求出它們的平方數(shù)即可．【解答】解：設(shè)該數(shù)的前兩位為x，后兩位為y．于是有（x+y）2＝100x+y＝x+y+99x，即：（x+y）（x+y﹣1）＝99x，從而看出x+y與x+y﹣1中有一個是9的倍數(shù)，另一個是11的倍數(shù)（當(dāng)然依照位數(shù)不同，也可能是別的因數(shù)），可以找出滿足條件的三個數(shù)：45，55和99，平方得2025，3025，9801；即符合：（20+25）2＝2025；（30+25）2＝3025；（98+1）2＝9801；答：在四位數(shù)中的卡不列克怪?jǐn)?shù)有：2025，3025，9801．12．已知98個互不相同的質(zhì)數(shù)p1，p2…p98，記N＝p+p+…p，問：N被3除的余數(shù)是多少．【分析】除3外，因為質(zhì)數(shù)被3除的余數(shù)為1或2，質(zhì)數(shù)的平方除以3，余數(shù)只能是1，（2的平方除以3余1），然后分是否含有質(zhì)數(shù)3討論．【解答】解：（1）這些質(zhì)數(shù)中不含質(zhì)數(shù)3，所以該數(shù)平方后被3除的余數(shù)就是1，所以N被3除的余數(shù)就是98被3除的余數(shù)，是2；（2）如果有3，那么剩下97個除以3余1．3的平方除以3余數(shù)是0，那么N除以3的余數(shù)1．答：N被3除的余數(shù)是1或2．三、解答下列各題（每小題0分，共30分，要求寫出詳細(xì)過程）13．小華和小張在一個圓形跑道上勻速跑步，兩人同時同地出發(fā)，小華順時針跑，每72秒跑一圈；小張逆時針跑，每80秒跑一圈．在跑道上劃定以起點為中心的圓弧區(qū)間，那么兩人同時在規(guī)定的區(qū)間內(nèi)所持續(xù)的時間為多少秒？【分析】①如果第一次小李速度出劃定區(qū)域用時為÷＝9，小張速度出劃定區(qū)域用時÷＝10，10大于9，所以為9秒；②第二次：小華入劃定區(qū)域用時（1﹣÷2）÷＝63（秒），出區(qū)域時間（1+÷2）÷＝81（秒）；小張入?yún)^(qū)域用時（1﹣÷2）÷＝70（秒），出區(qū)域用時（1+÷2）÷＝90（秒），他們在劃定區(qū)域時間范圍70～81延續(xù)時間為11秒；③第三次：小華135～153，小張150～170范圍150～153時間為3秒；④小華入劃定區(qū)域用時（1﹣÷2）÷＝63（秒），出區(qū)域時間（1+÷2）÷＝81（秒）；81﹣63＝18（秒）；其他類似情況可的同樣結(jié)果．【解答】解：①小華出劃定區(qū)域用時為（÷2）÷＝9，小張出劃定區(qū)域用時（÷2）÷＝10，10＞9，所以為9秒；②80×（1﹣÷2），＝80×，＝70（秒）；72×（1+÷2），＝72×，＝81（秒）；81﹣70＝11（秒）；③第三次：小華135～153，小張150～170范圍150～153時間為3秒；④小華入劃定區(qū)域用時（1﹣÷2）÷＝63（秒），出區(qū)域時間（1+÷2）÷＝81（秒）；81﹣63＝18（秒）；綜上：答案為：3，9，11，18．答：兩人同時在規(guī)定的區(qū)間內(nèi)所持續(xù)的時間為3，9，11，18秒．14．把一個棱長為整數(shù)的長方體的表面都涂上紅色，然后切割成棱長為1的小立方體．其中，兩面有紅色的小立方塊有40塊，一面有紅色的小立方塊有66塊，那么這個長方體的體積是多少？【分析】兩面有紅色的小立方塊處在棱上，一面有紅色的小立方塊處在8個頂點上，設(shè)長方體的長寬